4.1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

Операционное исчисление дает экономный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, который нашел широкое применение в расчетах, связанных с анализом и синтезом САР. Он применим также к линейным уравнениям с переменными коэффициентами, являющимися полиномами от t [62].

Сущность метода заключается в следующем. Пусть требуется отыскать решение неоднородного линейного уравнения при заданной функции времени его правой части и заданных начальных условиях. Прежде всего уравнение преобразуют почленно по fiannacy с учетом начальных условий. Из полученного алгебраического уравнения определяют изображение искомой функции времени. Затем изображение подвергают обратному преобразованию Лапласа и таким образом находят оригинал, т. е. искомую функцию времени.

Если задана система линейных уравнений, то преобразуют no fiannacy каждое из уравнений. Затем из полученной системы алгебраических уравнений определяют изображение искомой функции времени и по изображению находят оригинал.

Пусть уравнение описывается САР и имеет следующий вид:

где

у и v — функции времени, соответственно регулируемая величина и внешнее воздействие.

Для преобразования уравнения (4.1) по Лапласу при нулевых начальных условиях достаточно (см. п. 2.4) заменить оператор дифференцирования комплексной величиной а функции времени у и v заменить их изображениями соответственно Y и V. Выполним эту операцию и решим полученное уравнение относительно

где — передаточная функция САР относительно воздействия

Выясним, как следует поступить в общем случае — при ненулевых начальных условиях, но сначала уточним это понятие.

Начальные условия для уравнения (4.1) есть совокупность начальных значений искомой функции у и ее производных до — 1-й включительно.

Рассматривают начальные условия (правые начальные условия) или предначальные условия (левые начальные условия). Различие между ними заключается в направлении подхода к точке Значения функции у и ее производных в точке если подходить к ней от есть предначальные условия:

где — малая положительная величина;

Значения функции у и ее производных в точке если подходить к ней от есть начальные условия:

Знак или — перед нулевым аргументом функции у и ее производных указывает, следовательно, с какой стороны приближались к этой точке.

Обратимся к уравнению (4.1), которое описывает САР и по которому определяют зависимость ее регулируемой величины у от внешнего воздействия Предполагается, что воздействие приложено к системе в момент времени Тогда предначальные условия характеризуют состояние системы до начала динамического процессе создаваемого воздействием Чаще всего предначальные условия нулевые.

Значения воздействия и его производных при могут быть отличными от нуля и повлиять на состояние системы, изменить значение регулируемой величины у и ее производных сразу же при Тогда начальные значения будут отличны от предначальных:

Приращения искомой функции времени и ее производных при могут быть найдены определенным методом по изображению внешнего воздействия и передаточной функции системы относительно этого воздействия у:

Чем меньше степень числителя функции отличается от степени ее знаменателя, тем большее число начальных значений отличается от предначальных.

Пусть

где

Тогда при

Решение уравнения при предначальных условиях. Пусть для уравнения (4.1) заданы предначальные условия Преобразуем уравнение по Лапласу, пользуясь п. 1 и 2 табл. П1.1 и учитывая, что при внешнее воздействие еще не влияет на систему. Получим

где

Теперь решим полученное алгебраическое уравнение относительно

Если передаточная функция имеет полюсы (корни полинома и нули (корни полинома

а изображение имеет полюсы (корни полинома и нули (корни полинома то

где — постоянные.

Из равенства (4.12) следует, что изображение , следовательно, регулируемая величина у во время динамического процесса, вызванного внешним воздействием зависят от значения нулей и полюсов как передаточной функции так и изображении V внешнего воздействия. Кроме того, и у зависят от начальных условий. В соответствии с этим регулируемую величину можно представить в виде суммы трех составляющих:

Здесь — вынужденная составляющая: — сопровождающая составляющая; — свободная составляющая; собственная составляющая.

Если все полюсы передаточной функции и изображения V простые, т. е. отличаются от нуля и один от другого, то по формуле 1 табл. п. 1.3 определим

где

Если изображение V имеет нулевой полюс и то по формуле 2 табл.

т. е. вынужденная составляющая имеет постоянную составляющую.

Переходная характеристика есть реакция САР на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

В этом случае Следовательно, изображение переходной характеристики САР относительно внешнего воздействия определяется равенством

и при простых полюсах передаточной функции

т. e. переходная характеристика CAP относительно внешнего воздействия зависит только от значения нулей и полюсов передаточной функции САР относительно этого воздействия.

Формулы определяют решение дифференциального уравнения в таком виде, который отражает физическую сущность динамического процесса в системе. В зтом одно из достоинств операционного метода. Преимущество этого метода по сравнению с классическим методом также в том, что решение не содержит постоянных интегрирования, для определения которых нужно составлять и решать систему алгебраических уравнений.

Пример 4.1. Решить операционным методом уравнения

где

при предначальных условиях

Почленно преобразуем уравнение по Лапласу, используя табл. П1.1 и П1.2:

Затем определим из полученного алгебраического уравнения изображение искомой функции времени у:

где

Теперь можно определить, пользуясь табл. П1.3, составляющие решения рассматриваемого уравнения:

Следовательно, решение рассматриваемого уравнения

Для проверки решения определим

Подставим значения и у в левую часть уравнения:

Правая часть уравнения

Следовательно, найденное решение не удовлетворяет уравнению. Запишем решение в таком виде:

Теперь

так как

так как при

Подставив значения в левую часть уравнения, получим

т. е. решение удовлетворяет уравнению.

По значениям у и у можно определить предначальные и начальные условия, подставляя соответственно при при

Легко убедиться, что изменение начальных условий по сравнению с предначальными удовлетворяет равенствам (4,6).

Предупреждение ошибок. Дифференциальные операторы и соответственно левой и правой части уравнения (4.1) могут содержать один а тот же элементарный сомножитель. Возникает желание сократить их на общий сомножитель. Однако недопустимо, так как будет получен неверный результат.

Необходимо также иметь в виду, что неверное решение может быть получено, если упростить правую часть уравнения (4.1), воздействовав дифференциальным оператором на функцию времени Такое упрощение допустимо, когда функция является ступенчатой. же она непрерывная, то ее необходимо умножить на единичную ступенчатую функцию так как предполагается, что внешнее воздействие приложено при

Вынужденная и сопровождающая составляющие решения (4.13) уравнения (4.1) вызваны внешним воздействием и существуют только Поэтому решение (4.13) следует записывать в таком виде:

В противном случае решение может не удовлетворять уравнению, как и было показано в примере 4.1, и по решению нельзя определить предначальные условия.

Пример 4.2. Пользуясь операционным методом, решить дифференциальное уравнение

где при передаточных условиях

Почленно преобразуем уравнение по Лапласу, используя табл.

Определим изображение У искомой функции времени у:

где

Пользуясь табл. П1.3, определим составляющие решения искомой функции у:

В соответствии с формулой (4.18) решение уравнения

Для проверки решения определяем

так как при

так как при

Подставим значения в левую часть уравнения:

Правая часть уравнения, в которой непрерывная функция умножена на единичную ступенчатую функцию,

так как при

Следовательно, найденное решение удовлетворяет уравнению. Дифференциальные операторы левой и правой части уравнения имеют общий сомножитель Если их сократить на этот сомножитель, то уравнение принимает вид

Преобразуем его по Лапласу и затем определим

Получено неверное решение, ибо значение его свободной составляющей существенно отличается от действительного.

Попробуем упростить правую часть рассматриваемого уравнения, воздействовав дифференциальным оператором на имеющуюся там функцию времени:

Теперь уравнение приняло вид

Преобразуем его по Лапласу и затем определим

Полученное решение опять неверное: значение его сопровождающей составляющей существенно отличается от действительного.

Если же правую часть уравнения записать в виде , то после упрощения она оказывается равной

Преобразовав это выражение по Лапласу, получим

Следовательно, изображение искомой функции у равно

и будет получено верное значение этой функции (решение уравнения).

Решение уравнения при начальных условиях. В этом случае преобразуя рассматриваемое дифференциальное уравнение по Лапласу, необходимо учитывать как начальные значения искомой переменной и ее производных, так и начальные значения внешнего воздействия и его производных. Поэтому после преобразования по Лапласу уравнения (4.1) получим

Начальные значения воздействия и его производных определяются в результате подстановки в функцию и ее производные. Начальные значения переменной у и ее производных могут быть определены по формулам (4.5) и (4.6).

Решение уравнения при начальных условиях всегда совпадает, конечно, с его решением при предначальных условиях.

Пример 4.3. К звену, которое находится в состоянии покоя и описывается дифференциальным уравнением

приложено воздействие

Преобразуем уравнение по Лапласу при начальных условиях

и решим полученное алгебраическое уравнение относительно

где

По данным табл. П1.2, изображение по Лапласу функции есть Начальные значения этой функции и ее производной соответственно

Для определения начальных значений переменной у и ее производной используем формулы (4.5) и (4.6);

так как

Следовательно:

Преобразование рассматриваемого уравнения по Лапласу пра предначальных услощях дает следующий результат:

Решив это алгебраическое уравнение, получим то же значение, что и ранее, но при значительно меньшем расчете.

Можно сделать следующий вывод: при использовании операционного метода дифференциальное уравнение следует преобразовать по Лапласу при предначальных или начальных условиях в соответствии с тем, какие (предначальные или начальные) значения искомой переменной и ее производных известны.