2.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ

Передаточной функцией элемента называется отношение изоб ражений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. Поэтому для определения передаточных функций элемента нужно сначала при нулевых начальных условиях преобразовать по Лапласу (см. прил. 1) дифференциальное уравнение этого элемента (имеется в виду линейное или линеаризованное уравнение).

Подвергнем такому преобразованию левую и правую части уравнения (2.6). Выполним преобразование последовательно, используя поз. 1 и 2 табл. П1.1:

где — изображения по Лапласу функций времени — комплексная величина преобразования Лапласа.

Изображения есть функции комплексной величины и полученное уравнение алгебраическое. Таким образом, дифференциальному уравнению в вещественной области соответствует алгебраическое уравнение в комплексной области. Это соответствие определяется преобразованием Лапласа.

Сопоставляя уравнение (2.13) с дифференциальным уравнением (2.6), легко сделать следующий вывод: формально преобразование по Лапласу при нулевых начальных условиях линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами заключается в замене оператора дифференцирования комплексной величиной и функций времени их изображениями. Это обстоятельство и используется при расчетах.

Из уравнения (2.13) при определяется передаточная функция рассматриваемого элемента относительно входного воздействия

Аналогично при определяется передаточная функция этого элемента относительно входного воздействия

Передаточные функции элемента определяются относительно каждого из входных воздействий, при этом предполагается, что все остальные входные воздействия равны нулю.

Из выражений (2.14) и очевидна независимость передаточных функций элемента от того, какими функциями времени являются его входные воздействия. Передаточные функции зависят лишь от вида дифференциального уравнения и значения его коэффициентов, т. е. от динамических свойств и параметров элемента. Передаточные функции полностью характеризуют собственное движение элемента и преобразование входных воздействий в его вынужденное движение.

Обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами описывается стационарный элемент с сосредоточенными параметрами. Из выражений (2.14) и (2.15) следует, что его передаточные функции есть дробно-рациональные функции комплексной величины Все передаточные функции элемента имеют один и тот же знаменатель.

В общем случае передаточная функция есть отношение двух полиномов от

где полиномы и — степени соответственно

Удобно определить передаточную функцию в виде отношения двух нормированных полиномов (т. е. полиномов, у которых коэффициент при младшем члене равен 1), умноженного на постоянный коэффициент называемый передаточным [коэффициентом:

Корни полинома R являются нулями передаточной функции и корни полинома — ее полюсами. Степень полинома определяет порядок передаточной функции. Размерность передаточного коэффициента равна размерности выходной величины, деленной на размерность входной величины.

Каждая передаточная функция соответствует некоторому динамическому звену. Динамическое звено — это математическая

Рис. 2.2. Условные знаки структурных схем: а — входная или выходная величина (воздействие, сигнал); б - динамическое звено; в — разветвление сигнала; г - суммирование сигналов; д - сравнение двух сигналов; е - изменение знака сигнала

модель элемента (или части сложного элемента), которая отображает лишь его динамические свойства, а не физическую сущность происходящих в нем процессов.

После определения передаточных функций сложного элемента можно составить его структурную схему. Соединив структурные схемы всех элементов, получим структурную схему САР.

Структурная схема есть условное графическое изображение САР (или сложного элемента). На структурную схему наносятся условными знаками (рис. 2.2) все динамические звенья, внешние воздействия и воздействия элементов друг на друга. Динамическое звено изображается прямоугольником, в котором указывается передаточная функция этого звена. Воздействия на систему и воздействия элементов (звеньев) друг на друга изображаются стрелками. Около каждой стрелки указывается, какую физическую величину или обобщенную координату системы она изображает. Изменения этой величины и являются сигналом, передаваемой информацией. На динамическое звено может воздействовать лишь одна входная величина, поэтому используются знаки суммирования и сравнения сигналов. Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы одной и той же физической природы. В каждом динамическом звене воздействие передается только от входа к выходу.

Структурная схема показывает строение САР, наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину. По структурной схеме можно составить математическое описание САР, т. е. систему алгебраических уравнений относительно изображений всех переменных (обобщенных координат) или ее передаточные функции (см. гл. 3).

На рис. 2.3 изображена структурная схема элемента, имеющего передаточные функции (2.14) и (2.15). На ее основании можно составить следующее равенство:

По этому равенству легко составить дифференциальное уравнение элемента. Конечно, это имеет смысл только в том случае,

Рис. 2.3. Структурная схема элемента, описываемого уравнением (2.13)

Рис. 2.4. Структурная схема двухконтурной САР

когда передаточные функции элемента получены на основании экспериментальных данных.

Равенство (2.18) определяет изображение выходной величины элемента, и, пользуясь обратным преобразованием Лапласа (см. прил. 1), можно определить выходную величину как функцию времени.

Итак, для составления структурной схемы САР необходимо иметь ее функциональную схему, которая содержит сведения о назначении элементов, о роли внешних воздействий и о регулируемой величине. Кроме того, необходимо иметь дифференциальные уравнения всех элементов для определения их передаточных функций или же иметь экспериментально найденные передаточные функции.

При составлении структурной схемы удобно начинать с изображения задающего воздействия и располагать динамические звенья, составляющие прямую цепь системы, слева направо до регулируемой величины. Тогда основная обратная связь и местные обратные связи будут направлены справа налево.

Пример 2.3. Построить структурную схему САР, которая описывается следующими дифференциальными уравнениями:

где и x — соответственно регулируемая величина, задающее воздействие, возмущение и рассогласование; линейные дифференциальные операторы.

Преобразовав дифференциальные уравнения по Лапласу при нулевых начальных условиях, получим следующую систему алгебраических уравнений:

где — полиномы от

После определения передаточных функций динамических звеньев система уравнений принимает следующий вид:

где

По полученным равенствам строим структурную схему, которая показана на рис. 2.4.

Следует заметить, что структурную схему САР можно рассматривать как один из видов направленного графа. Направленный граф (граф сигнала, диаграмма прохождения сигнала) представляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их ветвей (дуг) с обозначением направления передачи сигналов и их пропускной способности. Рассматривая структурную схему как граф, узлами (вершинами) считают все воздействия — внешние, внутренние и выходное, т. е. регулируемую величину, ветвями (дугами) — динамические звенья, а передаточные функции определяют их пропускную способность.