4.3. МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ВЕЩЕСТВЕННУЮ ЧАСТОТНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ

Основой методов является зависимость между переходной характеристикой и устойчивой САР и ее вещественной характеристикой Р относительно одного из внешних воздействий:

Наиболее часто используется метод трапецеидальных характеристик. Суть этого метода в следующем. Интеграл (4.21) вычислен при различных значениях параметров вещественной частотной характеристики простейшей формы (трапеция или треугольник) и результаты сведены в таблицу. Реальную характеристику Р разбивают на несколько простейших

Для каждой простейшей характеристики с помощью таблицы определяют соответствующую ей характеристику Тогда переходная характеристика , соответствующая вещественной частотной характеристике Р, определяется суммированием составляющих

В качестве типовой В. В. Солодовниковым [102] выбрана единичная трапецеидальная вещественная частотная характеристика (рис. 4.1). Ее высота равна единице и основание Изменяющимся параметром является отношение меньшей параллельной стороны к большей (к основанию):

которое называется коэффициентом наклона.

По равенству (4.21) вычислены значения соответствующие единичной трапеции с различным коэффициентом наклона от 0 до 1, при различных значениях условного времени Эти значения называются -функциями приведены в табл. 4.4.

Построение переходной характеристики и по вещественной частотной характеристике Р методом трапеций состоит из нескольких этапов.

1. Вещественную частотную характеристику разбивают на трапеции.

Для этого действительную кривую

Рис. 4.1. Единичная трапецеидальная вещественная частотная характеристика

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 4.2. Аппроксимация вещественной частотной характеристики трапециями

характеристики заменяют приближенно прямолинейными отрезками и концы каждого отрезка соединяют с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс. Первый отрезок должен начинаться из точки Р (0), так как эта точка определяет конечное значение переходной характеристики . Более тщательно необходимо аппроксимировать начальную часть вещественной частотной характеристики. Ее «хвост», т. е. конечную часть с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем можно не принимать во внимание.

2. Определяют параметры трапеций. Для каждой трапеции по графику находят частоты и высоту Частоты отсчитывают от начала осей координат. По значениям вычисляют коэффициент наклона и округляют его до ближайшего из значений .

Величину считают положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной — в противоположном случае. Сумма высот всех трапеций равна Р (0).

3. Определяют составляющие переходной характеристики. В таблице -функций для каждой трапеции отыскивают столбец, соответствующий значению Затем для ряда значений условного времени определяют соответствующие им значения По значениям вычисляют значения действительного времени и составляющей переходной характеристики:

Иногда можно брать лишь часть значений Чем больше тем меньше точек можно брать. При этом следует выбирать точки,

Рис. 4.3. Составляющие переходной характеристики

равномерно отстоящие одна от другой и определяющие максимумы и минимумы

4. Строят график составляющих переходной характеристики. Все составляющие располагают на одном графике; знак каждой из них определяется знаком высоты соответствующей трапеции.

Обычно оказывается, что некоторые составляющие определены на меньших отрезках времени, чем другие. Это означает, что указанные составляющие раньше других достигли установившегося значения и в дальнейшем остаются неизменными.

5. Строят график переходной характеристики. Ординаты переходной характеристики определяют суммированием ординат всех составляющих в выбранные моменты времени. Целесообразно сначала определить ординаты через равные промежутки времени, затем определить дополнительные точки там, где вероятны максимумы или минимумы характеристики и имеются максимумы или минимумы составляющих. После построения достаточного числа точек их соединяют плавной кривой.

Следует заметить, что погрешности определения переходной характеристики тем больше, чем сложнее форма кривой вещественной частотной характеристики. Значительное увеличение числа аппроксимирующих ее прямолинейных отрезков (и трапеций) может не уменьшить погрешностей, так как для каждой трапеции округляется значение возникают также погрешности при построении и суммировании составляющих переходной характеристики.

Пример 4.9. Пользуясь методом трапеций, определить переходную характеристику САР, вещественная частотная характеристика которой изображена на рис. 4.2.

Начиная из точки Р (0), аппроксимируем вещественную частотную характеристику прямолинейными отрезками об, Концы каждого из этих отрезков соединим с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс. Получим шесть трапеций: вгде; еджз; вжий; млно.

Определяем параметры каждой трапеции и заносим их в расчетную табл. 4.5. Коэффициенты наклона округляем до значений, имеющихся в табл. 4.4 Л-функций. Высоты трапеций йклм и млно отрицательные, так как их меньшие параллельные стороны расположены ниже больших.

По значению трапеции выбираем из первого столбца табл. 4.4 значения для нескольких значений вычисляем затем значения и и заносим их в табл. 4.5. Аналогичные операции проделываем для остальных трапеций. Значения каждый раз выбираем так, чтобы можно было достаточно точно достроить соотзетствующую составляющую

Таблица 4.5 (см. скан) Построение переходной характеристики методом трапеций

Строим составляющие (рис. 4.3) и, суммируя их, получим приближенную переходную характеристику САР (рис. 4.4 сплошная линия). Штриховой линией на рис. 4.4 показано точное значение переходной характеристики этой системы.

А. А. Вороновым в качестве типовой выбрана треугольная вещественная частотная характеристика, т. е. трапецеидальная с коэффициентом наклона Благодаря этому при одинаковой точности таблицы -функций ее объем резко сокращается. Кроме того, вследствие меньшего шага таблицы можно суммировать составляющие переходной характеристики без построения их графиков. Порядок расчета изложен в работе [19]. Там же приведена номограмма К. Изава, ускоряющая процесс нахождения ординат переходной характеристики. Другой метод определения переходной

Рис. 4.4, Переходная характеристика

Таблица 4.6 (см. скан) Значения функции

характеристики по вещественной частотной характеристике системы заключается в следующем [79]. Вещественную частотную характеристику аппроксимируют отрезками прямых. Аппроксимацию начинают из начальной точки характеристики Конец каждого отрезка характеризуется абсциссой и ординатой Затем для каждого прямоугольного участка характеристики вычисляют значения производной и вспомогательной величины

Переходную характеристику определяют по формуле

где — число отрезков, аппроксимирующих вещественную частотную характеристику,

Значения функции приведены в табл. 4-6.

Рис. 4.5. Аппроксимация вещественной частотной характеристики отрезками прямых

Пример 4.10. Определить изложенным методой переходную характеристику САР, вещественная частотная характеристика которой изображена на рис. 4.2.

Аппроксимируем вещественную частотную характеристику отрезками прямых (рис. 4.5), определяем координаты и записываем их в табл. 4.7. Затем вычисляем значения вспомогательной величины

По формуле (4.27) составляем выражение для определения ординат переходной характеристики:

Расчеты по определению ординат переходной характеристики сводим в табл. 4.8. Характеристика практически не отличается от изображенной на рис. 4.4

Переходную характеристику САР можно построить по ее вещественной или мнимой частотной характеристике методом спектральных преобразований [84]. Метод не требует какой-либо аппроксимации частотной характеристики и специальных таблиц. При расчете определяют площадь, ограниченную некоторой кривой, и может быть использовано планиметрирование.

Для приближенного вычисления переходного процесса предложен ряд методов. Переходный процесс может быть определен по сопрягающим частотам ЛАЧХ [102, 91] или по нормированным кривым [8, 91]. Монография [48] содержит подробные таблицы

Таблица 4.7 (см. скан) Данные для определения переходной характеристики

Таблица 4.8. (см. скан) Определение переходной характеристики

для построения переходных процессов в системе порядка. Графоаналитические методы построения переходных процессов (метод секущих и метод касательных) описаны в работах [72, 102]. Значения переходного процесса в отдельные моменты времени (в моменты изменения режима работы, в моменты достижения экстремальных точек и т. предложены А. С. Шаталовым [107].

Если по изображению Лапласа переходной характеристики (или иного переходного процесса) определить — изображение и затем делить числитель этого изображения на его знаменатель, то будет получен бесконечный ряд

Коэффициенты этого ряда являются значениями переходной характеристики в дискретные моменты времени где Т — интервал повторения, выбранный при определении -изображения. Для определения по можно воспользоваться таблицами работы [60].