3.1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ САР

Для расчетов обычно необходимы передаточные функции разомкнутой САР, а также передаточные функции замкнутой САР относительно задающего воздействия, относительно каждого из возмущений и для ошибки слежения. Определим, что представляют собой эти передаточные функции, и найдем их значения для одноконтурной САР (см. рис. 3.1). Элементы этой схемы имеют следующие передаточные функции:

где — передаточные коэффициенты; — нормированные полиномы от (некоторые из них могут быть равными единице).

Рис. 3.1. Структурная схема одноконтурной САР

Передаточная функция разомкнутой САР

есть отношение изображения сигнала обратной связи к изображению задающего воздействия При этом контур регулирования предполагают разомкнутым около элемента сравнения, как показано на рис. 3.1 волнистыми линиями. Для рассматриваемой САР

где — передаточный коэффициент разомкнутой САР; .

Передаточная функция характеризует собственные динамические свойства системы и позволяет определить ее устойчивость (см. гл. 6), а также выбрать корректирующие устройства (см. гл. 8 и 9) для улучшения свойств системы.

Для определения устойчивости используют и характеристический полином!) системы, равный сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы:

Удобно пользоваться нормированным характеристическим полиномом

если полином имеет свободный член, и равенством

если в полиноме нет свободного члена.

Передаточная функция замкнутой САР относительно задающего воздействия

есть отношение изображения регулируемой величины у к изображению задающего воздействия. При этом рассматривается замкнутая система и предполагается, что других внешних воздействий нет. Для САР со структурной схемой, изображенной на рис. 3.1,

где — передаточный коэффициент системы относительно задающего воздействия (если в полиноме нет свободного члена, то .

Передаточная функция характеризует передачу системой задающего воздействия, его воспроизведение регулируемой величиной. Воспроизведение тем лучше, чем ближе значение к идеальному:

Передаточная функция замкнутой САР для ошибки слежения

есть отношение изображения X рассогласования к изображению задающего воздействия при отсутствии других внешних воздействий. У рассматриваемой системы

где — передаточный коэффициент системы для ошибки слежения (если в полиноме нет свободного члена, то

Передаточная функция как и характеризует воспроизведение регулируемой величиной задающего воздействия (отработку задания). Воспроизведение тем лучше, чем ближе значение к идеальному:

Передаточная функция замкнутой САР относительно возмущения

есть отношение изображения регулируемой величины к изображению возмущения При этом предполагают, что других внешних воздействий нет. Для рассматриваемой системы

где - передаточный коэффициент системы относительно возмущения (если полином не имеет свободного члена, то

Передаточная функция показывает влияние возмущения на регулируемую величину. Возмущение отклоняет ее от заданного значения и уменьшает точность воспроизведения задающего воздействия. Это вредное влияние возмущения тем меньше, чем ближе значение к идеальному: Если на систему воздействует несколько возмущений то определяются передаточные функции относительно каждого из них.

Следует заметить, что знаменателем всех переходных функций замкнутой системы является ее характеристический полином.

Передаточные функции позволяют определить составляющие изображения У регулируемой величины, создаваемые соответственно задающим воздействием и возмущением. В линейных системах справедлив принцип суперпозиции и поэтому изображение регулируемой величины равно алгебраической сумме его составляющих:

Второе слагаемое чаще всего отрицательное.

Аналогично по передаточным функциям можно определить изображение рассогласования:

По равенствам (3.13) и (3.14) можно составить дифференциальные уравнения системы для регулируемой величины и для рассогласования (ошибки). Конечно, это может быть целесообразным только в том случае, когда передаточные функции некоторых элементов системы были определены экспериментально.

В большинстве случаев передаточные функции САР используются для определения временных (в частном случае статических) и частотных характеристик. Вычисление, исследование и применение этих характеристик рассматриваются в последующих главах.

Иногда необходимы передаточные функции, выражающие зависимость изображения какой-либо промежуточной величины САР от изображения внешнего воздействия или другой промежуточной величины. Например, передаточная функция где — изображение регулирующего воздействия — определяет закон регулирования. В САР со структурной схемой, изображенной на рис.

В ряде случаев основная часть структурной схемы представляет собой последовательное соединение динамических звеньев, а один ее участок имеет сложное строение. Таким участком обычно является регулируемый объект или объект и исполнительный элемент. Некоторые из возможных структурных схем сложных объектов (с одной регулируемой величиной) приведены в табл. 3.1,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

там же даны значения передаточных функций эквивалентной схемы.

Используя данные табл. 3.1, передаточные функции системы можно определять соответственно по формулам (3.3), (3.8) и (3.10), а передаточную функцию относительно возмущения по формуле

Может оказаться, что схема, интересующая читателя, отличается от одной из помещенных в таблице лишь знаком выходной величины какого-то звена Тогда в передаточных функциях эквивалентной схемы нужно изменить на обратные знаки у всех слагаемых, которые имеют своим сомножителем. Может также оказаться, что схема отличается отсутствием звена с передаточной функцией Если вместо этого звена разрыв, то все слагаемые, имеющие сомножителем нужно принять равными нулю. Если вместо звена соответствующие точки соединены непосредственно, то

В большинстве случаев структурные схемы САР содержат местные обратные связи внутри регулятора или от регулируемого объекта к регулятору. Встречаются и параллельные соединения динамических звеньев в регуляторе. Все такие схемы являются многоконтурными.

Некоторые многоконтурные структурные схемы и передаточные функции этих САР приведены в табл. 3.2. Если рассматриваемая структурная схема отличается от одной из имеющихся в табл. 3.2 знаком выходной величины или отсутствием какого-либо звена, то нужно поступить так же, как было сказано ранее в отношении табл. 3.1.

Схемы, приведенные в табл. 3.1 и 3.2, не исчерпывают всего многообразия структур регулируемых объектов и многоконтурных САР. Для схем, не приведенных в указанных таблицах, задача определения передаточных функций может быть решена одним из следующих методов.

Если структурная схема САР несложная, то можно составить уравнение, связывающее изображение регулируемой величины с изображениями внешних воздействий. Следует последовательно осматривать схему, начиная с регулируемой величины и двигаясь против направления передачи сигналов. От каждого сумматора схему необходимо осматривать в нескольких направлениях: до какого-либо из внешних воздействий или до регулируемой величины. При этом изображение выходной величины каждого звена выражается через его передаточную функцию и изображение входной величины, а изображение суммы нескольких слагаемых выражается через сумму их изображений. Постепенно исключаются изображения промежуточных переменных и получается искомое уравнение

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 3.2. Структурная схема многоконтурной САР

Пример 3.1. Определить передаточные функции САР относительно задающего воздействия и возмущения, пользуясь ее структурной схемой (рис. 3.2).

Действуя указанным образом, получим цепочку равенств.

Следовательно:

Искомые передаточные функции имеют следующие значения

где

Для определения передаточной функции разомкнутой системы осмотр структурной схемы нужно начинать с выходной величины основной обратной связи при размыкании этой связи около элемента сравнения и при равенстве нулю возмущений. Чтобы определить передаточную функцию для ошибки, схему следует осматривать, начиная с рассогласования х и также при отсутствии возмущений.

Изложенный прием определения передаточных функций САР равносилен исключению промежуточных переменных из систем уравнений ее элементов.

Более универсальным способом является преобразование сложной структурной схемы в эквивалентную одноконтурную и определение передаточных функций по формулам (3.3), (3.8), (3.10) и (3.12). Кроме того, большие возможности дает применение формулы Мезона.