6.4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Критерий предполагает построение годографа Михайлова, т. е. кривой, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении со от 0 до Вектор получается из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке -

где

Годограф начинается при на вещественной положительной полуоси в точке и при уходит в бесконечность в соответствующем квадранте. Угол поворота вектора определяется выражением

где а — степень характеристического полинома; — число его корней с положительной вещественной частью.

Следовательно, для устойчивости системы порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошелв положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.

Приблизительный вид годографов Михайлова устойчивых систем первого — пятого порядков показан на рис. 6.2. Если система на границе устойчивости, то годограф проходит через начало осей координат так, что после небольшой его деформации около начала осей координат критерий удовлетворяется. Г одографы системы четвертого порядка, находящейся на границе устойчивости, показаны на рис. 6.3. На рис. 6.3, а характеристический полином имеет пару чисто мнимых корней

Рис. 6.2. Годографы Михайлова устойчивых систем

Рис. 6.3. Годографы Михайлова систем четвертого порядка, находящихся на границе устойчивости: а - колебательной; б - апериодической

(колебательная граница устойчивости), во втором (рис. 6.3, б) - нулевой корень (апериодическая граница устойчивости).

Рассмотрим годографы неустойчивых систем четвертого порядка (рис. 6.4). Их характеристический полином имеет положительный вещественный корень (кривая два положительных вещественных корня (кривая 2), два комплексных сопряженных корня с положительной вещественной частью (кривая 3), два чисто мнимых корня и положительный вещественный корень (кривая 4). В последнем случае годограф проходит через начало осей координат, но небольшая деформация его не приводит к удовлетворению критерия. Имея годограф неустойчивой системы и пользуясь равенством (6.15), можно определить число корней характеристического полинома с положительной вещественной частью.

Характеристический полином можно представить в таком виде:

где

После подстановки получим

Таким образом можно определять координаты годографа Михайлова, не вычисляя степеней со выше второй. Расчет при каждом значении частоты удобно вести по схеме, показанной в табл. 6.3.

Рис. 6.4. Годографы Михайлова неустойчивых систем четвертого порядка

Таблица 6.3 (см. скан) Вычисление координат годографа Михайлова

Коэффициенты получаются алгебраическим сложением коэффициентов

Иногда удобнее пользоваться другой формулировкой критерия. Михайлова: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой (полином Y) и вещественной (полином X) частей ее характеристического вектора были положительными вещественными и чередовались.