Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ

Для анализа САР необходимо иметь ее математич еское описание. Система разделяется на элементы, и составляются уравнения, описывающие их поведение (движение) — изменение состояния во времени. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических и иных процессов, происходящих в элементах, и применения законов сохранения энергии и вещества, конкретизированных для различных отраслей науки и техники (законы механики, электротехники, гидравлики, теплотехники, оптики и т. д.). Для определения коэффициентов этих уравнений во многих случаях необходимы трудоемкие исследования. Поэтому широко используются также экспериментальные методы для получения математического описания элементов. Такие методы требуют минимальных сведений о процессах, происходящих в элементах, и обеспечивают точность, вполне достаточную для инженерных расчетов.

Ниже будем рассматривать только стационарные САР, у которых свойства элементов не изменяются с течением времени и каждый динамический процесс (изменение состояния элемента во времени) зависит лишь от начального состояния элемента (от начальных условий) и характера внешних воздействий. Предположение о стационарности является идеализацией, ибо не учитывается влияние процесса на свойства элемента, например его старение. Будем предполагать также, что все элементы системы с сосредоточенными параметрами и непрерывного действия. Такие элементы чаще всего описываются дифференциальными уравнениями. Это обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. В некоторых случаях могут быть алгебраические или интегральные уравнения. Чем точнее описываются процессы в элементе, тем сложнее его уравнение. Поэтому необходим разумный компромисс между наиболее точным описанием элемента и возможностью исследования полученного уравнения.

Если для элемента справедлив принцип суперпозиции, т. е. влияния начальных условий и каждого из внешних воздействий

независимы друг от друга, то дифференциальное уравнение элемента оказывается линейным. Однако многие элементы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Далеко не всякое нелинейное дифференциальное уравнение может быть проинтегрировано и даже отыскание приближенного числового решения может оказаться трудоемким. Поэтому при инженерных расчетах широко используют линеаризацию, т. е. замену нелинейных дифференциальных уравнений приближенными линейными, для которых существует общий метод йнтегрирования.

В практике весьма широко используют представление элементов их передаточными функциями, что позволяет составлять математические модели систем в виде наглядных структурных схем. Понятие о передаточных функциях и их определение основываются на преобразовании Лапласа. Не менее широко используются временные и частотные характеристики, которые описывают поведение элементов и систем в переходных и установившихся режимах.

Передаточные функции и временные и частотные характеристики составляют тот специфический математический аппарат, который используется линейной теорией автоматического регулирования и управления и позволяет проводить анализ и синтез САР многими методами без интегрирования дифференциальных уравнений и непосредственного исследования из решений. Этот достаточно простой и гибкий математический аппарат весьма удобен для инженерных расчетов, поэтому его используют и в других технических дисциплинах.