6.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

При использовании критерия из коэффициентов характеристического уравнения (6.4) составляют матрицу

По диагонали таблицы от левого верхнего угла выписывают по порядку все коэффициенты, начиная с и заканчивая Затем каждый столбец таблицы дополняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз — уменьшались. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и больше пишут нуль.

Критерий формулируется так, чтобы рассматриваемая система была устойчивой, необходимо и достаточно при иметь положительными все диагональные определители, получаемые матрицы (6.8), т. е.

Если то последнее неравенство в (6.9) удовлетворяется при

Система находится на границе устойчивости, если и все предыдущие определит ели в (6.9) положительны. Это условие

распадается на два; (апериодическая граница устойчивости) и (колебательная граница устойчивости).

Иногда удобно определитель привести к диагональному виду (см. приложение 3). Если все его диагональные элементы оказываются положительными и то система устойчива.

Для устойчивости систем первого и второго порядков достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными. Для систем более высокого порядка кроме этого необходимо удовлетворение следующих неравенств: для системы третьего порядка

для системы четвертого порядка

для системы пятого порядка

для системы шестого порядка

Пример 6.2. Составить условие устойчивости одноконтурной САР, содержащей три апериодических звена.

Передаточная функция разомкнутой системы

где — передаточный коэффициент разомкнутой системы; — постоянные времени апериодических звеньев.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

или

где

Характеристическое уравнение третьей степени, все его коэффициенты положительны. Для устойчивости САР должно еще удовлетворяться неравенство (6.10). В данном случае оно может быть приведено к виду

Обозначим тогда условие устойчивости

Условие устойчивости рассматриваемой САР зависит не от абсолютных значений постоянных времени, а лишь от соотношений.

Пример 6.3. Одноконтурная САР состоит из двух колебательных звеньев. Выяснить, при каком значении передаточного коэффициента разомкнутой системы она остается устойчивой.

Передаточная функция ресюмкпутй системы

где к — передаточный коэффициент; — постоянные времени звеньев; — коэффициенты демпфирования звеньев.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

или

где

Характеристическое уравнение четвертой степени, все его коэффициенты положительны. Для устойчивости системы должно еще удовлетворяться неравен ство (6.11). В данном случае оно принимает вид

Из полученного неравенства определяем допустимое значение передаточного коэффициента разомкнутой системы:

Обозначим тогда

Устойчивость САР и допустимое значение передаточного коэффициента к зависят от соотношения между постоянными времени колебательных звеньев и от абсолютных значений их коэффициентов демпфирования.