2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ

В линейном дифференциальном уравнении выходную величину элемента (искомую функцию времени) и ее производные принято записывать в левой части, а входные величины (известные функции времени) и их производные в правой части. Коэффициент при выходной величине удобно иметь равным единице. Если уравнение не содержит выходной величины, то коэффициент при ее младшей производной равен единице.

Уравнения обычно записывают в символической (операторной) форме, используя символ называемый оператором дифференцирования. При этом

Уравнение (2.5) в определенной форме запишется так:

где

Многочлены от символа с постоянными коэффициентами называются линейными дифференциальными операторами. Если коэффициент при младшем члене дифференциального оператора равен единице, то оператор нормированный.

При инженерных расчетах обычно рассматривают совместно уравнения всех элементов САР, т. е. систему уравнений. Пусть к САР приложены задающее воздействие и возмущение (некоторые

функции времени). Тогда в общем случае система уравнений САР будет следующей:

— линейные дифференциальные операторы (некоторые из этих операторов могут быть тождественно равными нулю); — выходные величины элементов (обобщенные координаты САР).

Система уравнений (2.7) реальной САР не особенная и может быть приведена к одному уравнению относительно одной из обобщенных координат. Чаще всего рассматривают уравнение САР для регулируемой координаты:

где

Уравнение (2.8) — линейное дифференциальное уравнение, и для него справедлив принцип суперпозиции, который заключается в том, что каждая входная величина (заданная функция времени) создает составляющую выходной величины (искомой функции времени) независимо как от наличия и характера изменения других входных величин, так и от начальных условий. Вместе с тем начальные условия вызывают переходный процесс (т. е. еще одну составляющую выходной величины), который не зависит от входных величин. Начальные условия порядка составляют значения выходной величины и ее производных до — 1-й включительно в начальный момент времени.

Следовательно, решение уравнения (2.8) при начальных условиях равно сумме трех составляющих:

Здесь — частные решения соответственно неоднородных уравнений

при нулевых начальных условиях — общее решение однородного уравнения

при заданных начальных условиях.

Общее решение однородного уравнения (2.11) представляет собой сумму частных решений, которые зависят от значения корней характеристического уравнения

где — комплексная величина.

Каждому вещественному корню соответствует частное решение вида (в частном случае может быть ); каждому вещественному корню кратности соответствует частных решений каждой паре сопряженных комплексных корней соответствуют два частных решения:

(в частном случае может быть каждой паре сопряженных комплексных корней кратности соответствует частных решений:

Постоянные интегрирования и которые содержатся в частных решениях, определяются из системы алгебраических уравнений, составляемых на основании начальных условий.

Дифференциальный оператор уравнения (2.8) называют собственным оператором системы (или элемента). Он характеризует собственное движение системы (или элемента), т. е. ее движение (изменение во времени выходной величины) при отсутствии внешних (входных) воздействий. Дифференциальные операторы уравнения (2.8) называют входными операторами.

Пример 2.2. Определить собственное движение системы, описываемой уравнением (2.8), где при начальных условиях

Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет корень кратности 3. Следовательно:

Определяем первую и вторую производные функции

Составляем уравнения для определения постоянных интегрирования используя начальные условия,

Решив полученную систему трех алгебраических уравнений, определим

Таким образом, собственное движение рассматриваемой системы при заданных начальных условиях определяется равенством

При инженерных расчетах линейные дифференциальные уравнения удобнее решать операционным методом, который будет рассмотрен в гл. 4.