3.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Передаточные функции сложной многоконтурной САР можно определить по структурной схеме без приведения ее к одноконтурной, если использовать метод теории графов.

Структурную схему САР можно рассматривать как один из видов графа, и для определения передаточных функций пользоваться формулой Мезона:

где — отношение изображения переменной к изображению X переменной

передаточная функция разомкнутой цепи замкнутого контура структурной схемы; — число замкнутых контуров в схеме; — произведение передаточных функций разомкнутых цепей пары несоприкасающихся замкнутых контуров; — число пар несоприкасающихся контуров; — произведение передаточных функций разомкнутых цепей тройки несоприкасающихся контуров; — число троек несоприкасающихся контуров; передаточная функция прямой цепи от переменной х к переменной — число прямых цепей от ; — функция Ф для той части структурной схемы, которая не соприкасается с прямой цепью от

Формула (3.15) позволяет без преобразования структурной схемы САР определить любую ее передаточную функцию, т. е. отношение изображения одной из переменных (обобщенных координат) к изображению внешнего воздействия или другой переменной.

Рис. 3.4. Структурная схема много контурной САР с дополнительной связью по задающему воздействию

Используя формулу (3.15), нужно иметь в виду следующее. Прямые цепи от х кг могут частично совпадать одна с другой. При определении передаточной функции разомкнутой цепи каждого из контуров нужно учитывать знак обратной связи, образующей этот контур. Контуры не соприкасаются один с другим, когда у них нет общей координаты (стрелки на структурной схеме), ни общего звена (прямоугольника на структурной схеме). Если в структурной схеме есть более трех несоприкасающихся контуров, то при вычислении функции Ф нужно добавить соответствующие суммы. Каждая функций Ф, вычисляется так же, как и функция Ф, но рассматривается лишь та часть структурной схемы, которая не соприкасается с прямой цепью от Если с прямой цепью соприкасаются все замкнутые контуры, то

Пример. 3.3. По структурной схеме САР (рис. 3.4) нужно определить ее передаточную функцию относительно задающего воздействия Воспользуемся формулой (3.15) и начнем с вычисления функции Ф. В рассматриваемой схеме пять замкнутых контуров; передаточные функции их разомкнутых цепей

Следовательно:

Очевидно, что схема содержит пары из несоприкасающихся контуров, поэтому

Имеется только одна тройка из иеприкасающихся контуров, и она состоит из контуров:

Четырех несоприкасающихся контуров в схеме нет, следовательно, теперь можно определить функцию

От задающего воздействия к регулируемой координате у идут две прямые цепи передачи сигнала. Их передаточные функции

Рис. 3,5. Структурная схема дифференцирующего гироскопа

С первой прямой цепью соприкасаются все замкнутые контуры, со второй прямой цепью не соприкасается только 4-й контур, следовательно,

Теперь можно определить искомую передаточную функцию

Легко убедиться, что преобразование рассмотренной структурной схемы в эквивалентную одноконтурную имеет более сложный расчет. Использование формулы (3.15) обычно уменьшает трудоемкость определения передаточных функций САР, структурная схема которой имеет несколько взаимосвязанных контуров.

Пример 3.4. Составить передаточную функцию дифференцирующего гироскопа (рис. 3.5).

Начнем с вычисления функции Ф. В схеме три замкнутых контура и все соприкасаются, так как имеют общее звено следовательно, Передаточные функции разомкнутых цепей контуров

Определяем функцию

В схеме прямых цепи от входной величины к выходной величине а. передаточные функции

Обе прямые цепи содержат звено которое входит и во все замкнутые контуры системы, т. е. нет замкнутых контуров, не соприкасающихся с прямыми цепями, поэтому

Теперь по формуле (3.15) определим искомую передаточную функцию: