Главная > Линейные автоматические системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФЧХ, но и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Эту возможность используют весьма широко вследствие простоты построения таких характеристик и определения по ним запаса устойчивости.

Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию —180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю). Пересечение фазово-частотной характеристикой линии —180° снизу вверх считается положительным, а сверху вниз — отрицательным. На рис. 6.14 показаны наиболее характерные ЛФЧХ.

Рис. 6.14. Логарифмические астстиые характеристики разомкнутой системы: 1 — замкнутая система абсолютно устойчивая; 2 — условно устойчивая; 3 — на границе устойчивости; 4 — неустойчивая

Рис. 6.15. Логарифмические частотные характеристики цепи из четырех апериодических звеньев

Пример 6.10. Выяснить устойчивость САР, у которой разомкнутая цепь описывается передаточной функцией

где

По характеристическому полиному разомкнутой системы (по знаменателю заключаем, что все его корни вещественные отрицательные.

Затем строим логарифмические частотные характеристики (см. по следующим данным: дБ; сопрягающие частоты Характеристически показаны на рис. 6.15.

На участке частот, при которых асимптотическая ЛАЧХ положительная (до частоты среза сос), ЛФЧХ не пересекает линии —180°. Поэтому делаем вывод, что замкнутая система устойчивая.

Для суждения об устойчивости обычно сначала строят асимптотическую ЛАЧХ. Затем к ней нужно сделать поправки (см. п. 5.3) около тех частот, которые ограничивают положительные участки и расположены достаточно близко от сопрягающих частот (особенно от сопрягающих частот, соответствующих колебательным звеньям).

В примере 6.10 поправки к асимптотической ЛАЧХ не сделаны, так как частота среза достаточно удалена от сопрягающих частот Поправки мало повлияют на значение сос и не изменят вывода об устойчивости системы.

Фазово-частотная характеристика нейтральной разомкнутой системы при стремится к где — число нулевых

Рис. 6.16. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой нейтральной системы: 1 — при ; 2 - при

Рис. 6.17. Логарифмические частотные характеристики к примеру 6.11

корней характеристического уравнения. Поэтому ЛФЧХ такой системы нужно дополнить монотонным участком, приводящим ее к при (рис. 6.16). Это соответствует дополнению АФЧХ бесконечно большим радиусом.

Пусть характеристический полином разомкнутой системы имеет корней с положительной вещественной частью. В этом, самом общем, случае критерий формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линии —180°, —3 180°, равнялась 1/2. При наличии в характеристическом полиноме нулевых корней начальную часть ЛФЧХ опять следует приводить

Пример 6.11. Выяснить устойчивость системы с передаточной функцией разомкнутой цепи

где

Характеристический полином разомкнутой системы имеет два нулевых корня и один вещественный положительный корень, равный 4.

Для построения логарифмических частотных характеристик имеем дБ; сопрягающие частоты

Рис. 6.18. Логарифмические частотные характеристики неустойчивом разомкнутой системы

Рис. 6.19. Логарифмические частотные характеристики условной разомкнутой системы

Характеристики показаны на рис. 6.17. Вследствие положительного корпя начальный (при ) скачок ЛФЧХ на нужно отсчитывать не от нуля, а от —180°. Это показано штриховой линией со стрелками.

На участке частот, при которых ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ делает полперехода через линию —180° сверху вниз и один переход снизу вверх. Следовательно, разность между числом положительных и отрицательных переходов составляет и можно сделать вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии. Поправки к асимптотической ЛАЧХ на него не повлияют.

Переходы ЛФЧХ через линию —180°, а возможно и через линии при высоком порядке характеристического полинома подсчитывают не только на начальном, но и на последующих положительных участках ЛАЧХ. На рис. 6.18 показан один из возможных случаев: разность между положительными и отрицательными переходами составляет , и замкнутая система устойчива.

Знаменатель передаточной функции разомкнутой многоконтурной системы порядка обычно представляет собой полином порядка, и для построения ЛЧХ его разлагают на элементарные сомножители. Эти вычисления можно существенно упростить, если воспользоваться тем, что критерий Найквиста позволяет переносить часть членов знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, кроме старшего, в числитель.

Пример 6.12. Исследовать устойчивость САР, если передаточная функция ее разомкнутой цепи

где

Перенесем слагаемые из знаменателя в числитель и полученную таким образом условную передаточную функцию разомкнутой системы разложим на элементарные сомножители:

Строим логарифмические частотные характеристики условной разомкнутой системы по следующим данным: .

По характеристикам (рис. 6.19) заключаем, что при замыкании исследуемая система становится неустойчивой.

Условная разомкнутая система имеет три нулевых корня, и поэтому ЛФЧХ нужно дополнить монотонным участком, сводящим ее к нулю при Следовательно, на этом участке ЛФЧХ имеет один отрицательный переход через линию —180°. Для устойчивости замкнутой системы ЛФЧХ должна иметь еще положительный переход, что на рис. 6.19 показано штрихпунктирной линией.

1
Оглавление
email@scask.ru