6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФЧХ, но и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Эту возможность используют весьма широко вследствие простоты построения таких характеристик и определения по ним запаса устойчивости.

Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию —180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю). Пересечение фазово-частотной характеристикой линии —180° снизу вверх считается положительным, а сверху вниз — отрицательным. На рис. 6.14 показаны наиболее характерные ЛФЧХ.

Рис. 6.14. Логарифмические астстиые характеристики разомкнутой системы: 1 — замкнутая система абсолютно устойчивая; 2 — условно устойчивая; 3 — на границе устойчивости; 4 — неустойчивая

Рис. 6.15. Логарифмические частотные характеристики цепи из четырех апериодических звеньев

Пример 6.10. Выяснить устойчивость САР, у которой разомкнутая цепь описывается передаточной функцией

где

По характеристическому полиному разомкнутой системы (по знаменателю заключаем, что все его корни вещественные отрицательные.

Затем строим логарифмические частотные характеристики (см. по следующим данным: дБ; сопрягающие частоты Характеристически показаны на рис. 6.15.

На участке частот, при которых асимптотическая ЛАЧХ положительная (до частоты среза сос), ЛФЧХ не пересекает линии —180°. Поэтому делаем вывод, что замкнутая система устойчивая.

Для суждения об устойчивости обычно сначала строят асимптотическую ЛАЧХ. Затем к ней нужно сделать поправки (см. п. 5.3) около тех частот, которые ограничивают положительные участки и расположены достаточно близко от сопрягающих частот (особенно от сопрягающих частот, соответствующих колебательным звеньям).

В примере 6.10 поправки к асимптотической ЛАЧХ не сделаны, так как частота среза достаточно удалена от сопрягающих частот Поправки мало повлияют на значение сос и не изменят вывода об устойчивости системы.

Фазово-частотная характеристика нейтральной разомкнутой системы при стремится к где — число нулевых

Рис. 6.16. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой нейтральной системы: 1 — при ; 2 - при

Рис. 6.17. Логарифмические частотные характеристики к примеру 6.11

корней характеристического уравнения. Поэтому ЛФЧХ такой системы нужно дополнить монотонным участком, приводящим ее к при (рис. 6.16). Это соответствует дополнению АФЧХ бесконечно большим радиусом.

Пусть характеристический полином разомкнутой системы имеет корней с положительной вещественной частью. В этом, самом общем, случае критерий формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линии —180°, —3 180°, равнялась 1/2. При наличии в характеристическом полиноме нулевых корней начальную часть ЛФЧХ опять следует приводить

Пример 6.11. Выяснить устойчивость системы с передаточной функцией разомкнутой цепи

где

Характеристический полином разомкнутой системы имеет два нулевых корня и один вещественный положительный корень, равный 4.

Для построения логарифмических частотных характеристик имеем дБ; сопрягающие частоты

Рис. 6.18. Логарифмические частотные характеристики неустойчивом разомкнутой системы

Рис. 6.19. Логарифмические частотные характеристики условной разомкнутой системы

Характеристики показаны на рис. 6.17. Вследствие положительного корпя начальный (при ) скачок ЛФЧХ на нужно отсчитывать не от нуля, а от —180°. Это показано штриховой линией со стрелками.

На участке частот, при которых ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ делает полперехода через линию —180° сверху вниз и один переход снизу вверх. Следовательно, разность между числом положительных и отрицательных переходов составляет и можно сделать вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии. Поправки к асимптотической ЛАЧХ на него не повлияют.

Переходы ЛФЧХ через линию —180°, а возможно и через линии при высоком порядке характеристического полинома подсчитывают не только на начальном, но и на последующих положительных участках ЛАЧХ. На рис. 6.18 показан один из возможных случаев: разность между положительными и отрицательными переходами составляет , и замкнутая система устойчива.

Знаменатель передаточной функции разомкнутой многоконтурной системы порядка обычно представляет собой полином порядка, и для построения ЛЧХ его разлагают на элементарные сомножители. Эти вычисления можно существенно упростить, если воспользоваться тем, что критерий Найквиста позволяет переносить часть членов знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, кроме старшего, в числитель.

Пример 6.12. Исследовать устойчивость САР, если передаточная функция ее разомкнутой цепи

где

Перенесем слагаемые из знаменателя в числитель и полученную таким образом условную передаточную функцию разомкнутой системы разложим на элементарные сомножители:

Строим логарифмические частотные характеристики условной разомкнутой системы по следующим данным: .

По характеристикам (рис. 6.19) заключаем, что при замыкании исследуемая система становится неустойчивой.

Условная разомкнутая система имеет три нулевых корня, и поэтому ЛФЧХ нужно дополнить монотонным участком, сводящим ее к нулю при Следовательно, на этом участке ЛФЧХ имеет один отрицательный переход через линию —180°. Для устойчивости замкнутой системы ЛФЧХ должна иметь еще положительный переход, что на рис. 6.19 показано штрихпунктирной линией.