5.3. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗОМКНУТОЙ ОДНОКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ

Частотная передаточная функция одноконтурной разомкнутой САР представляет собой произведение частотных передаточных функций типовых динамических звеньев

или может быть приведена к такому виду. Поэтому ее логарифмические частотные характеристики определяются равенствами

Следовательно, для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ системы достаточно построить и просуммировать ЛАЧХ всех звеньев, а затем построить и просуммировать ЛФЧХ всех звеньев.

Асимптотические ЛАЧХ типовых динамических звеньев приведены в табл. 2.3, и построение асимптотической ЛАЧХ системы не может вызвать затруднений.

У звеньев первого порядка (их передаточные функции содержат полином или ) максимальное отклонение асимтотической ЛАЧХ от действительной составляет только 3 дБ. Однако у звеньев второго порядка (их передаточные функции содержат полином , где или полином , где асимптотическая ЛАЧХ отклоняется от действительной не более чем на 6 дБ лишь при . А при малых различие между асимптотической и действительной ЛАЧХ велико. В связи с этим во многих случаях необходима действительная ЛАЧХ разомкнутой системы, которую можно получить, суммируя действительные ЛАЧХ отдельных звеньев.

Действительную ЛАЧX инерционного звена первого порядка можно построить с помощью шаблона, который изготовляют из твердого и прозрачного материала. Шаблон (рис. 5.5) прикладывают к чертежу

Рис. 5.5. Шаблон для построения ЛАЧХ звеньев первого порядка

Таблица 5.1 (см. скан) Поправки к асимптотической ЛАЧХ с наклоном ±20 дБ

так, чтобы асимптоты в его левой и правой части совпадали с асимптотической ЛАЧХ и относительная частота совпадала с сопрягающей частотой Затем проводят кривую действительной ЛАЧХ.

Шаблон, показанный на рис. 5.5, может быть использован и для построения действительной ЛАЧХ форсирующего звена первого порядка.

Действительную ЛАЧХ типового динамического звена как первого, так и второго порядка удобно получить, суммируя ординат асимптотической ЛАЧХ с поправками Значения модуля поправки в зависимости от относительной частоты или приведены в табл. 5.1 и 5.2. Рисунки, помещенные в верхней части этих таблиц, показывают, с каким знаком должны быть взяты поправки при той или иной форме асимптотической ЛАЧХ.

Для построения ЛФЧХ типовых звеньев в табл. 5.3 приведены значения модуля в зависимости от относительной частоты

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

при различных значениях или . Рисунки, имеющиеся в таблице, указывают знак и расположение ЛФЧХ при различной форме асимптотической ЛАЧХ.

ЛФЧХ звеньев первого порядка можно строить с помощью шаблона (рис. 5.6). Располагать шаблон нужно в соответствии с рисунками табл. 5.3.

Пример 5.3. Построить логарифмические частотные характеристики интегро-дифференцирующего элемента с передаточной функцией

Эту передаточную функцию можно представить в виде

где

Следовательно, рассматриваемый элемент есть последовательное соединение трех типовых динамических звеньев: колебательного и двух форсирующих первого порядка с

Продолжение табл. 5.3 (см. скан)

передаточными коэффициентами, равными единице. Поэтому логарифмические частотные характеристики элемента равны сумме соответствующих логарифмических частотных характеристик этих звеньев.

Построим сначала ЛАЧХ колебательного звена. Определяем ординату низкочастотной асимптоты дБ, сопрягающую частоту и наносим на график (рис. 5.7) асимптотическую ЛАЧХ этого звена. Ее высокочастотная асимптота имеет наклон -40 дБ/дек.

Для получения действитель ной ЛАЧХ нужно сделать поправки. Значения характеристик берем из табл. 5.2 по строке, которая соответствует 0,15. Рисунок а этой таблицы показывает, что поправки должны прибавляться к асимптотической

Накладываем на график полоску бумаги со шкалой

Рис. 5.6. Шаблон для построения ЛФЧХ звеньев первого порядка

Рис. 5.7. Построение логарифмических частотных характеристик

относительных частот так, чтобы единица этой шкалы совпала с сопрягающей частотой Затем значения 6 откладываем от асимптотической Соединив эти точки плавной кривой, получим действительную колебательного звена.

Для построения ЛАЧХ форсирующих звеньев первого порядка можно воспользоваться шаблоном (см. рис. 5.5). Определяем сопрягающую частоту первого из этих звеньев и отмечаем ее на графике (рис.. 5.7). Затем прикладываем к графику шаблон так, чтобы его отметка «1» совпала с сопрягающей частотой Низкочастотную асимптоту шаблона совмещаем с осью абсцисс, так как передаточный коэффициент звена равен единице. Высокочастотную асимптоту шаблона направляем вверх, ибо звено форсирующее. Обведя криволинейную сторону шаблона, получим Высокочастотная асимптота имеет наклон и ее можно продолжить насколько необходимо.

Определяем далее сопрягающую частоту второго форсирующего звена отмечаем ее на графике и строим с помощью шаблона действуя так же. как и в предыдущем случае.

Суммировав кривые и найдем действительную рассматриваемого интегро-дифференцирующего элемента. При она практически совпадает с

Построим теперь ЛФЧХ колебательного звена. Значения модуля фазы берем из табл. 5.3 по строке, которая соответствует Знак фазы определяется рисунком, помещенным в поз. этой таблицы, т. е. Для нанесения значений на график (рис. 5.7) используем шкалу относительных частот

Соединив все точки плавной кривой, получим АФЧХ Ее низкочастотная часть равна 0 и высокочастотная часть равна —180°.

ЛФЧХ и форсирующих звеньев первого порядка строим с помощью шаблона, показанного на рис. 5.6. У форсирующих звеньев ЛФЧХ положительные.

Сумма кривых есть искомая ЛФЧХ ингегро-дифференцирующего элемента.

При построении асимптотической ЛАЧХ цепи, состоящей более чем из трех последовательно соединенных звеньев, удобнее поступать несколько иначе. Передаточную функцию нужно привести к виду

где — передаточный коэффициент; — порядок астатизма; — полиномы вида — полиномы вида

Затем определить сопрягающие частоты и и отметить их на графике (для каждой частоты проведем штриховую линию).

После этого построить низкочастотную асимптоту ЛАЧХ с наклоном — Ордината этой асимптоты или ее продолжение при должна быть равна Заканчивается низкочастотная асимптота на первой сопрягающей частоте.

Для быстрого перевода натуральных чисел в децибелы служат номограммы (рис. 5.8). Каждая из них имеет пять шкал натуральных чисел А и пять шкал соответствующих им значений Со шкалы А нужно переходить на соединенную с ней шкалу

Например, натуральному числу соответствует (рис. дБ. Натуральному числу соответствует (рис. 5.8, б) дБ.

На первой и всех последующих сопрягающих частотах наклон асимптотической ЛАЧХ изменяется. На сопрягающих частотах, созданных полиномами числителя передаточной функции изменение наклона положительное. Наоборот, на сопрягающих частотах, созданных полиномами знаменателя передаточной функции изменение наклона отрицательное. Полином первой степени изменяет наклон на и полином второй степени на

Высокочастотную асимптоту ЛАЧХ (справа от наибольшей сопрягающей частоты) проводят в требуемом диапазоне частот.

Пример 5.4. Построить асимптотическую ЛАЧХ цепи с передаточной функцией

где ;

Рис. 5.8. (см. скан) Номограммы для перевода натуральных чисел в децибелы

Определяем сопрягающие частоты:

и отмечаем их на графике (рис. 5.9).

Порядок астатизма поэтому низкочастотную асимптоту проводим с наклоном -20 дБ/дек до первой сопрягающей частоты и так, чтобы ее продолжение при имело ординату, равную дБ.

На сопрягающей частоте наклон асимптоты изменяется на -20 дБ/дек. Последующим сопрягающим частотам соответствует изменение наклона на Высокочастотная асимптота имеет, следовательно, наклон -60 дБ/дек.

Рис. 5.9. Построение асимптотической ЛАЧХ

Для получения действительной ЛАЧХ необходимо около каждой сопрягающей частоты асимптотической ЛАЧХ построить кривую поправок, пользуясь данными табл. 5.1 и 5.2. Затем все кривые поправок необходимо сложить с асимптотической ЛАЧХ.

Если в передаточной функции рассматриваемой цепи все полиномы и первого порядка (цепь состоит из звеньев первого порядка), то допустимо приближенное построение ЛФЧХ. На малых частотах, когда фаза равна , проводится прямая до первой сопрягающей частоты. Затем на каждой сопрягающей частоте, созданной полиномом следует прибавить 90° и на каждой сопрягающей частоте, созданной полиномом вычесть 90°. Затем полученную ступенчатую кривую следует сгладить [116].

Неминимально-фазовые звенья. Линейная система может содержать неминимально-фазовые звенья, передаточные функции которых имеют положительные нули или полюсы (см. п. 2.6). Неминимально-фазовое и минимально-фазовое звенья с одинаковыми амплитудно-частотными характеристиками имеют различные фазово-частотные характеристики. Это обстоятельство и необходимо учитывать при построении логарифмических частотных характеристик цепи с неминимально-фазовыми звеньями.

Основные сведения об элементарных неминимально-фазовых звеньях даны в табл. 5.4. Для каждого звена показано, в частности, расположение ЛФЧХ относительно его сопрягающей частоты. При построении этих характеристик следует использовать табл. 5.3. У неминимально-фазовых звеньев те же ЛАЧХ, что и у звеньев, передаточные функции которых отличаются отсутствием отрицательных знаков (см. табл. 2.3).

Некоторые полиномы второго порядка с корнем, имеющим положительную вещественную часть, могут быть

(кликните для просмотра скана)

Продолжение табл. 5.4 (см. скан)

разложены на произведение полиномов первой степени:

где

где

Следовательно, неминимально-фазовое звено, передаточная функция которого содержит какой-либо из перечисленных полиномов, следует рассматривать как последовательное соединение двух звеньев первого порядка, лишь одно из которых неминимально-фазовое.

Трансцендентные и иррациональные звенья. Системы, содержащие звенья с трансцендентными и иррациональными передаточными функциями, не являются, конечно, линейными. Однако для их исследования в ряде случаев могут быть использованы логарифмические частотные характеристики.

Трансцендентными являются звено запаздывания (или чистого запаздывания) с передаточной функцией и звено полузапаздывания (или затухания) с передаточной функцией

Таблица 5.5 (см. скан) Иррациональные звенья

Частотная передаточная функция и частотные характеристики звена запаздывания

Частотная передаточная функция и частотные характеристики звена полузапаздывания

Основные данные об иррациональных звеньях 1105] сведены в табл. 5.5. Максимальная разность между действительной и асимптотической ЛАЧХ полу инерционных звеньев имеет место при и составляет приблизительно дБ у звена первого рода дБ у звена второго рода.