6.1. УСЛОВИЕ И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Дифференциальное уравнение линейной или линеаризованной САР имеет следующий вид (см. пп. 2.2 и 3.2):

где - соответственно регулируемая величина, задающее воздействие и возмущение или отклонения этих величин от их базисных значений; — постоянные коэффициенты; — оператор дифференцирования.

Для оценки устойчивости системы должна быть исследована свободная составляющая решения уравнения (6.1), т. е. решение однородного уравнения

при начальных условиях

где — постоянные, ограниченные по абсолютному значению.

Общее решение уравнения (6.2) есть сумма слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического уравнения

Следует заметить, что коэффициенты уравнения (6.4) и, следовательно, значения его корней зависят только от свойств и параметров элементов системы, способа их соединения.

Если характеристическое уравнение не имеет кратных корней (что наиболее вероятно, так как корни вычисляются приближенно), то решение уравнения (6.2) будут иметь слагаемые вида

Слагаемое (6.5) соответствует вещественному корню и слагаемое (6.6) соответствует паре комплексных сопряженных корней

Если в решении уравнения (6.2) какое-нибудь его слагаемое неограниченно возрастает по абсолютному значению, то неограниченно возрастает по абсолютному значению и вся сумма в целом. Очевидно, что присутствие одного положительного вещественного корня достаточно для того, чтобы соответствующее ему слагаемое в решении уравнения (6.2) неограниченно возрастало. При наличии одной пары комплексных сопряженных корней с положительной вещественной частью в решении уравнения (6.2) оказывается гармоническое слагаемое с неограниченно возрастающей амплитудой. В обоих случаях система оказывается неустойчивой.

Таким образом, для устойчивости (асимптотической устойчивости) линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. При наличии хотя бы одного корня с положительной вещественной частью система неустойчива.

Среди корней характеристического уравнения может быть корень или пара чисто мнимых корней Если при этом вещественные части всех остальных корней отрицательны, то решение уравнения (6.2) будет иметь постоянное слагаемое - или гармоническое слагаемое с постоянной амплитудой . В этих случаях система нейтральна.

Сформулированное выше условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем (теоремы Ляпунова): по корням характеристического уравнения системы, элементы которой описываются линеаризованными уравнениями (см. п. 2.1), действительно можно судить о ее устойчивости или неустойчивости. Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.

Корни алгебраического уравнения, как и всякие комплексные числа, удобно преставлять в виде точек на комплексной плоскости. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости (рис. 6.1, а), т. е. чтобы все корни были «левыми». Если хотя бы один вещественный корень

Рис. 6.1. Расположение корней характеристического уравнения системы пятою поридка: а — устойчивой; б - неустойчивой; в и г - находящейся на границе устойчивости

или одна пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимой оси, то система неустойчива (рис. 6.1, б).

Мнимая ось является, следовательно, границей устойчивости. Говорят, что система находится на границе устойчивости, если имеется нулевой корень (рис. 6.1, в) или пара чисто мнимых корней (рис. 6.1, г), а остальные корни «левые». В первом случае, который имеет место при уравнения (6.1) и (6.2) определяют только скорость изменения переменной а сама эта переменная будет зависеть еще и от своего начального значения. Во втором случае в системе имеют место незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой.

На практике для упрощения расчетов устойчивость САР определяют с помощью критериев устойчивости. Критерий устойчивости — это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Рассматриваются коэффициенты характеристического уравнения или некоторые их функции. Критерии устойчивости эквивалентны сформулированному выше условию устойчивости.

Системы первого и второго порядка устойчивы, если все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля. Для систем более высокого порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но недостаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты этого уравнения положительны, то все его вещественные корни отрицательны, но среди комплексных корней могут быть и корни с положительной вещественной частью. Если хотя бы один из коэффициентов отрицателен, то система заведомо неустойчива. При равенстве нулю коэффициента система находится на границе устойчивости. При равенстве нулю какого-либо другого коэффициента система или находится на границе устойчивости, или неустойчива.

Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица, Льенара-Шипара и Рауса, к частотным — критерии Михайлова и Найквиста.

Из алгебраических критериев устойчивости чаще используются критерии Гурвица и Рауса. Критерий Гурвпца удобен для исследования устойчивости систем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры системы. Кроме того, он позволяет получить аналитическое выражение (выражения) для исследования влияния какого-либо параметра (параметров) на устойчивость.

Критерий Рауса широко используют при определении устойчивости систем высокого порядка, если известны (или могут быть подсчитаны) коэффициенты характеристического уравнения. Этот критерий удобен при использовании ЭЦВМ. В этом случае можно выяснить влияние коэффициентов уравнения (параметров системы) устойчивость.

Критерии Михайлова при инженерных расчетах используется сравнительно редко.

По критериям Гурвпца, Рауса и Михайлова можно судить об устойчивости САР как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии. При использовании этих критериев рассматривают характеристическое уравнение, и в ряде случаев расчеты можно упростить за счет изменения масштаба коэффициентов этого уравнения 11181.

Коэффициенты характеристического уравнения нужно разделить на и сделать подстановку Тогда это уравнение примет следующий вид:

Постоянную с следует выбирать так, чтобы иметь Иногда удобнее сделать равным единице коэффициент при . В ряде случаев целесообразно принимать с результате характеристическое уравнение принимает более простой вид, но только его корни уменьшаются в с раз.

Пример 6.1. Имеется характеристическое уравнение

Его корни:

Разделим уравнение на

Сделаем подстановку

Уравнение приняло более простой вид. Его корни:

Наиболее широко используют критерий Найквиста. причины этого заключаются в следующем.

1. Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция, чаще всего, состоит из простых сомножителей. Коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбирать их из условий устойчивости.

2. Для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объект регулирования, исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов.

3. Исследовать устойчивость можно по логарифмическим частотным характеристикам, построение которых несложно.

4. Удобно определять запас устойчивости.

Проверка устойчивости с одновременной оценкой качества регулирования может быть сделана с помощью корневого годографа (см. п. 7.8).