6.9. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Весьма часто возникает необходимость исследовать влияние на устойчивость САР тех или иных ее параметров. Обычно рассматривают влияние таких параметров, которые могут быть изменены, например передаточных коэффициентов и постоянных времени усилительно-преобразовательных элементов.

Допустимые пределы изменения одного или двух параметров определяют при неизменных значениях остальных. В последнем случае на плоскости двух параметров выделяют (строят) область устойчивости, т. е. такую область изменения этих параметров, при которых САР остается устойчивой.

Построение областей устойчивости возможно с помощью любого из критериев устойчивости. Однако так поступают лишь при определении граничного значения передаточного коэффициента разомкнутой системы, а при выделении областей устойчивости привлекают более общий метод -разбиения. Принципиально это метод разделения -мерного пространства параметров на области, каждой из которых соответствует определенное число правых корней характеристического уравнения. Область, которой соответствует нуль правых корней, есть область устойчивости. Практически с помощью -разбиения выделяют области устойчивости в плоскости одного и двух параметров. Предложен также метод построения областей устойчивости в плоскости обобщенных параметров.

Определение граничного значения передаточного коэффициента. Весьма часто выясняют влияние на устойчивость передаточного коэффициента разомкнутой САР. Определяют его граничное значение т. е. то значение, при котором САР оказывается на границе устойчивости. Такая необходимость возникает

потому, что с увеличением повышается статическая точность (см. п. 7.1) и нужно знать, в каких пределах его можно увеличивать.

В САР до четвертого порядка включительно наиболее просто определить по критерию Гурвида (см. п. 6.2). Неравенства, составляющие условие устойчивости, записывают как равенства, и те из них, которые содержат рассматривают как уравнения относительно

В примере 6.2 для определения достаточно составленное неравенство превратить в равенство. Из этого примера следует, что в наиболее неблагоприятном случае, при

Чем больше в одноконтурной САР апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени, тем меньше при четырех звеньях равно 4, при пяти — 2,9, при шести —2,4. Для одноконтурной САР, состоящей из трех апериодических звеньев, тем больше, чем больше разница между наибольшей и наименьшей постоянными времени, а их среднее арифметическое должно быть равно постоянной времени третьего звена.

Пусть постоянные времени апериодических звеньев одноконтурной САР образуют геометрическую прогрессию

Тогда граничное значение передаточного коэффициента зависит от и числа звеньев следующим образом [19]: если то равно соответственно 37; 30; 29 и 28 при и 6; если то при при и 6.

Прнмер в. 16. Определить граничное значение передаточного коэффициента разомкнутой САР с передаточной функцией

где

Составим характеристическое уравнение замкнутой САР

Уравнение третьего порядка, все его коэффициенты положительные. Для устойчивости необходимо и достаточно удовлетворить неравенство (6.10), которое в данном случае имеет вид

Превратим это неравенство в равенство и определим, что

Передаточный коэффициент всегда положительная величина. Поэтому, если условия устойчивости удовлетворяются при то они удовлетворяются и при всех возможных значениях . В подобных случаях принимают (условно), что . Если не входит в условия устойчивости, то и в этом случае принимают Возможность создания САР с весьма большим значением будет рассмотрена в

Пример Определить граничное значение передаточного коэффициента разомкнутой САР с передаточной функцией

Составим характеристическое уравнение замкнутой САР

и условие ее устойчивости

Коэффициент не входит в условие устойчивости. Замкнутая система устойчива при всех возможных значениях и

В условно устойчивых САР (см. п. 6.5) не одно, а два граничных значения передаточного коэффициента разомкнутой цепи. Ими являются наибольшее и наименьшее значения при которых САР оказывается на границе устойчивости.

Пример 6.18. Выяснить, при каких значениях будет устойчива САР, если передаточная функция ее разомкнутой цепи

Составим характеристическое уравнение замкнутой САР:

По критерию Гурвица для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно удовлетворить два неравенства:

Из этих двух неравенств определим требования к значению передаточного коэффициента:

Итак, замкнутая САР устойчива, если

Значение удобно определять по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой САР. Если то запас устойчивости по модулю равен нулю и частота среза совпадает с частотой при которой —180°. Поэтому для определения нужно построить при заданном или произвольно выбранном значении (например, при Затем определить ординату низкочастотной асимптоты (или ее продолжения) при частоте и ординату при частоте Ордината может быть как положительной, так и отрицательной. Равенство

позволяет вычислить значение

В примере 6.10 (см. рис. 6.15) . Следовательно, .

При высоком порядке характеристического уравнения для определения используют метод -разбиения.

D-разбиение плоскости одного параметра. Пусть требуется выяснить, в каких пределах можно изменять параметр не

Рис. 6,29» -разбненне плоскости параметра

нарушая при этом устойчивости. Предположим, что входит в характеристическое уравнение замкнутой системы линейно и уравнение может быть приведено к виду

где — полиномы от

Разрешим уравнение (6.31) относительно

Это равенство определяет зависимость параметра от значения корней характеристического уравнения. Прежде всего интересно выяснить, при каких значениях система находится на границе устойчивости, т. е. какие значения соответствуют чисто мнимому корню Сделаем подстановку и построим на комплексной плоскости (рис. 6.23) график функции

при изменении со от до

Функция — четная функция , а — нечетная, поэтому искомая кривая симметрична относительно вещественной оси и достаточно построить одну ветвь кривой, изменяя со от О до а затем построить ее зеркальное отображение относительно вещественной оси.

Полученную таким образом кривую называют кривой -разбиения, она представляет собой отображение мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения на плоскость параметра Если, двигаясь по кривой от к наносить штриховку слева, то эта штриховка будет направлена в ту часть плоскости параметра которая соответствует левой полуплоскости корней.

Кривая -разбиения разделяет плоскость параметра на несколько областей (области на рис. 6.23). Та из них, внутрь которой направлена штриховка кривой, может быть областью устойчивости (область 4 на рис. 6.23). Теперь нужно взять какую-либо точку на оси абсцисс из этой области и, пользуясь любым критерием устойчивости, проверить устойчивость системы при Если критерий удовлетворяется, то рассматриваемая область есть область устойчивости.

Равенство (6.33) условно определяет параметр как комплексную величину. На самом деле это вещественная величина и на плоскости следует рассматривать только точки, лежащие на вещественной оси. Поэтому значения параметра при которых

Рис. 6.24. О-разбиение плоскости параметра

система остается устойчивой, определяются отрезком положительной полуоси абсцисс, лежащим внутри области устойчивости.

Пример 6.19. Передаточная функция разомкнутой САР

где

Выяснить влияние постоянной времени дифференцирующего звена на устойчивость замкнутой системы.

Составим характеристическое уравнение замкнутой системы:

Решим это уравнение относительно

и выполним подстановку

где

Для построения кривой -разбиения определим:

Полученные данные позволяют построить кривую (рис. 6.24) на участке от до Построив зеркальное отображение этого участка кривой относительно оси абсцисс, получим второй ее участок (от до ). Двигаясь по кривой от штрихуем ее слева.

Плоскость разделена на три области, из которых на устойчивость претендует область так как штриховка направлена внутрь этой области. Проверим устойчивость системы при — эта точка лежит в области 3. Характеристическое уравнение при этом значении

Критерий устойчивости Гурвица удовлетворяется: все коэффициенты характеристического уравнения положительные и выполняется неравенство (6.10):

Следовательно, область 3 есть область устойчивости. Рассматриваемая САР устойчива при

Иногда параметр влияние которого на устойчивость САР исследуют, входит в характеристическое уравнение как в первой,

так и во второй степени. Тогда можно обозначить и делать -разбиение плоскости параметров и

D-разбиение плоскости двух параметров. Предположим, что нужно выяснить влияние на устойчивость САР двух параметров: (1 и ), которые входят в ее характеристическое уравнение линейно. Тогда это уравнение может быть приведено к виду

где и — полиномы от

После подстановки

где — полиномы от , и уравнение (6.34) распадается на два:

Решим эту систему уравнений:

где определитель системы уравнения (6.35)

Равенства (6.36) определяют как функции . Следовательно, при каждом значении можно вычислить значения и нанести соответствующую точку на плоскость параметров . Геометрическое место этих точек при изменении от до является кривой -разбиения плоскости где откладывается по оси абсцисс и по оси ординат.

Уравнения (6.35) совместны и равенства (6.36) определяют точки кривой -разбиения только при тех значениях со, при которых определитель А не равен нулю.

При движении по кривой -разбиения в сторону возрастания (от 0 к ) штриховку наносят слева, если определитель А положителен, и справа, если А отрицателен. Точка по кривой пробегает дважды: первый раз при изменении от до 0 и второй раз при изменении от 0 до Однако при меняется знак определителя А, и поэтому кривую оба раза штрихуют с одной и той же стороны.

При некотором значении (отличном от нуля) определитель А может обратиться в нуль. Если при этом числители равенств (6.36) не равны одновременно нулю, то точка уходит в бесконечность.

Если же одновременно с А обращаются в нуль и числители равенств (6.36), то уравнения (6.35) оказываются линейно зависимыми, отличающимися одно от другого на постоянный множитель.

Рис. 6.25. Правила штриховки особых прямых

Получается уравнение прямой линии

которую называют особой прямой. Всем ее точкам соответствует одно и то же значение Появление особых прямых отличает -разбиение плоскости двух параметров от -разбиения плоскости одного (комплексного) параметра.

Особые прямые получаются также из уравнения при и из уравнения при если в эти коэффициенты линейно входит хотя бы один из параметров и

Правила штриховки особых прямых следующие:

а) если особая прямая и кривая -разбиения сближаются асимптотически — штриховка особой прямой однократная, направлена к заштрихованной стороне кривой -разбиения (рис. 6.25, а);

б) если особая прямая имеет общую точку с кривой -разбиения, но не пересекает ее — штриховка особой прямой однократная и около общей точки направлена к заштрихованной стороне кривой -разбиения; в точках пересечения с кривой -разбиения штриховку особой прямой не изменяют, так как знак определителя А в этих точках не меняется (рис. 6.25, б):

в) если особая прямая пересекает кривую -разбиения в двух точках — штриховка особой прямой двойная и направлена к заштрихованной стороне кривой -разбиения около той точки пересечения (точка А на рис. 6.25, в), в которой определитель А меняет знак; во второй точке пересечения (точка В на рис. 6.25, в) определитель А не меняет знака и штриховку особой прямой не изменяют;

г) если особая прямая пересекает кривую -разбиения (рис. 6.25, г), но знак определителя А в точке пересечения не меняется — особую прямую не штрихуют.

После того как кривая -разбиения и особые прямые построены и на них нанесена штриховка, отыскивают область, внутрь которой направлена штриховка ее границ. Это область потенциальной устойчивости. После подстановки в характеристическое уравнение значений соответствующих какой-либо точке

этой области, используют один из критериев устойчивости. Если он удовлетворяется, то рассматриваемая область есть область устойчивости, т. е. при всех сочетаниях параметров соответствующих точкам этой области, исследуемая САР устойчива. Возможны случаи, когда область устойчивости отсутствует.

Пример 6.20. Выяснить зависимость устойчивости САР от постоянных времени и . Передаточная функция разомкнутой системы

где

Составим характеристическое уравнение замкнутой системы:

и приведем его к виду (6.34):

Выполним подстановку и тогда уравнение распадется на два:

где Вычислим значение определителя системы уравнений:

По формулам (6.36) составим выражения для определения :

Вычислим значения

По результатам вычислений строим кривую -разбиения (рис. 6.26). При движении по кривой штриховку наносим справа, так как при

Рис. 6.26. -разбиение плоскости параметров

Определитель обращается в нуль только при Коэффициент характеристического уравнения не зависит от параметров но коэффициент зависит от параметра Приравняв этот коэффициент нулю, получим уравнение единственной особой прямой т. е. особой прямой является ось ординат.

Она асимптотически приближается к кривой -разбиения при и поэтому ее нужно штриховать в соответствии с правилом а (см. рис. 6.25, а).

Итак, плоскость параметров делится на четыре области. Штриховка направлена внутрь области 1, которая и является, следовательно, областью потенциальной устойчивости. Проверим ее устойчивость по точке М. Подставим в характеристическое уравнение

Проверим устойчивость по критерию Гурвица:

Следовательно, область 1 является областью устойчивости. Параметры — это положительные величины, поэтому действительной областью устойчивости является только часть области лежащая в первом квадранте.

Методом -разбиения плоскости двух параметров иногда можно выяснить влияние на устойчивость одного параметра который входит в характеристическое уравнение нелинейный образом, но этот полином удается представить в виде (6.34), обозначив и некоторые функции параметра

В ряде случаев уравнения относительно параметров и к) оказываются нелинейными и после подстановки имеют вид

Тогда кривую -разбиения строят в результате числового решения системы уравнений (6.38). Штриховка кривой определяется знаком якобиана, который составляют из частных производных от функций и по переменным

При движении по кривой в сторону увеличения ее штрихуют слева при и справа при ,

Иногда в характеристическое уравнение линейно входят две нелинейные функции тех параметров, влияние которых на устойчивость нужно выяснить. Тогда -разбиение относительно этих двух нелинейных функций является линейной задачей.

Пример 6.21. Выяснить влияние на устойчивость САР передаточного коэффициента ее разомкнутой цепи и постоянной времени форсирующего звена. Передаточная функция разомкнутой САР

где

Составим характеристическое уравнение замкнутой системы:

Будем выполнять -разбиение относительно этом случае задача будет линейной.

После подстановки определим:

Результаты вычислений таковы:

По полученным данным построена кривая -разбиения (рис. 6.27). Свободный член характеристического уравнения поэтому уравнение особой прямой , т. е. особой прямой является ось ординат. Она имеет общую точку с кривой -разбиения и ее следует штриховать по правилу (см. рис. 6.25, б).

Плоскость параметров разделена на три области, из которых областью потенциальной устойчивости является область 1. Для проверки рассмотрим точку М с координатами [20; 2]. После подстановки в характеристическое уравнение получим

Все коэффициенты этого уравнения положительные и

т. е. условия устойчивости по критерию Гурвица удовлетворяются.

Следовательно, область есть область устойчивости. Параметр не может быть отрицательным, и действительной областью устойчивости является лишь та часть области которая лежит в первом квадранте. Значение параметра при каждом значении определяется так:

Рис. 6.27. -разбиенне плоскости двух параметров

Рис. 6.28. Плоскость обобщенных параметров САР четвертого порядка: а — с областью устойчивости; б — с определением граничных значений

Другие методы. С целью упрощения устойчивости Гурвица и использования их для выделения областей устойчивости, предложено [95] рассматривать обобщенные параметры (обозначим их которые вычисляются по коэффициентам характеристического уравнения САР:

Тогда система третьего порядка характеризуется только одним обобщенным параметром и условием устойчивости при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения является неравенство

Точка соответствует наличию нулевого или бесконечного корня, а точка наличию пары мнимых корней характеристического уравнения.

Система четвертого порядка характеризуется обобщенными параметрами Условие устойчивости при положительности коэффициентов характеристического уравнения составляют неравенства

Графически область устойчивости в плоскости параметров представляет собой треугольник (рис. 6.28, а). Наклонный прямой соответствует наличие пары мнимых корней. При имеется один бесконечный корень и при — один нулевой корень.

Система пятого порядка характеризуется обобщенными параметрами Условие устойчивости при положительности коэффициентов характеристического уравнения составляют неравенства

При каждом значении параметра в плоскости параметров может быть выделена область устойчивости.

Пример 6.22. Выяснить влияние постоянной времени форсирующего звена на устойчивость которой передаточная функция разомкнутой цепи

где

Составим характеристическое уравнение замкнутой

Определим значения обобщенных параметров:

Вычислим значения обобщенных пармметров при нескольких значениях

Нанесем эти точки на график (рис. 6.28, б) и соединим их кривой. Система устойчива при т. е. при

Выяснить зависимость устойчивости САР от какого-либо параметра а можно с помощью ЛЧХ [109]. Достаточно построить разомкнутой САР при нескольких значениях а и определить соответствующие значения запаса устойчивости у по фазе. При система неустойчива.

Одновременно целесообразно определить значения запаса устойчивости по модулю. Графики зависимости -у и Л от а с достаточной полнотой характеризуют влияние этого параметра как на устойчивость, так и на запасы устойчивости.