9.4. МЕТОД ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Свойства САР полностью определяются частотными характеристиками ее разомкнутой цепи. Если все элементы системы минимально-фазовые, то достаточно рассматривать только амплитудно-частотную характеристику. Построение логарифмических амплитудно-частотных характеристик не сложно, поэтому метод синтеза САР, использующий ЛАЧХ, широко применяют в инженерной практике.

Сущность этого метода заключается в следующем. Сначала строят асимптотическую ЛАЧХ неизменяемой (основной) части системы. Затем составляют желаемую ЛАЧХ разомкнутой системы. Разность

есть ЛАЧХ дополнительного элемента, который нужно ввести в систему, чтобы она имела необходимые свойства.

Неизменяемая часть системы регулирования по отклонению содержит объект регулирования и исполнительный элемент, а также элемент основной обратной связи и элемент сравнения. К неизменяемой части обычно относят еще элементы, которые обеспечивают необходимые статические свойства: усилитель и в астатической системе интегрирующий или изодромный элемент (элементы). Асимптотическую ЛАЧХ строят по передаточной функции неизменяемой части системы (см. п. 5.3).

Желаемую ЛАЧХ условно разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную. Низкочастотная часть определяет статическую точность системы — точность в установившихся режимах. В статической системе низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс. В астатической системе наклон этой асимптоты составляет где — порядок астатизма Ордината определяется значением передаточного коэффициента разомкнутой системы. Чем шире низкочастотная часть тем больше высоких частот воспроизводится системой без заметного ослабления.

Среднечастотная часть является наиболее важной, так как она определяет устойчивость, запас устойчивости и, следовательно, качество переходных процессов, оцениваемое обычно показателями качества переходной характеристики. Основные параметры среднечастотной асимптоты — это ее наклон и частота среза сос (частота, при которой пересекает ось абсцисс). Чем больше наклон среднечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы. Поэтому наиболее целесообразен наклон и крайне редко он превышает Частота среза сос определяет быстродействие системы. Чем больше штем выше стодейстщш, тем меньше время регулирования переходной характеристики.

Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Вообще говоря, лучше иметь возможно больший наклон ее асимптот, что уменьшает требуемую мощность исполнительного органа и влияние высокочастотных помех. Иногда при расчете высокочастотную часть ЛАЧХ не принимают во внимание.

Желаемую ЛАЧХ строят на основании требований, предъявляемых к свойствам системы. Требования к статическим свойствам задают в виде порядка астатизма и передаточного коэффициента (добротности) разомкнутой системы. Иногда для системы с

Рис. 9.8. Построение желаемой ЛАЧХ

астатизмом первого порядка задают коэффициенты ошибки Ранее (см. п. 9.1) было показано, как с учетом этих требований построить низкочастотную асимптоту ЛАЧХ.

При синтезе САР методом ЛАЧХ динамические свойства чаще всего определяются максимально допустимыми значениями перерегулирования и времени регулирования переходной характеристики. Может быть задано еще ограничение в виде максимально допустимого ускорения регулируемом величины при начальном рассогласовании

Если неизменяемая часть системы включает все элементы, обеспечивающие необходимые статические свойства, то низкочастотная часть неизменяемой характеристики является вместе с тем и низкочастотной частью желаемой характеристики . В этом случае равенством (9.27) определяется последовательного корректирующего устройства. По параметрам этой ЛАЧХ можно составить передаточную функцию последовательного корректирующего устройства. Формулы (8.28) и (8.29) позволяют отыскать передаточные функции параллельного и прямого параллельного корректирующих устройств, имеющих одинаковые свойства.

Для построения желаемой ЛАЧХ используют различные правила. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

Построение желаемой ЛАЧХ по В. В. Солодовникову [72, 103]. Предположим, что ее низкочастотная асимптота, совпадающая с ЛАЧХ имеет наклон — и ордината этой ЛАЧХ при равна дБ (рис. 9.8). Порядок построения желаемой ЛАЧХ будет следующий.

1. Выбирают частоту среза сос так, чтобы удовлетворялось неравенство

Здесь — значение частоты среза, при котором время регулирования не превысит заданного значения Значение определяют по номограмме, изображенной на рис. 7.8. По заданному значению а с помощью кривой, номограммы определяют соответствующее значение Ртах. Затем по значению с помощью кривой (Ртах) определяют значение Эту

Рис. 9.9. График для определения ординат контрольных точек и необходимого избытка фазы

величину приравнивают заданному значению и из полученного равенства

Правая часть неравенства (9.28) есть максимальное значение частоты среза, допустимое при заданных значениях максимального ускорения регулируемой координаты и начального рассогласования

Если оказывается, что то нужно выбирать Иногда значения не задаются, тогда .

Выбранное значение наносят на график (см. рис. 9.8).

2. Строят среднечастотную асимптоту. Ее проводят через точку на абсцисс с наклоном Меньший наклон трудно осуществить, а при большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости.

3. Среднечастотную асимптоту сопрягают с низкочастотной так, чтобы в том интервале частот, в котором

иметь избыток фазы

Сопряжение осуществляется асимптотой с наклоном при и асимптотой с наклоном при

Значения и определяют с помощью номограммы (рис. 9.9) по ранее найденному значению Удовлетворение неравенств (9.31) и (9.32) означает, что желаемой ЛАЧХ соответствует типовая вещественная частотная характеристика, у которой и для которой составлены ранее использованные зависимости а (см. рис. 7.8).

Избыток фазы , где проверяют лишь при той частоте (см. рис. 9.8), при которой ордината Этой частоте может соответствовать точка сопряжения

асимптот или точка на одной из асимптот. Избыток фазы при частоте можно определить по приближенной формуле

где — сопрягающие частоты, меньшие и I — число сопрягающих частот, на которых наклон желаемой ЛАЧХ изменяется соответственно на —20 или на

Для вычисления у можно использовать и другие методы определения фазы по ЛАЧХ (см. п. 5.4).

Если при выбранном сопряжении асимптот избыток фазы в контрольной точке оказывается меньше то сопрягающую асимптоту следует сместить влево или уменьшить ее наклон. Если то сопрягающую асимптоту необходимо сместить вправо или увеличить ее наклон. Таким образом, нужное положение сопрягающей асимптоты отыскивается путем проб. При этом разность не должна превышать нескольких градусов.

При сопряжении стремятся также к тому, чтобы желаемая ЛАЧХ возможно меньше отличалась от ЛАЧХ неизменяемой части системы.

4. Среднечастотную асимптоту сопрягают с высокочастотной частью ЛАЧХ неизменяемой части системы. При этом в интервале частот, в котором

должно удовлетворяться неравенство (9.32).

Избыток фазы достаточно проверить лишь при той частоте (см. рис. 9.8), при которой ордината желаемой ЛАЧХ равна Можно пользоваться приближенной формулой

где — относительный наклон среднечастотной асимптоты; — число сопрягающих частот, которые больше частоты среза.

Если при выбранном сопряжении избыток фазы в контрольной точке оказывается меньше то сопрягающую частоту смещают вправо или уменьшают ее наклон. Если то сопрягающую асимптоту необходимо сместить влево или увеличить ее наклон. Таким образом, нужное положение сопрягающей асимптоты также находят путем проб. Разность не должна превышать нескольких градусов.

При сопряжении опять следует стремиться к тому, чтобы возможно меньше отличалась от Чем меньше различие между формой этих ЛАЧХ, тем проще необходимое корректирующее устройство.

Уменьшить различие между формами и а иногда и построить желаемую ЛАЧХ можно с помощью номограмм [72, 102].

Рис. 9.10. Типовая ЛАЧХ

Номограммы для синтеза корректирующих устройств. Желаемая ЛАЧХ астатической системы часто состоит из четырех асимптот (рис. 9.10): низкочастотной с наклоном сопрягающей с наклоном —40 или среднечастотной с наклоном и высокочастотной с наклоном —40 или Изменение наклона высокочастотной части ЛАЧХ при ординатах, меньших —26 дБ, можно не принимать во внимание. Такие сопрягающие частоты создаются постоянными времени, которые относятся к малым параметрам и весьма слабо влияют на динамические свойства системы.

Таким образом, имеются четыре типа разомкнутой астатической ЛАЧХ (табл. 9.2). Каждая типовая ЛАЧХ полностью определяется четырьмя параметрами: передаточным коэффициентом: к разомкнутой пепи (добротностью по скорости) и сопрягающими частотами:

Однако более удобно использовать совокупность следующих параметров: ординату при сопрягающей частоте частоты среза и относительные значения сопрягающих частот

Таблица 9.2 (см. скан) Типовые логарифмические амплитудно-частотные характеристики

Рис. 9.11. График зависимости лшах и от системы с ЛАЧХ типа I

При этом сопрягающая частота определяется соотношением

где для ЛАЧХ типа I и III и для ЛАЧХ типа II и IV.

Для типовых ЛАЧХ составлены номограммы [118], которые по перечисленным параметрам позволяют определить основные характеристики замкнутой системы: время регулирования максимальное значение переходной характеристики, время достижения этого максимума, частоту колебаний переходной характеристики, максимальное значение амплитудно-частотной характеристики и частоту, при которой достигается этот максимум.

Номограммы дают зависимость этих характеристик от при дБ и нескольких значениях для ЛАЧХ типа I и II; 1, 2, 4 и 8 для ЛАЧХ типа III; 2, 4, 8 для ЛАЧХ типа IV).

На рис. 9.11 —9.14 показаны взятые из этих номограмм графики зависимостей и от при ; для каждого типа ЛАЧХ.

Показатели качества системы: перерегулирование и время регулирования переходной характеристики, запас устойчивости по фазе у и коэффициенты ошибки и можно определить с помощью параметров типовых ЛАЧХ (см. табл. 9.2) по номограммам, приведенным в работах [72, 102].

Номограммы дают зависимость показателей качества замкнутой системы от при .

Номограммы могут быть использованы прежде всего для определения показателей качества САР с типовыми ЛАЧХ разомкнутой цепи. Некоторые ЛАЧХ можно привести к типовым путем замены двух близко расположенных сопрягающих частот одной (рис. 9.15).

Замена допустима, если ординаты упрощенной ЛАЧХ отличаются от ординат исходной не более чем на 2 дБ. На этом основании следующие передаточные функции могут быть

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

где

где

Номограммы можно использовать и в тех случаях, когда вместо двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени имеется одно колебательное с достаточно большим коэффициентом демпфирования ?. Ошибка тем меньше, чем меньше отличие от единицы. Номограммы используют также для приближенного определения показателей качества и а статических систем и систем с астатизмом второго порядка. Это допустимо, если ЛАЧХ разомкнутой цепи такой системы совпадает с типовой ЛАЧХ в диапазоне частот, в котором с 30 дБ. При этом по номограммам будут получены для статических систем несколько завышенные, а для систем с астатизмом второго порядка несколько заниженные значения перерегулирования и времени регулирования.

Номограммы успешно используют и при синтезе САР для построения желаемой ЛАЧХ (см. пример 9.5). С помощью номограмм можно также несколько уменьшить отличие жалаемой ЛАЧХ, построенной по В. В. Солодовникову, от ЛАЧХ неизменяемой части системы [72, 102].

Построение желаемой ЛАЧХ по Е. А. Санковскому — Г. Г. Сигалову [101 90]. Для синтеза САР можно рассматривать девять типов ЛАЧХ разомкнутой системы. Формы типовых асимптотических ЛАЧХ и соответствующие им передаточные функции приведены в табл. 9.3. Там же указана связь частоты среза с передаточным коэффициентом разомкнутой системы и сопрягающими частотами.

При выборе типа ЛАЧХ рекомендуется исходить из следующих, соображений:

а) выбирать ЛАЧХ типа 1 или 2, если задающее воздействие изменяется с большим ускорением, а уровень помех мал;

б) выбирать ЛАЧХ типа 3, 4 или 5, если ускорение задающего воздействия невелико, но высокий уровень помех;

в) при больших ускорениях и высоком уровне помех выбирают ЛАЧХ типа 6, 7, 8 или 9.

Исходными данными для расчета желаемой ЛАЧХ могут быть следующие показатели: максимальные значения скорости и ускорения задающего воздействия и допустимая ошибка в установившемся режиме допустимые значения перерегулирования и времени регулирования запас устойчивости фазе у. Расчет можно вести и в том случае, когда задающее воздействие и помеха являются случайными функциями времени.

(кликните для просмотра скана)

Продолжение табл. 9.3 (см. скан)

Предположим, что выбран тип ЛАЧХ и по требованиям к статической точности определены параметры ее низкочастотной части. Тогда остальную часть желаемой ЛАЧХ следует построить так, чтобы удовлетворить требования к качеству переходной характеристики и запасу устойчивости. При этом могут быть использованы данные табл. 9.3 и следующие соотношения:

где .

Формулы дают погрешность не более при

Кроме того, при расчете могут быть использованы соотношения

где при наклоне сопрягающей асимптоты соответственно

Значение а (в рад) определено в предположении, что

При наклоне сопрягающей асимптоты можно выбрать

Построение желаемой ЛАЧХ изложенным методом выполнено в примере 9.6.

Рис. 9.16. Графики приближенных методов построения желаемой ЛАЧХ

Упрощенное построение желаемой ЛАЧХ. Изложенные ранее методы построения желаемой ЛАЧХ содержат некоторые допущения. Например, метод В. В. Солодовникова предполагает, что вещественная частотная характеристика замкнутой САР будет иметь типовую форму, показанную на рис. 7.7. Кроме того, графические этапы расчета вносят неизбежные неточности. Поэтому расчет, чаще всего, дает лишь приближенные значения параметров регулятора. Однако они уточняются при испытании его макета. Указанные обстоятельства позволили предложить ряд упрощенных методов построения желаемой ЛАЧХ.

Например, рекомендуется [16] выбирать частоту среза желаемой ЛАЧХ по номограмме рис. 7.8, строить среднечастотную асимптоту с наклоном и ограничивать ее слева и справа соответственно частотами Обычно принимают и значение выбирают по рис. 9.16, а. После сопряжения среднечастотной и низкочастотной асимптот проверяют избыток фазы при частоте Он должен составлять не менее 40°. Затем по приближенной формуле (9.33) проверяют избыток фазы на участке от до Он должен соответствовать зависимости, показанной на рис. После этого по формуле (9.35) проверяют избыток фазы при частоте в предположении, что от этой частоты наклон асимптоты до частоты Далее идет высокочастотная часть, влияние которой не учитывают.

Рекомендуется [35] иметь наклон среднечастотной асимптоты а частоту среза и частоты, ограничивающие

среднечастотную асимптоту, выбирать по соотношениям

где коэффициент должен быть выбран по графику, приведенному на рис. 9.16, в.

Если ЛАЧХ разомкнутой САР типа I (см. табл. 9.2), то для выбора ее параметров имеются следующие рекомендации [74]. Перерегулирование не должно превышать 20—30% при удовлетворении неравенств

При этом время регулирования с достаточной точностью определяется частотой среза:

Следовательно, заданное значение передаточного коэффициента разомкнутой системы определяет положение низкочастотной асимптоты, а значение — положение среднечастотной асимптоты. Остается выбрать частоты так, чтобы удовлетворялись неравенства (9.44).

При упрощенном построении желаемой ЛАЧХ предусматривают использование соотношений, указывающих допустимые пределы того или иного параметра. Поэтому целесообразно одновременно рассмотреть два-три варианта и выбрать тот, который обеспечит наиболее приемлемые значения показателей качества при наиболее простом корректирующем устройстве.

Перечисленные рекомендации для построения желаемой ЛАЧХ весьма удобно использовать при предварительном расчете.

Выбор корректирующего устройства. После построения неизменяемой части системы и желаемой можно определить их разность (9.27), т. е. последовательного корректирующего устройства. Это удобно сделать графически: при каждой из сопрягающих частот характеристик и вычислить разность их ординат, полученное точки нанести на график (рис. 9.17) и соединить отрезками прямых.

На основании составляют передаточную функцию необходимого последовательного корректирующего устройства.

Каждой сопрягающей частоте при которой наклон увеличивается на соответствует множитель в знаменателе Если при сопрягающей частоте у наклон уменьшается на то ей соответствует множитель в числителе

Рис. 9.17. Определение ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства

Например, ЛАЧХ , изображенной на рис. 9.17, соответствует передаточная функция

где

Иногда желаемую ЛАЧХ не строят, а определяют ее параметры, по которым можно составить желаемую передаточную функцию разомкнутой САР. Тогда

Затем решают вопрос о том, какое корректирующее устройство целесообразно выполнить. Выбирают участки для включения параллельного и прямого параллельного корректирующих устройств и по формулам (8.28) и (8.29) определяют необходимые значения и Анализируя общие свойства последовательного, параллельного и прямого параллельного корректирующих устройств и слбжность передаточных функций можно выбрать одно из них. В сложной системе может оказаться целесообразным или даже необходимым введение двух корректирующих устройств. Для определения их передаточных функций следует воспользоваться формулами (8.30)-(8.32).

При рыбсре типа корректирующего устройства необходимо принимать во внимание, из каких элементов оно может быть выполнено. Весьма часто используют пассивные и активные четырехполюсники постоянного тока, а также дифференцирующие трансформаторы и тахогенераторы (см. п. 8.6).

В простейшем случае схему пассивного четырехполюсника постоянного тока с необходимой передаточной функцией удается подобрать по табл. 8.2. Если необходимо соединить последова. тельно два четырехполюсника из числа указанных в табл. 8.2, то между ними необходим разделительный усилитель.

Схему четырехполюсника постоянного тока, реализующего сложную передаточную функцию, можно определить методами, изложенными в приложении 4. Там же даны методы определения схемы двухполюсника по заданной передаточной функции. Выбор двухполюсников необходим при выполнении корректирующего устройства в виде активного четырехполюсника постоянного тока.

После выбора схемы четырехполюсника определяют параметры его элементов. При этом необходимо учитывать входное сопротивление последующего элемента. Если число соотношений для определения параметров элементов меньше числа этих параметров, то можно удовлетворить дополнительное требование (или требования). Например, иметь конденсаторы минимальной емкости.

Не следует предусматривать пассивный четырехполюсник с передаточным коэффициентом меньше 0,05-0,1. Не следует также в одной схеме иметь сопротивления (или емкости), на два-три порядка отличающиеся одно от другого.

Заключительные этапы синтеза. Пассивные четырехполюсники уменьшают общий передаточный коэффициент цепи. Поэтому после их выбора следует окончательно определить необходимое значение передаточного коэффициента усилителя.

В заключение должно быть проверено удовлетворение требований, на основании которых осуществлялся синтез САР. Для проверки показателей качества необходимо построить переходную характеристику методами, изложенными в гл. 4, или определить ее на электронной модели (см. Еще более точной будет переходная характеристика, получаемая при сочетании электронной модели регулятора с объектом регулирования и исполнительным элементом.

Пример 9.5. Передаточная функция неизменяемой части САР

Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее при передаточном коэффициенте разомкнутой системы следующие показатели качества:

Коэффициенты 0,25 и 0,2, являющиеся постоянными времени неизменяемой части системы, мало отличаются одна от другой, поэтому ее передаточную функцию можно заменить упрощенной:

где

В качестве желаемой примем ЛАЧХ типа IV (см. табл. 9.2). Тогда потребуется корректирующее устройство с передаточной функцией

реализация которой не вызовет затруднений.

Рис. 9.18. Построение желаемой ЛАЧХ при

Для построения желаемой ЛАЧХ воспользуемся номограммой, изображенной на рис. 9.14. По этой номограмме при дБ и имеем Следовательно,

Время регулирования больше допустимого. Принимаем дБ. Тогда по номограмме имеем Вычисляем

Время регулирования не превышает допустимого и близко к нему. Поэтому принимаем, что желаемая ЛАЧХ типа IV имеет следующие параметры: Она построена на рис. 9.18. По точке пересечения среднечастотной и сопрягающей асимптот определяем: Отношение свидетельствует о вполне достаточной протяженности среднечастотной асимптоты. Проверка значения а по формуле (9.36) дает следующий результат: т. е. а имеет значение, соответствующее ЛАЧХ типа IV. Ордината низкочастотной асимптоты при равна 43 дБ. Следовательно, что удовлетворяет требованиям.

Итак, построена желаемая ЛАЧХ, которая удовлетворяет всем требованиям. Составим по ней передаточную функцию, учитывая, что сопрягающая частота заменяет две действительные сопрягающие частоты:

Рис. 9.19. Построение желаемой ЛАЧХ при с

Определим далее передаточную функцию необходимого последовательного корректирующего устройства:

Эта передаточная функция может быть реализована двумя дифференцирующими четырехполюсниками, выполненными, например, по схеме поз. 5 табл. 8.2, и разделительным усилителем. После выбора параметров элементов этих четырехполюсников необходимо определить передаточный коэффициент усилителя.

Переходная характеристика САР с выбранным корректирующим устройством имеет следующие показатели качества: с. Требования, на основании которых осуществлялся синтез, удовлетворены с достаточной точностью.

Пример. 9.6. Передаточная функция неизменяемой части САР, состоящей из объекта регулирования, исполнительного элемента и усилителя,

Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее следующие показатели качества: а с 25% и с 0,4 с. Система будет функционировать при медленно изменяющемся задающем воздействии с высоким уровнем помех.

В соответствии с рекомендациями Е. А. Санковского — Г. Г. Сигалова желаемую ЛАЧХ будем строить по схеме поз. 4 табл. 9.3. Определим прежде всего необходимое значение запаса устойчивости по фазе, пользуясь формулой . Теперь можно определить частоту среза, принимая

Примем, что сопрягающую частоту создает постоянная времени 0,25 с, и по соотношению из табл. 9.3 определим:

Вычислим постоянную а и примем, что сопрягающую частоту создает постоянная времени 0,005 с неизменяемой частью системы:

Теперь по формуле (9.41) можем определить сопрягающую частоту

Для проверки расчета составим левую и правую части равенства (9.41):

Можно полагать, расчет выполнен правильно. Построим желаемую ЛАЧХ (рис. 9,19) и составим по ней передаточную функцию

Следовательно, необходимо последовательное корректирующее устройство с передаточной функцией

Переходная характеристика корректированной системы имеет следующие показатели качества . Требования, на основании которых осуществлялся синтез САР, удовлетворены.