Синтез ненагруженного четырехполюсника

Лестничным четырехполюсником из резисторов и конденсаторов может быть реализована с точностью до постоянного множителя только передаточная функция

где удовлетворяющая следующим условиям:

1) степень числителя не выше степени знаменателя;

2) все полюсы простые, действительные, отрицательные и отличные от нуля;

3) все нули действительные, отрицательные или равные нулю; могут быть кратными.

- При физическом осуществлении -четырехполюсника следует иметь в виду, что его передаточная функция остается неизменной с точностью до постоянного множителя при увеличении всех активных сопротивлений в раз и одновременном уменьшении всех емкостей также в а раз.

Г-образный четырехполюсник. Такой четырехполюсник (рис. является простейшим лестничным четырехполюсником. Его передаточная функция при отсутствии нагрузки

где — операторные выражения полных сопротивлений соответственно последовательной и параллельной ветвей.

Рис. П4.8. Схема Г-обраэного четырехполюсника

Для того чтобы Г-образный четырехполюсник имел передаточную функцию его полные сопротивления должны быть выполнены равенствам

Здесь полином выбран так, чтобы удовлетворяли условиям реализуемости.

Если Г-образной схемой нельзя реализовать передаточную функцию то следует выяснить возможность реализации ее с измененным передаточным коэффициентом:

где

В этом случае

Изменение передаточного коэффициента четырехполюсника должно быть скомпенсировано соответствующим изменением передаточного коэффициента усилителя.

Пример Выбрать схему и параметры элементов Г-образного RС-четырехполюсника так, чтобы при отсутствии нагрузки его передаточная функция

В данном случае

Следовательно, заданную передаточную функцию можно реализовать только при уменьшенном передаточном коэффициенте. Выберем тогда по формулам

Выберем При этом

и двухполюсники могут быть реализованы С-схемами.

Определим схему и параметры элементов двухполюсника пользуясь способом. По формулам (П4.2)-(П4.4):

На основании этого разложения и рис. П4.1 составим схему двухполюсника (рис. П4.9) и определим значения его элементов:

Определим схему и параметры четырехполюсника пользуясь также способом. По формулам (П4.1)-(П4.4):

Теперь можно составить схему двухполюсника (см. ряс. и определить значения его элементов:

Для проверки определим передаточную функцию синтезированного четырехполюсника, пользуясь формулоц табл. 8.1:

Составленная схема четырехполюсника может оказаться неудобной для физической реализации. Тогда следует искать иные варианты, пользуясь ранее изложенными способами.

Лестничный RC-четырехполюсник. В общем случае этот четырехполюсник следует строить по полному сопротивлению

Рис. П4.9. Схема Г-образного -четырехполюсника

Здесь — полином знаменателя реализуемой передаточной функции а полином выбирается так, чтобы 2 удовлетворяло условиям полной реализации. Полином может содержать нули реализуемой передаточной функции, а его степень должна быть равна [степени

Реализация должна осуществляться так, чтобы кроме полюсов передаточной функции т. е. нулей были реализованы и нули Вместе с тем полюсы не являющиеся нулями передаточной функции не должны быть реализованы. Следовательно, необходимо частичное удаление полюсов При этом нули оставшейся части сдвигаются, и один из них можно сделать равным нулю передаточной функции При последующем удалении такого нуля реализуется нуль передаточной функции

Удаление полюса достигается введением в схему четырехполюсника резистора сопротивлением При этом нули оставшейся части увеличиваются по модулю. Удаление нулевого полюса, достигается введением в схему конденсатора емкостью при этом оставшиеся нули уменьшаются по модулю.

Значение или — определяют подстановкой

Здесь — значение того нуля функции который намечено получить в оставшейся части

Среди полюсов может оказаться один из нулей функции Тогда сначала необходимо реализовать этот полюс и затем, действуя указанным образом, реализовать остальные нули функции W.

Изложенный метод позволяет реализовать передаточную функцию с точностью до постоянного множителя.

Пример П4.3. Выбрать схему и параметры лестничного С-четырехполюсника так, чтобы при отсутствии нагрузки его передаточная функция

Выберем тогда по формуле (П4.18)

Рис. П4.10. Построение первого варианта схемы RС-четырехполюсника

Эта функция удовлетворяет условиям реализуемости. Первым будем реализовать нуль передаточной функции Для этого определим, какое сопротивление необходимо включить в схему, чтобы среди нулей оказался нуль, равный —10:

Оставшаяся часть сопротивления будет

Сопротивление реализуем последовательной ветвью (рис. и обратим функцию т. е. определим соответствующую ей полную проводимость:

Разложим на простые дроби, воспользовавшись формулами

Реализуем первое слагаемое разложения последовательным соединением резистора сопротивлением и конденсатора емкостью На основании рис. П4.2

Тогда вторая параллельная ветвь имеет полную проводимость (рис.

Обратим функцию т. е. определим соответствующее ей полное сопротивление:

Теперь нужно реализовать нуль передаточной функции Для того чтобы в появился нуль необходимо включить емкость определяемую равенством

Рис. П4.11. Построение второго варианта схемы RС-четырехполюсника

Включим в виде последовательной ветви (рис. П4.10, в) и определим оставшуюся часть полного сопротивления:

В заключение обратим функцию

и реализуем в соответствии с рис. последовательным соединением резистора сопротивлением и конденсатора емкостью

Оставшаяся полная проводимость равна нулю, что соответствует бесконечно большому сопротивлению на выходе четырехполюсника — четырехполюсник не нагружен. Полная схема первого варианта четырехполюсника представлена на рис. П4.10, г.

Для проверки расчета составим передаточную функцию четырехполюсника по полученной схеме, пользуясь формулой табл. 8.1. В данном случае

Следовательно:

и заданная передаточная функция реализована с точностью до постоянного множителя, равного 0,6.

Составим второй вариант схемы четырехполюсника. При этом сначала реализуем нуль функции и сдвиг нулей функции осуществим включением емкости Значение емкости определяется равенством

Включим в виде последовательной ветви (рис. П4.11, а) и определим оставшееся полное сопротивление

Обратим функцию и разложим функцию на простые дроби с помощью формул (П4.5) и (П4.6):

Реализуем первое слагаемое разложения параллельной ветвью, состоящей из (рис. . В соответствии с рис.

Обратим оставшуюся часть функции

Теперь реализуем нуль —10 функции Для этого определим обеспечивающее необходимый сдвиг нуля (рис.

Оставшаяся часть функции

Обратим функцию и реализуем параллельной ветвью из резистора сопротивлением и конденсатора емкостью

Функция реализована полностью, т. е. на выходе четырехполюсника (рис. П4.11, г) бескчечно большое сопротивление - четырехполюсник не нагружен.

Для проверки расчета определим передаточную функцию четырехполюсника, пользуясь формулой табл. 8.1:

Составим третий вариант схемы четырехполюсника; для этого выберем полином так, чтобы он содержал один из нулей функции . Тогда

Разложим на простые дроби, пользуясь формулами

Рис. П4.12. Построение третьего варианта схема RC-четырехполюсника

Реализуем член разложения последовательной ветвью, состоящей из резистора сопротивлением и конденсатора емкостью (рис. П4.12, а), соединенных параллельно. На основании рис. П4.1

Оставшаяся часть полного сопротивления

Теперь нужно реализовать второй нуль функции равный —10. Определим, при каком сопротивлении будет нужный сдвиг нуля функции

Оставшаяся часть функции

Образовавшаяся схема показана на рис.

Остается обратить функцию и разложить на простые дроби, пользуясь формулами

Реализуем двумя параллельными ветвями: одна из резистора сопротивлением другая из резистора сопротивлением и конденсатора емкостью На основании рис. определим х

Полная проводимость реализована и, следовательно, сопротивление между выходными клеммами четырехполюсника (рис. П4.12, в) равно бесконечности — четырехполюсник не нагружен.

Для проверки расчета составим передаточную функцию четырехполюсника по полученной схеме, пользуясь формулой табл. 8.1:

Рис. П4.13. Схема мостового четырехполюсника

Составлены три схемы четырехполюсника, реализующего с точностью до постоянного множителя заданную передаточную функцию. Выбрав другие значения полинома и изменив порядок реализации нулей функции а также ведя расчет не по полному сопротивлению, но по полной проводимости, можно получить еще большое число схем, реализующих заданную передаточную функцию.

Мостовой четырехполюсник. Такой четырехполюсник (рис. П4.13) имеет специфические свойства. В частности, им можно реализовать передаточную функцию с положительными нулями, т. е. получить неминимально-фазовый элемент. Передаточная функция уравновешенного мостового четырехполюсника

где — операторные выражения полного сопротивления плеч моста; М и — полиномы от

Для реализации передаточной функции необходимо иметь

Полином в этих выражениях нужно выбирать так, чтобы были физически реализуемыми.

Если передаточная функция оказывается нереализуемой, то следует искать возможности реализовать передаточную функцию . В этом случае необходимо иметь

Пример П4.4. Выбрать схему и определить параметры элементов мостового четырехполюсника с передаточной функцией

Выберем Тогда по формуле (П4.21)

Выберем При этом

Рис. П4.14. Схемы RC-двухполюсников являющихся плечами мостового четырехполюсника

Выберем схему двухполюсника с полным сопротивлением Для этого, пользуясь формулами разложим функцию на простые дроби:

На основании рис. П4.1 составим схему двухполюсника (рис. П4.14, а) и определим значения его элементов:

Далее, действуя аналогично, выберем схему двухполюсника с полным сопротивлением Разложим функцию на простые дроби:

Составим схему двухполюсника (рис. П4.14, б) и определим значения его элементов:

Для физической реализации четырехполюсника целесообразнее иметь конденсаторы меньшей емкости. Поэтому уменьшим емкости в 5 раз и одновременно увеличим сопротивления резисторов также в пять раз:

Для проверки расчета определим передаточную функцию синтезированного четырехполюсника:

Итак, синтезированный мостовой четырехполюсник имеет передаточную функцию, которая отличается от требуемой лишь постоянным множителем 0,2.