6.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА

Применение критерия требует составления таблицы Рауса (табл. 6.1). Элементами ее первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения (6.4) начиная с Элементы второй строки — нечетные коэффициенты начиная с Элементы последующих строк вычисляют по приведенным в табл. 6.1 формулам, причем перед вычислением элементов какой-либо строки необходимо вычислить коэффициент Всего в таблице заполняют строку.

Критерии формулируется следующим образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак. Обычно в характеристическом уравнении Тогда для устойчивости системы и все остальные элементы первого столбца должны быть положительными: .

При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы система неустойчива. Число таких элементов равно числу корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью. Если один элементов первого столбца равен

Таблина 6.1 (см. скан) Таблица Рауса

нулю, а остальные элементы положительные, то система на границе устойчивости — характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. При равенстве нулю последнего элемента или последних элементов первого столбца система также на границе устойчивости — характеристическое уравнение имеет соответственно один или пулевых корней.

Составляя таблицу Рауса, расчет можно закончить сразу же после появления нулевого или отрицательного элемента в первом столбце. В этом случае уже можно сделать вывод, что система на границе устойчива или неустойчива. Все элементы каждой из строк таблицы Рауса, начиная с третьей, можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, если это упрощает расчет.

(кликните для просмотра скана)

Пример 6.4. Проверить устойчивость САР, характеристическое уравнение которой

Расчет занесен в табл. 6.2. Все элемент первого столбца положительные, и, следовательно, система устойчива.