2.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Составление дифференциальных уравнений объектов регулирования, прежде всего технологических, а также некоторых исполнительных и усилительных элементов представляет собой сложную задачу или даже задачу, решаемую лишь с существенными допущениями, т. е. весьма приближенно. В этих случаях оказывается целесообразным составлять математическое описание элемента на основании эксперимента.

Экспериментально определяют частотные характеристики элемента или его переходную характеристику (при неединичном входном воздействии характеристику называют кривой разгона). Чаще всего определяют переходную характеристику, что несколько проще. По переходной характеристике может быть составлена передаточная функция и определена амплитудно-фазовая характеристика. Естественно, что неизбежны погрешности как при снятии экспериментальной характеристики, так и при ее аппроксимации. Однако погрешности оказываются допустимыми для инженерных расчетов.

Процесс экспериментального исследования промышленного объекта состоит из трех этапов [1; 4]: планирования и подготовки эксперимента, проведения эксперимента и обработки результатов. Обработка экспериментальной переходной характеристики заключается в ее сглаживании и аппроксимации. Сглаживание оказывается необходимым для устранения разброса измерений, т. е. для приближения их к истинным значениям. Этот разброс создается различными причинами и прежде всего помехами, действующими на процесс.

Для сглаживания используют ряд методов 11, 4]. Простейшими и наиболее применяемыми являются следующие.

Метод скользящего среднего (скользящего усреднения) [4]. Принцип метода заключается в выравнивании экспериментальных данных путем вычисления средних арифметических значений по небольшому числу I измерений.

Число I удобно выбирать четным. При общем числе измерений первоначально следует выбрать Если сглаживание оказывается недостаточным, то значение I нужно постепенно увеличивать. При можно выбрать первоначально

и затем прги необходимости его постепенно увеличивать.

Осреднение осуществляется по формуле

где — измеренное значение ординаты характеристики; — осредненное значение ее ординаты.

Основное внимание при использовании данного метода должно быть обращено на выбор числа I. При слишком малых значениях выравнивание экспериментальных данных может оказаться недостаточным, а завышение значения I может привести к искажению характеристики. Следует также иметь в виду, что при сглаживании теряются точки с номерами Это недопустимо, так как начальный участок характеристики определяет структуру искомой передаточной функции, а конечный — передаточный коэффициент элемента. Для предупреждения потери точек характеристики следует делать несколько замеров до начала переходного процесса и после его окончания.

Метод четвертых разностей. Для сглаживания по каждым пяти соседним измерениям с помощью метода наименьших квадратов строится парабола второго порядка [4] и ее средняя точка принимается за точку сглаженной характеристики:

Для определения двух первых и двух последних точек характеристики используют приближенные формулы

Возможно двукратное применение метода. Особенно хорошие результаты дает метод, если сглаживаемая переходная характеристика соответствует решению дифференциального уравнения порядка выше первого.

Аппроксимация переходной характеристики. Эта задача может иметь ряд решений. Различными бывают и требования к точности аппроксимации. Все это обусловило существование большого числа методов определения передаточной функции элемента по его экспериментально полученной переходной характеристике (или

кривой разгона). Эти методы [4] различаются по структуре передаточной функции по используемому математическому аппарату.

Для оценки аппроксимации можно использовать величину

где — значения переходной характеристики соответственно экспериментальной и вычисленной по аппроксимирующей передаточной функции; — моменты времени.

Достаточно выбрать Если то точность аппроксимации считают удовлетворяющей требованиям инженерных расчетов. При использовании цифровой ЭВМ наивысшую точность можно получить методом площадей [92].

При ручном счете чаще всего предполагают, что передаточная функция имеет в знаменателе полином первой или второй степени, а в числителе полином нулевой или первой степени. Рассмотрим два метода расчета.

Прежде всего по экспериментальной характеристике необходимо определить передаточный коэффициент элемента (устойчивого). Если снималась переходная характеристика, то

если снималась кривая разгона, то

где — входная величина; — установившееся значение кривой разгона.

Затем по виду характеристики следует выяснить, имеется ли в исследуемом элементе чистое запаздывание, и определить время 0 запаздывания.

Некоторые методы, кроме того, требуют нормирования экспериментальной переходной характеристики. Для этого значения всех ее ординат нужно разделить на Если снималась кривая разгона, то после деления всех ее ординат на также будет получена нормированная переходная характеристика.

Метод площадей. При аппроксимации нормированной переходной характеристики передаточной функцией

расчет после определения заключается в следующем.

1. Определяют производную при Если эта производная равна нулю, то в передаточной функции

Ось времени характеристики делят на равных малых промежутков времени так, чтобы в пределах каждого из них отрезок характеристики можно было считать прямолинейным.

(кликните для просмотра скана)

3. Определяют и заносят в таблицу начальное значение характеристики, ее значения в конце каждого промежутка времени и разности

4. Вычисляют вспомогательную величину

5. Подсчитывают и заносят в таблицу значения

6. Вычисляют вспомогательную величину

7. Если то коэффициенты передаточной функции оказываются уже определенными:

8. Если то подсчитывают и заносят в таблицу значения

При этом могут быть использованы данные табл. 2.6.

9. Вычисляют вспомогательную величину

10. Определяют коэффициенты передаточной функции:

11. По аппроксимирующей передаточной функции находят переходную характеристику пользуясь табл. 4.1. Затем на основании формулы (2.44) оценивают точность аппроксимации. В случае недостаточной точности расчет повторяют при меньших значениях

Пример 2.6. Установившееся значение кривой разгона промышленного объекта, снятой при равно Полученная при этом сглаженная нормированная переходная характеристика изображена на рис. 2.11 кривой 1. Требуется аппроксимировать эту характеристику передаточной функцией вида (2.47).

По формуле (2.46) передаточный коэффициент

Из характеристики следует, что объект имеет чистое запаздывание и время запаздывания с.

Рис. 2.11, Переходные характеристики: 1 — экспериментальная; 2 и 3 — вычисленные по аппроксимирующим формулам

Отсчет времени начинаем от момента с и расчет ведем по ранее изложенной методике. Выберем с и определим и Результаты занесем в табл. 2.7.

По формуле (2.48) вспомогательная величина

Теперь можно подсчитать значения и Результаты заносим в табл. 2.7.

По формуле (2.49)

Таблица 2.7 (см. скан) Определение аппроксимирующей передаточной функции методом площадей

Таблица 2.8 (см. скан) Оценка точности аппроксимации переходной характеристики

Если принять, что при производная переходной характеристики равна пулю, то и по формулам (2.52)

Следовательно, значащая часть нормированной переходной характеристики аппроксимируется передаточной функцией

где

Пользуясь формулами поз. 77 табл. 4.1, составим аналитическое выражение значащей части нормированной переходной характеристики:

Несколько значений характеристики , вычисленных по этому выражению, занесены в табл. 2.8, и характеристика изображена на рис. 2.11 кривой 2. По формуле (2.44) точность аппроксимации

Предположим, что производная переходной характеристики при не равна нулю, и продолжим расчет, занося его результаты в табл. 2.7. Затем, пользуясь формулами (2.51) и (2.52), определим

Следовательно, значащая часть нормированной переходной характеристики аппроксимируется неминимально-фазовой передаточной функцией

где

По формулам поз. 78 табл. 4.1,

Значения вычисленные по этому выражению, занесены в табл. 2.8, и характеристика изображена на рис. 2.11 кривой 3. Точность аппроксимации

Следует выбрать вторую аппроксимирующую передаточную функцию, так как она дает несколько большую точность на конечном участке характеристики.

Рис. 2.12. Номограмма интерполяционного метода аппроксимации переходных характеристик

Метод площадей позволяет отыскать аппроксимирующую передаточную функцию и переходную характеристику нейтрального элемента. Порядок расчета для этого случая изложен в справочнике

Интерполяционный метод [4]. По нормированной переходной характеристике устойчивого элемента определяют постоянные времени аппроксимирующей передаточной функции

Сначала по рассматриваемой характеристике находят время при котором ордината Затем вычисляют время находят значение переходной характеристики и по номограмме (рис. 2.12) определяют значения соответствующие найденному значению Теперь можно определить искомые постоянные времени по формулам

Величины используют для проверки точности аппроксимации путем их сравнения с ординатами переходной характеристики соответственно при Допустимая погрешность 3—6%.

Может оказаться, что меньше того минимального значения, которое имеется на номограмме рис. 2.12. Это означает, что рассматриваемая переходная характеристика не может быть аппроксимирована передаточной функцией (2.53). Тогда следует обратиться, например, к методу площадей.

Рис. 2.13. (см. скан) Варианты математического описания линейного элемента (САР) и их взаимосвязи

Варианты математического описания (математической модели) линейного элемента: его свойства полностью определяются дифференциальным уравнением, передаточной функцией, временной характеристикой (переходной или импульсной) или же амплитудно-фазовой частотной характеристикой (ей равноценны амплитудная и фазовая частотные характеристики), показаны на рис. 2.13. Все эти варианты описания справедливы и для линейной САР в целом.

Математическое описание можно получать путем анализа физических, химических и иных процессов, происходящих в элементе, или экспериментально. В последнем случае определяется временная (чаще всего, переходная) характеристика или частотная (обычно амплитудно-фазовая) характеристика. Некоторые варианты математического описания взаимосвязаны (рис. 2.13).

Математическое описание элементов САР, построение ее математической модели — это весьма важный этап исследования системы. Излишне подробное математическое описание, учитывающее несущественные для данной задачи свойства элементов, усложняет решение задачи и может даже сделать ее неразрешимой. Чрезмерное же упрощение математического описания, принятие необоснованных предположений недопустимо, так как при этом могут быть упущены существенные качества элементов и, следовательно, процессов в системе. Таким образом, при математическом описании действуют два противоположных стимула, и необходимо осторожное разрешение этого противоречия.

Глава 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СИСТЕМ

При инженерных расчетах весьма полезны и широко используются структурные схемы САР, которые показывают строение систем, точки приложения внешних воздействий и пути распространения сигналов. Приемы построения структурных схем были рассмотрены в п. 2.3.

Структурная схема САР используется прежде всего для определения ее передаточных функций. Последние позволяют выяснить динамические свойства системы, возможность воспроизведения задающего воздействия с одновременной компенсацией влияния возмущений. Кроме того, структурная схема полезна и при синтезе — при выборе путей улучшения свойств системы.

Структурные схемы разделяются на одноконтурные (рис. 3.1), имеющие только основную обратную связь, и многоконтурные, имеющие кроме основной еще и местные обратные связи (см. рис. 2.4).

В настоящей главе показано, какими передаточными функциями характеризуется каждая САР, и дано представление о том, как они используются при расчетах. Основное внимание обращено на методы определения передаточных функций.

Для несложных структурных схем эффективен метод, при котором составляют уравнения, связывающие изображения всех переменных системы, исключают изображения промежуточных переменных и по полученному уравнению определяют передаточные функции.

Общим методом является преобразование структурной схемы в эквивалентную одноконтурную, составление передаточных функций которой не вызывает затруднений. Необходимые для этого правила детализированы и сведены в таблицу. Недостаток метода структурных преобразований заключается в необходимости вычерчивания структурной схемы почти после каждого этапа ее упрощения. Это делает данный метод громоздким, особенно при сложных структурных схемах. Поэтому наиболее сложные структурные схемы целесообразно рассматривать как своеобразные графы и определять передаточные функции с помощью формулы Мезона.