6.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ И НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ

Процессы в некоторых элементах не могут быть описаны обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Однако в ряде случаев исследование устойчивости САР с такими звеньями сводится к использованию ранее рассмотренных критериев устойчивости. Проанализируем эти возможности.

Система с чистым запаздыванием. Имеются САР, в которых реакция на внешнее воздействие возникает только через определенный промежуток времени 0 после начала этого воздействия. Такое свойство называют чистым (транспортным) запаздыванием и фиксируют последовательным включением динамического звена с трансцендентной передаточной функцией

Исследование устойчивости САР с чистым запаздыванием возможно с помощью критерия Найквиста, и передаточная функция разомкнутой САР должна быть представлена в виде

где — передаточная функция линейной части.

Точка размыкания САР должна быть выбрана в соответствии с расположением звена чистого запаздывания. В одноконтурной системе (рис. 6.29, а) можно размыкать основную обратную связь, и тогда

Если звено с запаздыванием находится в цепи местной обратной связи (рис. 6.29, б), то систему следует размыкать на выходе этой связи. В этом случае

Звено с запаздыванием может быть в параллельной ветви прямой цепи системы (рис. 6.29, в). При этом

Формулировка критерия Найквиста для систем с чистым запаздыванием сохраняется прежней. Однако построение АФЧХ имеет

Рис. 6.29. Выбор точки размыкания САР со звеном чистого запаздывания: а — в прямой цепи; б - в цепи местной обратной связи; в — в параллельной ветви

некоторую особенность. Подставив в равенство получим частотную передаточную функцию

где

Следовательно, звено чистого запаздывания не изменяет амплитудно-частотную характеристику, но создает дополнительный отрицательный сдвиг по фазе, пропорциональный частоте. Поэтому можно построить линейной части и для каждой частоты повернуть вектор на угол — , т. е. по часовой стрелке. Получается разомкнутой системы с запаздыванием.

Пример 6.24. Построить АФЧХ разомкнутой САР, если ее передаточная функция

Сначала строим АФЧХ линейной части (рис. 6.30) по ее частотной передаточной функции

Необходимый угол поворота векторов определяется в данном случае выражением

Поэтому при частотах 5; 10; 20; 30; 50; и 60 делаем повороты соответственно на —5,7; —22,5; —22,9; —34,4; 57,3 и 68,8°. Соединив найденные точки плавной кривой, получим рассматриваемой САР.

Рис. 6.30, Построение АФЧХ системы с запаздыванием

Рис. 6.31. Определение критического времени запаздывания по АФЧХ разомкнутой системы

Дополнительный фазовый сдвиг «закручивает» годограф по часовой стрелке и тем сильнее, чем больше частота. Вследствие этого условия устойчивости чаще всего ухудшаются. Однако в некоторых случаях, при сложной форме запаздывание улучшает условия устойчивости.

Для оценки влияния чистого запаздывания на устойчивость введено понятие критического времени запаздывания Для абсолютно устойчивой системы определение показано на рис. 6.31. На АФЧХ линейной части отыскивается точка, для которой модуль равен единице. Пусть этой точке соответствует частота и избыток фазы Тогда критическое значение времени запаздывания

где в радианах.

Если передаточная функция не имеет нулевых и мнимых полюсов , то САР устойчива при всех значениях времени запаздывания 0.

Исследование устойчивости САР с запаздыванием удобно проводить по логарифмическим частотным характеристикам ее разомкнутой цепи. Сначала строят ЛЧХ линейной части. Затем в ЛФЧХ добавляют фазовый сдвиг создаваемый звеном чистого запаздывания. Критическое значение времени запаздывания определяют по формуле (6.54), где за принимают запас по фазе (избыток фазы при частоте среза) разомкнутой системы без запаздывания.

Пример 6.25. Выяснить устойчивость и определить критическое значение времени запаздывания в САР, у которой передаточная функция разомкнутой цепи

где

Рис. 6.32. Логарифмические частотные характеристики линейной части САР

Сначала строим линейной части САР (рис. 6.32) по следующим данным: ; сопрягающие частоты

Затем определяем дополнительным сдвиг по фазе создаваемый звеном чистого запаздывания, и ЛФЧХ разомкнутой системы с запаздыванием.

На участке частот, меньших частоты среза ординаты ЛФЧХ больше Следовательно, в замкнутом состоянии исследуемая САР будет устойчивой.

Запас по фазе системы без запаздывания или 1,57 радиан, частота среза Критическое значение времени запаздывания

Используя критерий Найквиста, можно выяснить устойчивость САР с несколькими звеньями запаздывания, а также со звеньями полузапаздывания.

Звено полузапаздывания [105] имеет передаточную функцию

и характеризует процессы в некоторых диффузионных и тепловых объектах. Его АФЧХ и ЛЧХ определяются следующими равенствами:

Система с иррациональным звеном. При математическом описании диффузионных и тепловых объектов их представляют иррациональными звеньями: полуинтегрирующим и полуинерционными [105]. Передаточные функции и значения частотных характеристик этих звеньев приведены в табл. 5.5.

Передаточная функция разомкнутой САР с такими звеньями будет функцией

Характеристическое уравнение замкнутой CAP также будет уравнением относительно

Условие устойчивости в данном случае формулируется следующим образом [14]: для устойчивости которая в разомкнутом

Рис. 6.33. Область устойчивости САР с иррациональным звеном

состоянии описывается передаточной функцией (6.57), необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (6.58) лежали вне сектора 90°, расположенного в правой полуплоскости симметрично относительно вещественной оси (рис. 6.33).

Следовательно, могут быть применены частотные критерии устойчивости. Удобнее пользоваться критерием Найквиста. Необходимо строить АФЧХ разомкнутой САР и подсчитывать число оборотов этой характеристики вокруг точки или число ее переходов через отрезок вещественной оси от —1 до (см. Можно также пользоваться логарифмическими частотными характеристиками, как было изложено в

Пример 6.26. Определить запасы устойчивости по фазе и по амплитуде САР, «ели в разомкнутом состоянии она описывается передаточной функцией

Данная САР отличается от рассмотренной в примере 6.10 только тем, что второе звено не инерционное, а полуинерционное первого рода. Поэтому воспользуемся ранее проведенными расчетами и будем строить ЛЧХ на том же графике (см. рис. 6.15).

Теперь при сопрягающей частоте создаваемой вторым звеном, наклон асимптоты изменится не на а лишь на (см. табл. 5.5). Асимптотической ЛАЧХ рассматриваемой САР является ломаная

Составляющую ЛФЧХ, составляющую второму звену, определяем по формуле

ЛФЧХ на рис. 6.15 соответствует кривой

Можем заключить, что рассматриваемая САР в замкнутом состоянии устойчива и имеет запасы устойчивости дБ. Замена инерционного звена на полуинерционное привела к увеличению запасов устойчивости.

Система с нестационарным линейным звеном. В общем случае такая система описывается уравнением

где — внешнее воздействие (задающее или возмущающее).

Рис. 6.34. Структурная схема САР с нестационарным звеном

Импульсная и переходная характеристик нестационарной САР являются функциями двух переменных: момента времени 0, в которой приложено внешнее воздействие (соответственно импульсная или единичная ступенчатая функция) и текущего времени

По временной характеристике может быть определена так называемая нормальная параметрическая передаточная функция

Целесообразно выяснять устойчивость нестационарной CAP лишь на интервале времени ее действия. Система устойчива, если импульсная характеристика затухает во времени при всех моментах 0, лежащих внутри интервала

Вопрос об устойчивости удобнее решать по передаточной функции . В этом случае условие устойчивости формулируется следующим образом [97]: нестационарная САР устойчива на интервале времени тогда и только тогда, когда ее нормальная параметрическая передаточная функция не имеет полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси комплексной плоскости при всех 0, лежащих в рассматриваемом интервале

Определение временной характеристики нестационарной САР [97, 10] чаще всего представляет собой сложную задачу. Однако следует иметь в виду, что во многих САР параметры нестационарного элемента (рис. 6.34) и коэффициенты уравнения (6.59) изменяются достаточно медленно. Если за время переходного процесса (за время затухания импульсной и переходной характеристик) параметры изменяют свои значения несущественно, то САР квазистационарна.

При инженерных расчетах для исследования устойчивости квазистационарной САР используют метод замороженных коэффициентов. Считают параметры нестационарного элемента постоянными, равными их значениям в какой-то момент времени Тогда можно определить передаточную функцию этого элемента и исследовать устойчивость системы, используя любой из критериев устойчивости.

Исследование необходимо провести при нескольких значениях из интервала Моменты времени выбирают так, чтобы охватить все возможные варианты значений параметров нестационарного элемента. Особое внимание обращают на точки в которых имеет место значительное изменение какого-либо параметра или смены его знака.

Пример 6.27. Нестационарный элемент САР (рис. 6.34) описывается уравнением

где и передаточная функция ее стационарной части

где .

Выяснить устойчивость системы если время ее действия . Коэффициент уравнения нестационарного элемента изменяется во времени равномерно, поэтому применяя метод замороженных коэффициентов достаточно выяснить устойчивость САР при .

В начальном режиме передаточная функция разомкнутой САР

и ее характеристическое уравнение в замкнутом состоянии

Коэффициенты характеристического уравнения положительные, и неравенство (6.10) критерия Гурвица удовлетворяется;

В конечном режиме

я характеристическое уравнение

Неравенство (6.10) также удовлетворяется:

Итак, применение критерия Гурвица при замороженных коэффициентах характеристического уравнения свидетельствует об устойчивости САР. Остается выяснить, можно ли было использовать этот метод.

В начальном режиме запас устойчивости несколько меньше, поэтому следует рассмотреть переходный процесс при начальном значении переменного коэффициента.

Определим передаточную функцию замкнутой САР и изображение переходной характеристики:

Используя п. 103 табл. 4.1, определим

Вычислим значения различных

Длительность переходного процесса . За этот промежуток времени переменный коэффициент уравнения нестационарного элемента изменится на . Изменение незначительное, и, следовательно, применение метода замороженных коэффициентов допустимо.

Более точные результаты дает метод замороженных реакций [10], который требует решения уравнения нестационарного элемента. Если это уравнение первого порядка

то его решение

где

Равенство (6.62) позволяет определить импульсную или переходную характеристику нестационарного элемента. Затем, пользуясь формулой (6.60), можно определить его параметрическую передаточную функцию. При каждом фиксированном значении 0 она по своим свойствам совпадает с передаточной функцией стационарного звена. Тогда может быть определена передаточная функция разомкнутой цепи САР (рис. 6.34):

и исследована устойчивость системы.

Исследование должно охватывать все «опасные» точкь рабочего диапазона изменения (от 0 до ). При этом нужно учитывать не только значения переменного коэффициента, но и характер его изменения, т. е. скорость и ускорение изменения.

Если переменный коэффициент содержится в правой части уравнения нестационарного элемента, то необходимо определить его переходную характеристику. Иначе не будет учтено изменение этого коэффициента во времени.

Решение нестационарного уравнения второго порядка и методы приближенного решения уравнений более высоких порядков приведены, например, в работе [10].

Пример 6.28. Нестационарный элемент САР (рис. 6.34) описывается уравнением

где и передаточная функция стационарной части

где

Выяснить устойчивость САР, если время ее действия . Используем метод «замороженных» реакций, для этого определим переходную характеристику нестационарного элемента, т. е. решение уравнения

По формуле (6.62)

где

Следовательно,

где

Определим параметрическую передаточную функцию нестационарного элемента по формуле (6.60):

Передаточная функция разомкнутой САР

Составим характеристическое уравнение замкнутой САР:

Коэффициенты характеристического уравнения положительные, и для устойчивости САР необходимо выполнение неравенства (6.11):

Это неравенство удовлетворяется лишь при начальном режиме (при . Граничное значение определяется из уравнения

Решение этого уравнения .

Итак, при с САР становится неустойчивой. Необходимо ввести корректирующее устройство, обеспечивающее устойчивость навеем рабочем диапазоне (см. гл. 8).