9.5. СИНТЕЗ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНЫХ КРИТЕРИЕВ КАЧЕСТВА

Применение данного метода [8, 10] обусловлено тем, что построение желаемой ЛАЧХ значительно упрощается, если качество регулирования оценивать не по переходной характеристике САР, а непосредственно по ее частотным свойствам.

САР достаточно полно оценивают точностью в типовых режимах, быстродействием и запасом устойчивости. Если точность оценивать по воспроизведению гармонического воздействия, то одновременно по частоте этого воздействия можно оценить и быстродействие. Таким образом, критерий точности и критерий быстродействия сливаются в один динамический критерий точности.

Динамическая точность САР определяет расположение низкочастотной части желаемой ЛАЧХ (см. п. 9.1).

Удобным частотным критерием, оценивающим запас устойчивости, является показатель колебательности М (см. п. 7.5). Он характеризует склонность системы к колебаниям и, следовательно, ее удаление от границы устойчивости. Чем меньше М, тем больше удаление от границы устойчивости — тем больше запас устойчивости.

Показатель колебательности астатической системы равен максимальному значению ее амплитудно-частотной характеристики — максимальному значению модуля ее частотной передаточной функции. Показатель колебательности статической системы есть отношение максимального значения амплитудно-частотной характеристики к ее начальному значению. В статических следящих системах часто для исключения статической ошибки выбирают коэффициент обратной связи (см. п. 8.1) , где — передаточный коэффициент прямой цепи системы. Тогда начальное значение АЧХ равно единице. Если в статической

Рис. 9.20. Типовые разомкнутых систем с астатизмом второго порядка

системе единичная обратная связь, то начальное значение равно . В подавляющем большинстве случаев передаточный коэффициент разомкнутой системы поэтому и начальное значение можно считать равным единице.

В хорошо демпфированных системах с весьма малым перерегулированием переходной характеристики показатель колебательности . Обычно достаточно иметь . В ряде случаев допускается

Необходимым и достаточным условием того, что показатель колебательности устойчивой системы будет не больше заданного, является расположение амплитудно-фазовой (см. рис. 7.14) или логарифмической фазовой (см. рис. 7.15) характеристики вне запретной зоны. В минимально-фазовой системе это условие может быть выдержано соответствующим построением ЛАЧХ.

Рассмотрим принципы построения типовых ЛАЧХ при заданном значении показателя колебательности и порядок построения желаемой ЛАЧХ при синтезе САР данным методом [8, 10].

Система с астатизмом второго порядка. Простейшая симметричная ЛАЧХ разомкнутой цепи такой системы показана на рис. 9.20, а. Ей соответствует передаточная функция

где — передаточный коэффициент (добротность по ускорению).

Положение ЛАЧХ может быть задано значением базовой частоты при которой продолжение низкочастотной асимптоты пересекает ось абсцисс, и протяженностью второй асимптоты, определяемой отношением частот ее конечных точек:

Максимальный избыток фазы имеет место при частоте (ом:

При оптимальном соотношении параметров — при совпадении максимального избытка фазы с максимумом запретной зоны (рис. 9.20, б) — имеем

Эти формулы определяют минимальное значение, какое может иметь показатель колебательности при заданном значении и минимальную протяженность Л, какую должна иметь асимптота с наклоном для обеспечения заданного значения М. Чем меньше , тем легче физически реализовать ЛАЧХ.

Постоянные времени передаточной функции (9.47) разомкнутой САР, при которых показатель колебательности замкнутой САР имеет заданное значение, находят по формулам

Положение ЛАЧХ (см. рис. 9.20) можно фиксировать не базовой частотой а частотой среза сос. Тогда для определения постоянных по заданному значению М следует пользоваться соотношениями

Если неравенства (9.52) удовлетворяются, то показатель колебательности меньше заданного значения М. Создается некоторый дополнительный запас устойчивости. Такой же эффект имеет место, если постоянная времени меньше значения, определяемого равенством (9.51). Увеличивать постоянную по сравнению со значением, определяемым равенством (9.51), не следует. Это в некоторых случаях может уменьшить запас устойчивости.

В более общем случае система с астатизмом второго порядка может иметь несколько апериодических звеньев, колебательное звено и звенья чистого (постоянного) запаздывания. Тогда передаточная функция ее разомкнутой цепи

и для получения заданного значения показателя колебательности в формулы (9.51) или (9.52) вместо нужно подставлять

т. е. вместо постоянной времени следует рассматривать сумму всех постоянных времени апериодических звеньев (включая мадае постоянные), а также суммарное время чистого запаздывания 0

Рис. 9.21. Зависимость перерегулирования и относительного времени регулировании системы с астатизмом второго порядка от показателя колебательности М

При наличии колебательного звена, у которого постоянная времени в сумму (9.54) включают еще , кроме того, должно удовлетворяться неравенство

чтобы не появилось второй запретной зоны в районе пика ЛАЧХ, создаваемого колебательным звеном.

Расчетные соотношения для системы, содержащей колебательное звено с большой постоянной времени или неустойчивое звено, приведены в работе Если система имеет ЛАЧХ разомкнутой цепи, изображенную на рис. 9.20, а, и показатель колебательности минимален — определяется равенством (9.50), то переходные процессы в системе в некотором смысле оптимальны. Переходная характеристика приближается к экспоненте с постоянной времени

Чем больше , тем меньше М и тем лучше переходные процессы. Зависимость показателей качества переходной характеристики: перерегулирования а и относительного времени регулирования значения М показаны на рис. 9.21. Эти зависимости справедливы и для систем, у которых ЛАЧХ разомкнутой цепи имеет форму, показанную на рис. 9.20, б, если среднечастотная асимптота имеет достаточную протяженность по обе стороны от частоты среза. Построение желаемой ЛАЧХ при синтезе системы с астатизмом второго порядка начинают с нанесения низкочастотной асимптоты. При этом должны быть удовлетворены требования к точности (см. п. 9.1). Для демпфирования системы низкочастотную асимптоту следует располагать возможно левее: она должна проходить через контрольную точку В с координатами значения которых определяют по формулам (9.9) и (9.11). Низкочастотная асимптота сливается в этом случае с правой границей запретной зоны (см. рис. и базовая частота

Затем наносят среднечастотную асимптоту с наклоном -20 дБ/дек между сопрягающими частотами . О выборе постоянных было сказано ранее.

I Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ строят в соответствии с тем, какие звенья неизменяемой части системы учтены при выборе постоянной

Пример 9.7. Неизменяемая часть следящей системы, состоящая из объекта регулирования и исполнительного элемента, описывается передаточной функцией

Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее следующие показатели качества: установившуюся ошибку град при изменении задающего воздействия с максимальной скоростью и максимальным ускорением перерегулирование и время регулирования .

По формулам (9.11) определим координаты контрольной точки В, ограничивающей желаемую ЛАЧХ снизу:

Находим необходимое значение передаточного коэффициента разомкнутой системы и базовую частоту, пользуясь формулами соответственно (9.12) и (9.48);

По рис. 9.21 определим, что перерегулирование а не превысит если показатель колебательности системы будет равен 1,36. При этом т. е. время регулирования составит 0,626 с, что удовлетворяет требованиям.

Теперь, пользуясь формулами (9.51), можем вычислить необходимые значения постоянных времени:

Теперь можно составить желаемую передаточную функцию разомкнутой системы и определить передаточную функцию необходимого последовательного корректирующего устройства:

Для достаточно точной реализации передаточной функции необходим активный четырехполюсник. Переходная характеристика замкнутой системы в этом случае будет следующей:

Ее показатели качества: .

Видимо, потребуется менее сложное корректирующее устройство, если за принять постоянную времени 0,025 с неизменяемой части системы. Для вычисления постоянной времени сначала по формуле (9.50) определим протяженность среднечастотной асимптоты и воспользуемся формулой (9.48):

Рис. 9.22. Типопые ЛАЧХ разомкнутых систем с астатизмом первого порядка

Затем составим желаемую передаточную функцию разомкнутой системы и определим передаточную функцию необходимого последовательного корректирующего устройства:

Итак, требуется менее сложное корректирующее устройство, чем в первом случае. При реализации передаточной функции активным четырехполюсником передаточная функция замкнутой системы будет

Аналитическое выражение переходной характеристики

Ее показатели качества: .

Система с астатизмом первого порядка. Простейшая ЛАЧХ разомкнутой цепи такой системы показана на рис. 9.22, а. Показатель колебательности замкнутой системы не превысит допустимого значения при выполнении неравенства

ЛАЧХ разомкнутой цепи более совершенных систем с астатизмом первого порядка (рис. 9.22, б) пересекает ось абсцисс асимптотой с наклоном Этой ЛАЧХ соответствует передаточная функция

Такая ЛАЧХ отличается от ЛАЧХ системы с астатизмом второго порядка (см. рис. 9.20, б) лишь наличием низкочастотной асимптоты с наклоном и изломом при частоте

Пусть где сом — частота, определяемая формулой (9.49). При этой частоте требуется максимальный избыток фазы. Тогда расчет с достаточной точностью можно вести по формулам для систем с астатизмом второго порядка с симметричной ЛАЧХ (см. рис. 9.20, а).

Рис. 9.23. Варианты построения низкочастотной части желаемой ЛАЧХ системы с астатизмом первого порядка

Положение ЛАЧХ (рис. 9.22, б) фиксируется частотой

или частотой среза .

Показатель колебательности не превышает допустимого значения если удовлетворяются соотношения

или

При расчете системы с колебательным звеном и со звеном чистого запаздывания действительны указания, сделанные для системы с астатизмом второго порядка. Для определения показателей качества а и переходной характеристики можно пользоваться зависимостями, приведенными нарис. 9.21.

Построение желаемой ЛАЧХ начинают с ее низкочастотной части, положение которой должно удовлетворять требованиям к точности (см. п. 9.1). Возможны различные варианты выбора постоянной времени и соответственно расположения низкочастотной части желаемой ЛАЧХ относительно запретной зоны (см. рис. 9.2).

Пусть , где — частота, определяющая точку В запретной зоны. Тогда низкочастотную асимптоту

Рис. 9 24. Построение желаемой ЛАЧХ при

желаемой ЛАЧХ можно совместить с первой асимптотой запретной зоны (рис. 9.23, а). При этом передаточный коэффициент будет иметь минимальное значение, определяемое формулой (9.12). Однако при этом значение велико, поэтому вся ЛАЧХ сдвигается в область высоких частот и затрудняется демпфирование системы.

Если выбрать то вторую асимптоту желаемой ЛАЧХ можно совместить со второй асимптотой запретной зоны (рис. 9.23, б). Тогда частота минимальная и определяется формулой Передаточный коэффициент (добротность по скорости) в этом случае будет в 2—3 раза превышать минимально необходимое значение, что увеличит влияние помех.

Если ни один из указанных вариантов не имеет преимущества, то выбирают и низкочастотные асимптоты желаемой ЛАЧХ располагают на 3 дБ выше запретной зоны (рис. 9.23, в), чтобы в эту зону не попала действительная ЛАЧХ. В этом случае

Среднечастотную и высокочастотную части желаемой ЛАЧХ формируют так же, как и при синтезе системы с астатизмом второго порядка.

Пример 9.8. Передаточная функция неизменяемой части системы

Выбрать последовательное корректирующее устройство, обеспечивающее удовлетворение следующих требований: погрешность град при изменении задающего воздействия с максимальной скоростью в град/с и максимальным ускорением показатель колебательности

Определим координаты контрольной точки В, пользуясь формулами (9.11):

Нанесем контрольную точку В (рис. 9.24) и проведем через нее асимптоты, ограничивающие запретную зону. Примем и

построим низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ так, чтобы ее асимптоты были на 3 дБ выше границы запретной зоны.

По формулам (9.62) определим необходимое значение передаточного коэффициента и значение базовой частоты

Определим необходимое значение постоянной времени пользуясь формулой (9.60):

Нанесем на график сопрягающую частоту и построим от этой частоты среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ.

Определим ординату прямой, которая ограничивает справа среднечастотную асимптоту и сверху высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ:

Нанеся эту прямую на график, определим, что среднечастотная асимптота может быть ограничена частотой Следовательно, сопрягающая частота создаваемая постоянной времени 0,02 с неизменяемой части системы, допустима для желаемой ЛАЧХ. Примем и от частоты построим высокочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ.

Сопрягающая частота соответствующая постоянной времени 0,15 с неизменяемой части системы, недопустима для желаемой ЛАЧХ. Для реализуемости передаточной функции корректирующего устройства пассивным четырехполюсником полагаем, что желаемая ЛАЧХ имеет еще сопрягающую частоту Принимаем .

Тогда желаемая передаточная функция разомкнутой системы

а необходимая передаточная функция последовательного корректирующего устройства

Показатель колебательности замкнутой системы и показатели качества ее переходной характеристики .

Статическая система. Простейшая ЛАЧХ разомкнутой системы показана на рис. 9.25, а. Если то при достаточную точность дает приближенная формула

Из этой формулы следует, что постоянная времени увеличивает запас устойчивости. При увеличении передаточного коэффициента или суммы постоянных времени для

Рис. 9.25. Типовые ЛАЧХ разомкнутых статических систем: а — простейшая; б - симметричная

сохранения заданного значения М показателя колебательности необходимо увеличивать наибольшую постоянную времени

При повышенных требованиях к качеству статическая система должна иметь ЛАЧХ, изображенную на рис. 9.25, б. Ей соответствует передаточная функция

Такую систему можно рассчитывать как систему с астатизмом второго порядка, имеющую симметричную ЛАЧХ (см. рис. 9.20). Базовую частоту определяют приближенно по формуле

Показатель колебательности не превышает заданного значения М при удовлетворении соотношений (9.60) или (9.62).

Отклонение симметричной ЛАЧХ статической системы (см. рис. 9.25, б) в области низких частот от ЛАЧХ системы с астатизмом второго порядка (см. рис. 9.20, а) является причиной небольшого дополнительного запаса устойчивости.

При расчете статической системы с симметричной ЛАЧХ, имеющей колебательное звено, звенья чистого запаздывания и неустойчивые, следует поступать так же, как при расчете системы с астатизмом второго порядка. Зависимость показателей качества переходной характеристики от М можно определять по рис. 9.21.

Низкочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ строят но значению передаточного коэффициента разомкнутой системы, при котором обеспечивается необходимая точность:

Затем проверяют возможность получения необходимого значения М показателя колебательности при простейшей форме ЛАЧХ (см. рис. 9.25, а). Если это невозможно, то следует формировать среднечастотную и высокочастотную части желаемой ЛАЧХ в соответствии с рис. 9.25, б.