ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Феликс Клейн (1849—1925) принадлежит к числу математи-ков-классиков, обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших ее современное лицо. В области геометрии XIX век ознаменовался, прежде всего, значительным расширением наших взглядов на пространство и предмет геометрии. Если раньше господствовало представление о том, что научные факты, теоремы, законы в точности описывают свойства единственного мыслимого, волею творца созданного пространства, то XIX век не только поколебал, но и полностью опрокинул эти идеалистические взгляды. И начало этому было положено работами нашего выдающегося соотечественника Н. И. Лобачевского.

Лобачевский, открывший новую геометрию, отличную от евклидовой, неизбежно пришел к вопросу о том, какова же геометрия реального пространства, подошел к пониманию (того, что евклидова геометрия может лишь приближенно описывать свойства реального пространства, которое в действительности является значительно более сложным. И его эксперименты по вычислению суммы углов огромного космического треугольника — яркое свидетельство этого. Работы Лобачевского открыли перед математиками целый новый мир, позволили искать новые и новые геометрии, и это вскоре ознаменовалось появлением римановой геометрии, введением нормированных, топологических и многих других пространств.

Вместе с тем был один пробел в математическом наследии Лобачевского, существенность которого он сам отлично понимал. Речь идет о доказательстве непротиворечивости его «воображаемой геометрии». Вместо построения необходимой для этого модели Лобачевскому удалось построить другую модель: оказалось, что на предельной сфере пространства Лобаческого реализуется планиметрия Евклида. Какая горькая ирония судьбы! Для того чтобы «узаконить» свою геометрию, Лобачевскому нужна была «обратная» модель, реализующая все соотношения его геометрии и построенная из евклидова «материала».

Но этого ему не суждено было сделать. Это выпало на долго нескольких геометров, работавших во второй половине XIX столетия, и Феликс Клейн — один из них. Один из тех, кто построением изящной модели завершил более чем двухтысячелетнюю «борьбу» математиков с пятым постулатом Евклида (постулатом о параллельных) и подтвердил правомерность идей Лобачевского о возможности существования разных геометрий.

Если бы математические заслуги Клейна этим только и ограничивались, одно это полностью оправдывало бы интерес к его научному наследию. Однако Клейн сделал гораздо больше. В 1876 году, при вступлении на должность профессора по кафедре геометрии университета в городе Эрлангене, Клейн прочитал блестящую лекцию, в которой наметил далеко идущую научную программу переосмысления различных геометрий с единой групповой точки зрения. Мысль Клейна можно пояснить следующим образом.

Равенство (точнее, конгруэнтность) геометрических фигур - например на плоскости — является отношением эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивво. Иначе говоря, для любых фигур F, G, Н справедливы следующие утверждения (в которых символом с обозначается конгруэнтность геометрических фигур):

Справедливость этих утверждений вытекает из определения конгруэнтности и свойств движений. Напомним, что фигура F называется конгруэнтной фигуре G, если существует движение g, переводящее в G, т. е. (заметьте, здесь равенство, т. е. совпадение, а не конгруэнтность!). Чтобы доказать рефлексивность, нужно найти такое движение, которое переводит фигуру F в себя. Таким движением является тождественное отображение , т. е. рефлексивность отношения конгруэнтности вытекает из включения , где D — группа всех движений плоскости.

Несложно доказывается и симметричность. Пусть F си G, т. е. существует такое движение g, что Тогда обратное преобразование (которое также является движением) переводит фигуру G обратно в F, т. е. Это и означает, что , т. е. отношение конгруэнтности симметрично.

Наконец, пусть , т. е. существуют такие движения f, g, что . Тогда композиция (т. е. результат последовательного выполнения движений f и g), которая в свою очередь является движением, сразу переводит F в Н, т. е. Это означает, что , те. отношение конгруэнтности транзитивно.

Итак, рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения конгруэнтности вытекают из того, что множество D всех движений является группой преобразований плоскости, т. е. это множество не пусто и обладает следующими двумя свойствами! если , то , и, кроме того, если то

Но группа всех движений — не единственная известная нам группа преобразований. Аффинные преобразования (плоскости или пространства) также составляют группу.

Образуют группу все проективные преобразования (проективной плоскости или проективного пространства), все преобразования подобия, все параллельные переносы, все движения плоскости Лобачевского и т. д. По мысли Клейна каждая группа преобразований (некоторого множества) задает «свою» геометрию. Именно, пусть Г — некоторая группа преобразований множества М; тогда две фигуры F и G (т. е. два подмножества множества М) называются Г-конгруэнтными, если существует такое преобразование , которое переводит F в G И подобно тому как евклидова геометрия изучает те свойства фигур, которые одинаковы у конгруэнтных фигур, т. е. те свойства фигур, которые сохраняются (остаются инвариантными) при движениях, так и геометрия группы преобразований Г изучает те свойства фигур (т е. подмножеств множества М), которые одинаковы у Г-конгруэнтных фигур, т. е. те свойства фигур, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях, принадлежащих группе Г.

Эта идея Клейна позволила ему объединить, охватить единым подходом многие различные геометрии: евклидову, аффинную, проективную, гиперболическую геометрию Лобачевского, эллиптическую геометрию Римана и ряд других.

Прошли десятилетия. Групповой подход Клейна к осмыслению геометрии приобрел новые звучания и новые области приложения. Теперь значение идей эрлангенской программы Клейна не ограничивается рамками геометрии. Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике. Знаменитый русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров, используя идеи Клейна, открыл кристаллографические группы, носящие теперь его имя. Они стали в наши дни научной основой кристаллографии. Групповой подход находит важные применения в ядерной физике, квантовой теории, физике элементарных частиц; принципы симметрии и четности — яркое проявление групповой точки зрения. Еще один впечатляющий пример — специальная теория относительности. Ее основой является группа преобразований Лоренца, которая задает своеобразную геометрию четырехмерного пространства — времени и служит подлинной основой современного физического понимания взаимоотношения времени и пространства (локально, в небольшой области).

Разумеется, помимо физики и других естественных наук, принципы эрлангенской программы применяются и в самой математике. Развитие этих идей воплощено сейчас в понятии однородных пространств (нередко называемых пространствами Клейна), которые находят различные приложения в ряде разделов математики.

А в проблемах, связанных с преподаванием геометрии, идеи эрлангенской программы вплоть до сегодняшнего дня имеют огромное значение и находятся на переднем крае «методического фронта». С влиянием этих идей школьный преподаватель математики встречается буквально во всех разделах курса геометрии, и за прошедшие сто лет со дня провозглашения Клейном эрлангенской программы влияние этих идей не только не ослабло, но, скорее, возросло.

Сейчас хорошо известно, что традиционно «школьные» геометрические задачи на доказательство могут решаться не только идущим из седой древности (от Евклида или даже ранее) мето дом цепочек равных треугольников, связанным с применением трех признаков равенства их, но также применением геометрических преобразований и в первую очередь движений.

Именно такие решения, связанные с движениями и использующие, в частности, соображения симметрии, наиболее важны для развития «геометрического видения». Применение движений сближает математику с идеями физики, химии, биологии, техники, соответствует прогрессивным чертам математического осмысления мира.

Влияние группового подхода Клейна можно проследить во всех темах школьной геометрии. Каждая фигура определяет некоторую группу движений; эта группа содержит все те движения, которые переводят фигуру F в себя; и называется группой самосовмещений (или группой симметрий) фигуры F. Знание группы самосовмещений фигуры F во многом определяет геометрические свойства этой фигуры. Все свойства параллелограмма вытекают из того, что его группа самосовмещений содержит (кроме тождественного преобразования) центральную симметрию. Группа самосовмещений ромба (или прямоугольника) богаче: она содержит еще две осевые симметрии, и это полностью определяет те дополнительные свойства, которые имеет эта фигура по сравнению с параллелограммом общего вида. Свойства равнобедренного треугольника — проявление его симметричности. Все свойства правильных многоугольников вытекают из рассмотрения их групп симметрий. Свойства правильных многогранников (или других многогранников, обладающих той или иной симметричностью), свойства сферы, цилиндра, конуса удобнее всего выводит с помощью рассмотрения групп самосовмещений этих фигур. И для каждой конкретной геометрической фигуры богатство ее свойств определяется прежде всего ее группой самосовмещений. Все это — своеобразное преломление клейновских идей в школьном преподавании.

Мы остановились на двух ярких геометрических достижениях Клейна. Но его многостороннее научное наследие содержит и много других идей и результатов. Клейн вместе с великим французским математиком Пуанкаре заложил основы теории автоморфных функций, он внес существенный вклад в развитие теории римановых поверхностей многозначных аналитических функций; так называемые клейновы группы являются классическим объектом рассмотрения в теории функций комплексной переменной; всем хорошо известна бутылка Клейна, явившаяся одним из первых примеров односторонних поверхностей, и т. д.

Несомненно, личность такого математика, как Клейн, привлекает внимание, и его взгляды на развитие математики, ее теоретическую и прикладную значимость, взаимосвязь различных разделов математики, его методические взгляды и понимание ценности науки — все это пробуждает интерес многих читателей. Подобно тому как вызывает взволнованное внимание визит в мастерскую известного художника, посещение творческого вечера композитора или чтение мемуаров выдающегося писателя, так каждая возможность заглянуть в творческую мастерскую крупного математика вызывает живой интерес. К сожалению, математики скупо делятся секретами творчества со своими будущими почитателями, и в этом плане книги Пуанкаре, Пойа, Адамара представляют собой приятные исключения.

И книга Клейна, в какой-то степени воссоздающая творческий стиль его мышления, взгляды и замыслы, несомненно, очень привлекательна.

Автор «Элементарной математики с точки зрения высшей» — не только крупный ученый-теоретик, но также и большой популяризатор науки. Перу Клейна принадлежат такие замечательные произведения, как «Высшая геометрия», «Лекции об икосаэдре», «Четыре знаменитые задачи древности» и многие другие, в которых с удивительным мастерством, в интересной и доступной форме он рассказывает о тонких и глубоких математических фактах, теориях, методах. И в этой книге, предлагаемой вниманию читателя, Клейн выступает как мастер-популяризатор. Читатель найдет здесь красивый этюд о пифагоровых числах и великой теореме Ферма, изящное изложение теории деления окружности, рассказ о кватернионах, прозрачно изложенную гауссову идею доказательства основной теоремы алгебры, доказательство трансцендентности чисел , много крайне интересных подробностей из истории математики и ряд других вопросов.

И все же, несмотря на многоплановость предлагаемой вниманию читателей книги и наличие в ней различных математических идей, подходов, популяризаторских находок, не изложение взглядов Клейна на развитие математики и не его стремление внести вклад в научно-популярную литературу составляет основной замысел книги. Написание этой книги связано еще с одной стороной жизни и деятельности Феликса Клейна, направленной на осуществление прогрессивных тенденций в деле школьного математического образования. Остановимся несколько подробнее на истории этого вопроса.

Старая германская гимназия (школа филологического типа) давала своим воспитанникам очень скудные сведения по математике и естествознанию. В противовес гимназическим программам под руководством В. Гумбольдта (имя которого ныне носит Берлинский университет) были разработаны новые программы, в которых много места отводилось математике и предметам естественнонаучного цикла. Через некоторое время были учреждены «реальные гимназии» с несколько расширенными программами по математике. Однако все правовые преимущества, в том числе доступ в высшие школы, были сохранены только за классическими гимназиями.

Признать образование, основанное на естествознании и математике, равноправным с классическим — таково было первое требование группы новаторов, возглавляемой Клейном.

Реформа математического образования, за проведение которой боролись Клейн и его единомышленники, была направлена на то, чтобы обновить застывший курс математики реальных училищ, сделать его более современным, включающим новые идеи и достижения науки. Взгляды Клейна на преподавание математики К" средней школе были весьма прогрессивны. И хотя многие из его требований сейчас воплощены в школьном преподавании, педагогические идеи Клейна остаются актуальными и сегодня. Эти идеи можно изложить следующим образом.

Математика XIX столетия принесла с собой ряд замечательных идей, которые наложили глубокий отпечаток на все отрасли знания и техники. Совершенно недопустимо поэтому, чтобы общеобразовательная школа была чужда тому, что составляет подлинное содержание современной математики.

Основную, руководящую роль в курсе математики средней школы должно играть понятие функции. Оно должно быть усвоено учащимися очень рано и должно проникать все преподавание алгебры и геометрии. Развить в юноше способность к функциональному мышлению составляет основную задачу реформы.

Далее, изучение функций, их возрастания и убывания необходимо и естественно пр шодит к понятию производной. Это вызывает следующее требование реформаторов: в программу средней школы должны быть введены начала математического анализа. Основные понятия дифференциального и интегрального исчислений играют важную роль во всех отраслях и приложениях математики, и обойтись без них невозможно. В механике при определении понятий скорости и ускорения, а также в ряде разделов физики, которые изучаются в средней школе, мы фактически оперируем производными. Клейн высказывает убеждение, что искусственные приемы, к которым прибегают в каждом частном случае, чтобы избежать понятия о производной и об интеграле, только сбивают учащихся, создают путаницу и отнимают много времени.

Наконец, по мнению Клейна, на первых ступенях преподавания надо отказаться от строго логических тенденций; нужно возможно больше наглядных представлений, возможно большее число примеров из повседневной жизни. Но при этом Клейн считает необходимым, чтобы в течение последних лет обучения логическая сторона дела достаточно выяснялась.

Итак, отказ от господства филологической школы в пользу изучения естествознания и математики, углубление связи между теоретической и прикладной математикой, введение в преподавание математики функционального мышления и начал математического анализа, а также наглядное обучение и прежде всего широкое применение графических методов — вот те принципы, которые Клейн и его последователи считали необходимым положить в основу реформы преподавания математики в школе. Не правда ли, эти принципы не только прогрессивны, но удивительно актуальны и современны?! Достаточно сказать, что в советской школе эти принципы осуществлены более или менее полно лишь за последние два-три десятилетия.

Но вернемся к истории создания книги. В связи с борьбой за проведение в жизнь своих взглядов Клейн прочел ряд курсов для преподавателей я будущих учителей средних учебных заведений. Один из этих курсов (прочитанный в Гёттингенском университете в 1907/08 учебном году) и составляет основу книги. В своих лекциях Клейн имел в виду дать учителю или студенту старшего курса содержание и обоснование вопросов, составляющих элементарную математику. Он стремился подойти к этим вопросам, как он сам писал в предисловии к литографированным лекциям, вышедшим в 1903 году, «с трчки зрения современной науки в возможно простой и живой форме». Лекции Клейна представляют собой редкий вклад в учебную математическую литературу. Некоторые вопросы ни в каком другом сочинении в подобной обработке нельзя найти: многое заимствовано непосредственно из научных мемуаров, из обширных исторических сочинений, малодоступных или даже вовсе недоступных тешу читателю, для которого предназначены лекции Клейна. Мало того, книга интересна не только учителю, а местами, пожалуй, и вовсе не учителю.

Она интересна выпускнику университета, пединститута, технического вуза, аспиранту — она дает ему обзор руководящих идей, проникающий многие отделы "современной математики.

Понятие об «элементарной математике» является очень растяжимым. Клейн признает элементарным все то, что доступно юноше школьного возраста. Но с этой точки зрения многие части сочинения Клейна вовсе не могут быть признаны элементарными. Учение о кватернионах, уравнения и группы многогранников и их связь с римановыми поверхностями, учение о малых колебаниях, о рядах Фурье, об интерполяции никак не могут быть признаны элементарными. В некоторых своих частях книга требует значительной научной подготовки — что, конечно, вовсе не уменьшает ее достоинства для тех, кому эти вопросы доступны. Вместе с тем книга имеет характер сборника этюдов по вопросам элементарной математики и их осмыслению с точки зрения математики современной. Как писал Клейн в предисловии к упомянутым выше литографированным лекциям, «...я не имел в виду дать систематическое изложение, как это делают, например, Вебер и Вельштейн; я хотел придать этим лекциям характер эскизов в той самой форме, в какую они выливались, когда я их читал».

Школьный преподаватель математики хорошо разбирается в вопросах методики преподавания своего предмета, но, как правило, судит об этих вопросах на уровне школьной программы и наличия межпредметных связей с другими, но именно школьными, предметами. Помочь ему подняться над этим уровнем, взглянуть на школьную математику с высоты научных и прикладных интересов — искреннее желание автора. При общении со школьниками преподаватель часто сталкивается с тем, что учащийся недоумевает, для чего автору учебника понадобился тот или иной сложный аппарат, те или иные громоздкие рассуждения и как можно было до этого додуматься. Вот эти именно вопросы Клейн и старается осветить, он старается раскрыть идею в свете ее исторического развития, пояснить проблему в сопоставлении попыток ее решения. Клейн всюду стремится соединить геометрическую наглядность с точностью аналитических формул, пояснить в историческом плане особенности различных способов изложения, которые в школьном преподавании нередко уживаются рядом. И высшую награду своему труду автор видел в том, «...чтобы книга побуждала учителя средней школы к самостоятельному размышлению о новом, более целесообразном изложении того учебного материала, который он преподает. Исключительно с такой точки зрения надо смотреть на мою книгу, а не считать ее готовым учебным планом; разработку последнего я всецело представляю тем, кто работает в школе».

Остановимся кратко на содержании первого тома. Первая его часть представляет собой обзор современной теоретической арифметики. Кроме раздела 3 главы IV («Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве»), здесь все очень доступно и может в такой же мере служить введением в теоретическую арифметику, как и дополнением к ней.

Читатель должен только помнить, что доказательства нигде не доводятся до конца, - автор лишь выясняет их ведущие идеи.

Перейдем, далее, ко второй части - первого тома, к «Алгебре». Из обилия тем, которые предоставляет алгебра для беседы с будущими учителями, Клейн выбрал вопросы, связанные с решением уравнение. Здесь, прежде всего, изложены интересные графические приемы нахождения действительных корней уравнений с параметрами. Материал этот близок к школьному преподаванию, представляет интерес для учителя и может быть использован в кружковой работе со школьниками. В полной мере к освещению проблем элементарной математики с точки зрения математики современной относится обсуждение вопросов, связанных с комплексными числами, основной теоремой алгебры, двучленными уравнениями, неразрешимостью задачи трисекции угла в общем виде. Вместе с тем заключительные разделы «Алгебры» излагают вопросы, составлявшие главным образом предметы собственных работ Клейна. Эти идеи находят замечательное осуществление в вопросах о том, как слить различные отделы математики в одно целое и как геометрические представления помогают уяснить аналитические теории. Но хотя в ряде мест Клейн возвращается к школьным проблемам и дает крупицы ярких и интересных мыслей о преподавании (например, в связи с решением кубических уравнений), в целом эти идеи стоят далеко от школы, и изучение их вряд ли может принести существенную пользу будущему преподавателю. Однако для студентов и математиков, которые интересуются алгеброй, эти главы представляют глубочайший интерес. Впрочем, сама идея этих исследований Клейна очень близка к вопросам элементарной математики. В общих чертах она сводится к следующему С давних времен были указаны методы вычисления корней двучленных уравнений вида Пожалуй, именно в связи с этим извлечение корня было отнесено к числу операций, которые должны считаться хорошо известными и изученными. Классическая постановка задачи об алгебраическом решении уравнений в том именно и заключалась, чтобы свести решение всякого уравнения к решению «основных», т. е. двучленных уравнений. Как известно, это удалось для уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Относительно же уравнений более высоких степеней было обнаружено, что их решение, вообще говоря, не может быть сведено к извлечению корней, т. е. решению двучленных уравнений. Подобно тому как были изучены двучленные уравнения, можно искать новые типы «основных» уравнений, изучить, определяемую этими уравнениями функциональную зависимость и попытаться свести дальнейшие группы уравнений к этим новым основным типам. К такому направлению относится известное исследование Клейна об икосаэдре, общие результаты которого и приведены в главе II «Алгебры». Руководящей нитью здесь служило изображение функциональной зависимости, определяемой «основным» уравнением, на римановой поверхности. Эта зависимость в случае двучленных уравнений приводит к уравнению диэдра. Дальнейшее развитие идеи, которое читатель найдет в тексте, приводит к уравнениям многогранников. Клейн указывает категорию уравнений, которые приводятся к этим типам. И хотя эти исследования, глубокие по идее и талантливые по исполнению, носят все же специальный характер, но замысел их (изложенный в виде резюме на последних двух страницах «Алгебры») очень интересен и дает повод к раздумьям и более глубокому осмыслению математики.

Третья часть первого тома, посвященная анализу, написана (за небольшими исключениями) в высшей степени доступно. Так же как первую часть и начало второй части, ее можно рекомендовать всем изучающим математику. Более того, именно эта часть дает преподавателю богатый иллюстративный, методический и исторический материал как в отношении функционального мышления, так и по вопросу о началах анализа в школе (не только средней). Как и книга в целом, эта часть написана неравномерно. Наряду с очень интересными идеями, связанными с изучением элементарных трансцендентных функций, с основными идеями математического анализа и их историей, здесь есть и более специальные вопросы (сферическая тригонометрия, ряды Фурье и другие «нешкольные» темы). Много идей как бы брошено вскользь и не развито подробно. Поэтому в этой книге, предназначенной по замыслу Клейна для учителя, мы в предлагаемом издании добавили, с целью разъяснения, ряд сносок (иногда учитывающих сегодняшний уровень науки). Некоторые методологические положения Клейна покажутся советскому читателю, грамотному в идеологическом отношении, несколько наивными. Однако это не снижает большого интереса и значения труда Клейна. Книга математически и методически значительна, в высшей степени привлекательна, полезна. Она написана большим ученым, выдающимся популяризатором, педагогом, мастером слова.

Обратимся теперь к содержанию второго тома, посвященного геометрии. Эта книга необычно интересна и оригинальна — и не только потому, что в ней автор эрлангенской программы и группового подхода к построению и осмыслению геометрии излагает свои мысли и взгляды на этот предмет. Изложение второго тома особенно интересно еще и тем, что Клейн здесь о самого начала становится на путь аналитического осмысления идей и понятий геометрии. Теория инвариантов — тот геометрический компас, который хочет дать Клейн в руки читателя. И именно с помощью этого компаса он осуществляет ориентировку в том объеме геометрических сведений, который необходим учителю для глубокого понимания предмета: измерение геометрических величин, векторы, преобразование координат, движения и другие геометрические преобразования (в частности, проективные), эрлангенская программа, основания геометрии.

Клейну принадлежит принципиальная оценка того вклада в геометрию, который содержится в работе замечательного геометра Грассмана, появившейся в середине прошлого столетия, - но далеко не сразу замеченной математиками. Именно от Грассмана идет идея многомерного пространства и идея векторного осмысления геометрии, завершившаяся (уже после выхода книги Клейна) появлением вейлевской аксиоматизации геометрии. И первую часть своих геометрических лекций, озаглавленную «Простейшие геометрические образы», Клейн изящно излагает, выводя все первоначальные геометрические идеи из грассманова принципа определителей, который Клейн считает «целесообразным путеводителем среди множества основных геометрических образов» и источником «большого круга идей, который охватывает всю геометрическую систематику». Клейн как бы подчеркивает этим, что в значительной степени из идей Грассмана он исходил в предложенной им систематике геометрии, т. е. в эрлангенской программе.

Вторая часть геометрического тома посвящена геометрическим преобразованиям. Клейн с удивительным мастерством ученого и популяризатора охватывает евклидову, аффинную, проективную геометрии и касается таких вопросов, казалось бы, далеких от основной темы, как меркаторская карта мира, теория зубчатых колес и т. п.

Третья часть геометрического тома посвящена систематике геометрии, т. е. эрлангенской программе. Изложение Клейна, как и во всей книге в целом, подчеркнуто аналитическое. Это не значит, что Клейн настаивает на исключительно аналитическом изложении геометрии в школе. Клейн подчеркивает, что речь идет о создании у учителя целостного понимания геометрии, тогда как школьное преподавание должно быть генетическим, наглядным и — до определенного места — синтетическим. Заканчивается третья часть интересным обзором, посвященным основаниям геометрии. Здесь читатель найдет оригинальный критический разбор «Начал» Евклида, построение системы аксиом геометрии с помощью движений, идеи неевклидовой геометрий.

Последняя часть книги связана с вопросами преподавания геометрии. Хотя Клейн освещает состояние преподавания геометрии в разных странах в начале нашего столетия, но на этом фоне он излагает свои мысли о преподавании, имеющие большой интерес и сохраняющие значение сегодня.

В заключение отметим, что, сохранив в целом содержание книги Клейна, мы все же произвели некоторые купюры в тексте сочинения. Исключены дополнения «Развитие реформы преподавания математики в Германии», «Дополнительные сведения о математической и дидактической литературе», а также дополнения ко второму тому (все они написаны не самим Клейном, а его сотрудником Ф. Зейфартом).

Далее, в разделе «Арифметика» выпущен текст «Описание счетной машины Brunsviga», в котором автор описывает арифмометр с вращающейся ручкой и перемещающейся кареткой. В условиях широкого внедрения информатики и быстрой компьютеризации рассказ о «современной вычислительной технике» в виде арифмометра малоинтересен.

В предлагаемом издании книги значительно сокращены ссылки на статьи и учебники (на немецком языке), выпущенные в конце прошлого и начале нынешнего столетий. В некоторых случаях добавлены ссылки на современную математическую и методическую литературу на русском языке.

В остальном текст книги Клейна сохранен без изменений (если не считать некоторого редактирования перевода, который в предыдущем издании книги местами оставлял желать лучшего). Отметим, что правильным переводом заглавия книги было бы «Элементарная математика с высшей точки зрения»; однако мы Охранили прежнее заглавие, поскольку именно под этим названием книга Клейна приобрела столь заслуженный интерес и признание.

В. Г. Болтянский