4. Продолжение; вывод уравнений

Теперь мы переходим ко второй части нашей задачи, а именно, к установлению тех уравнений вида

или

которые принадлежат каждому из наших разбиений сферы, т. е. тех уравнений, в силу которых обе полусферы w отображаются на 2•12, или соответственно на 2•24, или, наконец, на 2•60 треугольничков сферы z. Таким образом, каждому значению w должно в общем соответствовать по 12, 24, 60 значений z — каждое в треугольнике соответствующего рода, — так что искомые уравнения должны иметь степень 12, 24, 60, которую мы будем обозначать вообще через N.

Но каждый треугольничек опирается на три замечательные точки, так что во всяком случае на сфере должны быть три места ветвления, которые мы поместим, как это было принято, в точках в качестве линии разреза проходящей через эти три точки, три отрезка которой должны соответствовать линиям, ограничивающим треугольники на сфере , мы снова возьмем действительную прямую (рис. 49), Далее, мы примем, что в каждом из трех случаев точке соответствуют центры граней (углы b в прежнем обозначении), точке соответствуют середины ребер (углы с) и точке соответствуют вершины многогранника (углы а) (рис. 50).

Рис. 49

Рис. 50

Указанные на чертеже обозначения сторон треугольников (сплошная линия, пунктир, штриховая линия) соответствуют трем отрезкам действительной прямой на сфере до (рис. 49), и при этом заштрихованные треугольники соответствуют полусфере, на которой изображаются значения до с положительной мнимой частью, а незаштрихованные — другой полусфере. При этом уравнение (1) в соответствии с этими соглашениями должно взаимно однозначно отображать сферу z на -пистную риманову поверхность, покрывающую сферу до и имеющую ветвления в точках

Можно было бы легко вывести существование этого уравнения из общих теорем теории функций, но я не хочу здесь предполагать необходимых для этого знаний и предпочитаю более эмпирическое построение отдельных уравнений, которое, быть может, даст нам и более живое и наглядное представление об отдельных моментах.

Представим себе уравнение (1) написанным в однородных переменных:

где обозначают однородные многочлены измерения N от или .

При таком способе записи уравнения исключительную роль играют точки на сфере до, но так как наряду с ними для нас всегда представляет равный интерес и третье место ветвления в однородных переменных), то представляется целесообразным иметь в виду и следующую форму уравнения:

где тоже представляет собой форму измерения. Оба вида я предпочитаю соединить в одну непрерывную пропорцию:

это представляет собой однородную форму уравнения (1) и в ней одинаково приняты во внимание все три точки ветвления.

Теперь наша задача заключается в том, чтобы составить формы для этой цели мы сразу же поставим их в связь с нашим делением сферы z. Из уравнения (2) мы находим, что при оказывается т. е. значению соответствуют (на сфере z) N корней формы . С другой же стороны, согласно нашим условиям месту ветвления должны соответствовать центры граней многогранников (вершины b в нашей классификации) число их в каждом случае равно но в каждой из этих точек встречаются по три заштрихованных и по три незаштрихованных треугольника, однократно отображенных на отдельные полусферы, так что каждую из них следует считать тройным корнем нашего уравнения. Таким образом, эти точки, если принять во внимание их кратность, дают все точки, соответствующие и, следовательно, все кории функции иначе говоря, функция имеет исключительно тройные корни и представляет собой поэтому третью степень некоторой формы степени

Таким же образом находим, что значению соответствуют корни уравнения и что они тождественны с серединами ребер многогранника, считая по два раза каждую (вершины с в нашей классификации); поэтому должно быть полным квадратом формы степени

Наконец, значению соответствуют корни функции и поэтому они должны быть тождественны с вершинами первоначального многогранника (вершины а); в них сходятся в соответственных случаях по 3, 4 или 5 треугольников, так что получаем

где или 5. Таким образом, наше уравнение непременно должно иметь вид

при этом измерения и показатели форм а также значения степени уравнения N указаны в следующей табличке:

тетраэдр:

октаэдр:

икосаэдр:

Теперь я хочу еще показать, что и разобранноэ раньше уравнение диэдра можно включить, в эту схему (3). Мы должны только вспомнить, что там мы помещали места ветвления на сфере w в точках а не в точках как теперь, так что мы достигнем действительной аналогии с уравнениями (3) лишь в том случае, если потребуем представить уравнение диэдра в таком виде:

Из формы уравнения диэдра

которой мы пользовались в свое время (с. 161), с помощью простого преобразования получаем

Таким образом, мы действительно можем присоединить к предыдущей табличке следующую строчку: диэдр:

Замечательные точки непосредственно определяются по этой форме уравнения, а их кратности совпадают с установленными раньше (с. 167, 168).

Теперь нашей задачей является действительно построить формы в трех новых случаях. При этом я остановлюсь подробнее только на октаэдре, для которого обстоятельства складываются наиболее просто. Но и здесь, желая оставаться в рамках краткого обзора, я многое буду только намечать и сообщать в виде результатов; всякий же, кто пожелает познакомиться с этим ближе, может найти подробное изложение в моей книге об икосаэдре.

Рис. 51

Ради простоты представим себе, что октаэдр так вписан в сферу z, что его вершин совпадают с точками (рис. 51). При таком положении октаэдра те 24 линейных подстановки z, которые изображают его повороты, т. е. перемещают названные 6 точек, можно представить в очень простом виде; начнем с четырех поворотов, при которых вершины 0 и остаются неподвижными:

(4а)

Далее можно, например, посредством подстановки [т. е. поворота около горизонтальной на ] переместить точку 0 в применяя затем еще (4а), получим 4 новых подстановки

Точно так же переместим с помощью подстановок

поочередно каждую из 4 точек применяя каждый раз 4 поворота (4а), получим еще подстановок октаэдра

Теперь мы нашли все 24 искомые подстановки; непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что они действительно переводят 6 вершин октаэдра в себя и что они образуют группу, — другими словами, что последовательное выполнение любых двух из этих подстановок снова дает некоторую подстановку (4).

Теперь я хочу прежде всего образовать форму которая имеет простыми корнями 6 вершин октаэдра: точка дает множитель точка дает множитель точки ±1 и представляют собой простые корни формы так что окончательно получаем

Труднее составить формы для которых центры граней и соответственно середины ребер служат простыми корнями; я приведу их здесь без вывода:

Конечно, во все эти три формы входит еще неопределенный постоянный множитель.

Поэтому, если под понимать формы в том виде, как они выражены равенствами (5), то в уравнение октаэдра (3) следует еще ввести неопределенные постоянные и написать его в таком виде:

Кроме того, надо так определить постоянные чтобы эта пропорция действительно представляла только одно уравнение между и до, а это имеет место в том и только в том случае, когда

тождественно по . Последнее соотношение действительно можно осуществить при помощи соответствующего выбора постоянных , а именно, имеет место в чем можно убедиться простым преобразованием — тождество

так что уравнение октаэдра (3) принимает следующий вид:

Это уравнение действительно отображает точки соответственно в центры граней, середины ребер и вершины октаэдра с надлежащей кратностью, так как формы составлены соответствующим образом. Кроме того, 24 подстановки октаэдра (4) переводят это уравнение в себя, так как они преобразуют корни каждой формы в себя и, следовательно, вводят в сами формы только лишь по множителю, а вычисление показывает, что при образовании частных эти множители выпадают.

Остается еще показать, что это уравнение конформно отображает каждый заштрихованный или незаштрихованный треугольник сферы z на соответствующую полусферу до. Нам уже известно, что трем вершинам каждого треугольника соответствуют точки действительной прямой на сфере до и что внутри каждого треугольника до принимает не более чем по разу одно и то же значение, ибо уравнение при этом имеет только 24 корня, которые должны распределиться по 24 треугольникам.

Если бы нам удалось еще показать, что w остается действительным вдоль трех сторон треугольника, то отсюда нетрудно было бы заключить, что каждая сторона взаимно однозначно отображается на дугу большой окружности, изображающей действительную прямую на сфере до, и что внутренность треугольника отображается конформно, и взаимно однозначно на полусферу. Вы легко сумеете сами довести до конца эту цепь выводов, в которой главное значение имеет то, что отображение производится непрерывной и аналитической функцией . Я же хочу подробнее остановиться только на одном моменте доказательства, а именно на доказательстве того, что на сторонах треугольника до принимает действительные значения.

Оказывается более удобным доказывать это утверждение в такой форме, что до имеет действительные значения на всех больших окружностях, которые образуют разбиение октаэдра. Это прежде всего те 3 взаимно перпендикулярные окружности, которые проходят через каждые 4 и 6 вершин октаэдра и соответствуют ребрам октаэдра (они изображены на рис. 51 сплошными линиями), и, далее, 6 окружностей, соответствующих высотам граней октаэдра; они делят пополам углы между ранее указанными тремя большими окружностями (штриховые линии на рис. 51). С помощью подстановок октаэдра можно любую «сплошную» большую окружность превратить в любую другую и точно так же каждую «штриховую» окружность превратить в любую другую. Поэтому достаточно показать, что до сохраняет действительное значение вдоль одной какой-нибудь «сплошной» и одной «штриховой» окружности, ибо на других оно должно принимать те же самые значения.

Но среди «сплошных» окружностей имеется действительная прямая на сфере , и на ней, конечно, до имеет действительное значение, получаемое из уравнения (6):

так как представляют собой действительные многочлены от .

Из «штриховых» окружностей, проходящих через точки 0 и мы выбираем ту, которая составляет с действительной прямой угол 45° и вдоль которой, следовательно, принимает значения где проходит действительные значения от до вдоль нее во всяком случае имеет действительное значение, а так как в силу уравнений (5) в функцию и в четвертую степень функции в входят только четвертые степени переменных то w ввиду формулы (7) опять-таки имеет действительное значение.

Теперь мы подошли к концу нашего доказательства: уравнение (6), в самом деле, отображает конформным образом каждый треугольник (из того подразделения сферы z на треугольники, которое соответствует октаэдру) на соответствующую полусферу римановой сферы или покрывающей ее римановой поверхности. Таким образом, зависимость между z и w, устанавливаемая этим уравнением, определяет взаимно однозначное конформное отображение сферы z на риманову поверхность.

С тетраэдром и икосаэдром поступают совершенно таким же образом; я дам здесь лишь результаты, которые и в этих случаях получаются при возможно более простом выборе разбиения сферы на треугольники. Для тетраэдра получается такое уравнение:

а для икосаэдра — уравнение

другими словами, эти уравнения отображают полусферы сферы w на заштрихованные и незаштрихованные треугольники того разбиения сферы z, которое соответствует тетраэдру и икосаэдру,