С. Изображение периодических функций посредством рядов из тригонометрических функций (тригонометрические ряды).

Как известно, в астрономии и в математической физике во многих случаях приходится рассматривать и вычислять периодические функции, и вот здесь-то упомянутое в заглавии изображение и представляет собой самое главное и постоянно применяемое средство исследования.

Приближения, выраженные конечным числом членов ряда. Представим себе для большего удобства единицу длины выбранной так, что период данной периодической функции равен (рис. 83).

Рис. 83

Вопрос заключается в том, нельзя ли такую функцию приближенно изобразить посредством линейной комбинации косинусов и синусов целочисленных кратных вплоть до первой, второй, вообще кратности с подходяще выбранными постоянными коэффициентами;

другими словами, нельзя ли заменить с достаточно малой ошибкой выражением такого вида:

В свободный член вводят здесь множитель 1/2 из соображений, которые выяснятся ниже (а именно, для того, чтобы выражение коэффициентов было одинаковым для всех ).

Прежде всего я должен снова пожаловаться на изложение, принятое в учебниках. А именно, вместо того чтобы поставить на первый план только что указанную элементарную проблему, авторы учебников считают единственным заслуживающим внимания примыкающий сюда теоретический вопрос о том, нельзя ли изобразить точно посредством бесконечного ряда.

Такая постановка вопроса для практических целей совершенно лишена интереса, ибо на практике можно суммировать только конечное и то не слишком большое число членов; решение указанного теоретического вопроса совершенно не позволяет судить о практической пригодности ряда: из сходимости ряда никоим образом нельзя заключать, что его первые члены выражают сумму ряда хотя бы с самым грубым приближением; точно так же, как и, обратно, несколько первых членов расходящегося ряда могут быть весьма пригодными для практического выражения функции. Я нахожу нужным особенно подчеркнуть это, так как тот, кто знаком только с таким обычным изложением, и хочет затем, выполняя физический практикум (общий курс измерительных опытов по физике), на деле применить конечные тригонометрические ряды, обыкновенно вводит сам себя в заблуждение такими ложными заключениями.

Еще поразительнее покажется это пренебрежение конечными тригонометрическими рядами, если вспомним, что их уже с давних пор подвергали самостоятельному изучению. Основы этого изучения дал астроном Бессель еще в 1815 г. Впрочем, те формулы, о которых здесь идет речь, в сущности совпадают с теми, которые встречаются при обычных доказательствах сходимости, но только те идеи, которые мы с ними соединяем, приобретают здесь иную окраску и облегчают практическое пользование этими вещами.

Величина погрешности. Теперь я перейду к ближайшему рассмотрению нашей темы и начну с вопроса о наиболее целесообразном определении коэффициентов а, b при данном числе членов . Для этой цели уже Бессель выработал одну идею, примыкающую к методу наименьших квадратов. Погрешность, которую мы совершаем, заменяя значение функции в точке суммой тригонометрических функций — обозначим ее через — равна мерой пригодности изображения функции на всем отрезке составляющем один период, может служить сумма квадратов всех ошибок, т. е. интеграл 135)

Наиболее целесообразное приближение значений функции даст, следовательно, сумма для которой этот интеграл получает наименьшее значение; на основании этого требования Бессель определил значение всех коэффициентов ? В самом деле, необходимые условия минимума интеграла как функции наших величин выражаются такими уравнениями:

Так как представляет собой квадратичную, существенно положительную функцию переменных то нетрудно видеть, что те значения этих переменных, которые получаются из уравнений (2), в самом деле дают для минимум.

Если выполнить дифференцирование под знаком интеграла, то уравнения (2) примут такой вид:

Но интегралы от произведений функции на косинус или синус можно значительно упростить. Действительно, при находим

Согласно известным свойствам интегралов от тригонометрических функций все члены справа равны нулю, кроме члена с индексом v, содержащего косинус, который имеет, как известно, значение ; таким образом 137),

Эта формула справедлива и при благодаря тому, что мы присоединили множитель у к коэффициенту . Таким же образом находим далее, что

Эти простые соотношения показывают, что каждое из уравнений (2) содержит только одно из неизвестных; поэтому мы можем сразу написать значения этих неизвестных:

Во всем дальнейшем мы будем считать, что коэффициенты имеют эти именно значения; тогда I действительно получит свое наименьшее значение, которое равно 138)

Весьма важно отметить то, что полученные таким образом значения коэффициентов совершенно не зависят от общего числа членов ряда; даже, более того, коэффициент при сохраняет одно и то же значение независимо от того, применяют ли для приближенного вычисления функции по тому же самому принципу один только этот член или же в соединении с любыми другими членами. Если бы, например, мы захотели возможно ближе подойти к значениям функции с помощью одного только члена с косинусом: так что должно было бы быть

то и в таком случае мы получили бы для как раз написанное выше значение.

Благодаря этому указанный метод приближения оказывается особенно удобным на практике. Если бы мы пожелали, например, приближенно изобразить функцию, ход изменения которой похож на ход изменения синуса, с помощью одной только функции и затем увидели, что это приближение недостаточно точно, то мы могли бы присоединить еще сколько угодно членов в виде слагаемых на основании того же принципа наименьшей суммы квадратов ошибок, — не изменяя величины уже найденного первого члена.

Сходимость бесконечных рядов. Теперь мне предстоит показать вам, насколько суммы определенные указанным образом, приближаются в отдельных случаях к данной функции Но мне представляется весьма целесообразным предпослать такому исследованию естественнонаучный экспериментальный метод, а именно, построить для нескольких конкретных случаев графическое изображение приближенных кривых Это дает живое представление о сути дела и вызывает даже у людей, не имеющих специальной склонности к математике, интерес и потребность в математическом образовании.

1. Наиболее простые функции, для которых имеют смысл наши интегралы, служащие для определения коэффициентов, мы получим, составляя графики из прямолинейных отрезков. Пусть, например, график функции идет от 0 до по прямой под углом 45° вверх, затем под таким же углом опускается вниз до точки с абсциссой и, наконец, снова под углом в 45° поднимается вверх до точки далее функция повторяет этот период ) (рис. 84). Если будем вычислять соответствующие коэффициенты, то увидим, что все так как -нечетная функция, и вследствие этого остаются только члены с синусами; получается такой ряд:

На рис. 84 представлен ход кривых, изображающих сумму одного и двух первых членов. Они примыкают все ближе и ближе к данной кривой причем число точек пересечения их с этой кривой постоянно возрастает.

Особенно замечательно то, как эти приближенные кривые все больше и больше вдвигаются в углы, образуемые графиком функции в точках с абсциссами хотя сами они как аналитические функции не могут образовывать углов.

Рис. 84

2. Пусть линия от 0 до поднимается вверх под углом в 45° по прямой линии, затем делает внезапный скачок вниз до значения и потом снова поднимается вверх под углом в 45° до таким образом, график состоит из ряда параллельных прямолинейных отрезков, проходящих через точки оси (рис. 85). Вставляя в местах разрыва по вертикальному отрезку, соединяющему оба конца наклонных отрезков, мы изобразим нашу разрывную функцию посредством непрерывной линии, напоминающей те штрихи, которые все вы Делали в начале обучения письму. Это — опять нечетная функция, так что все члены с косинусами выпадают, и разложение в ряд имеет такой вид:

На рис. 85 изображены суммы первых двух, трех, четырех членов; и в данном случае особенно замечательно то, что они как бы стремятся подражать разрывам функции проходя, например, через нулевое значение при все более крутым падением.

3. В качестве последнего примера возьмем кривую, которая для равна у, для равна нулю и для равна — а дальше периодически принимает такие же значения. Вставляя, как и раньше, вертикальные отрезки в местах разрыва, мы получим крючкообразную линию.

Рис. 85

И в данном случае только члены с синусами отличны от нуля, ибо функция нечетная, а именно,

Здесь закон для коэффициентов не столь прост, как в предыдущих случаях, и соответственно этому переход от одной приближенной кривой к другой (на рис. 86 изображены кривые для сумм из 3, 5 и 6 членов) не так ясен, как в прежних примерах.

Перейдем теперь к вопросу о том, как велика вообще та ошибка при определенном значении которую мы совершаем, заменяя суммой до сих пор мы интересовались только интегралом от этой ошибки, взятым по всему интервалу.

Теперь для отличия от абсциссы которую мы считаем постоянной, будем обозначать переменную интегрирования в выражениях (3) для коэффициентов через .

Рис. 86

Тогда наша конечная сумма (1) примет такой вид:

или же, соединяя каждые два слагаемых, стоящие одно под другим, в один член:

Ряд, стоящий в скобках, нетрудно суммировать; удобнее всего, пожалуй, сделать это, переходя к комплексной показательной функции.

В результате — в детали я не могу здесь входить — получается следующее выражение, если воспользоваться тем, что в силу периодичности подынтегральной функции за пределы интегрирования можно принять и

Чтобы получить представление о величине этого интеграла, построим сперва кривые

для отрезка оси они, очевидно, похожи на ветви гиперболы. Между этими ветвями совершает колебания кривая

причем тем чаще, чем больше . При она принимает значение, возрастающее одновременно с и равное Если положить для простоты то представит площадь, ограниченную кривой и осью (на рис. 87 заштрихованная часть). Но обладая хотя бы в некоторой степени чувством непрерывности, легко убедиться в том, что при достаточно большом значении как справа, так и слева площади, соответствующие отдельным колебаниям, которые попеременно положительны и отрицательны, должны друг друга компенсировать, так что остается только площадь очень высокого и узкого среднего куска; последний же, как нетрудно видеть, при возрастании переходит как раз в значение Совершенно так же в общем обстоит дело, когда представляет собой любую не слишком разрывную функцию, но непременно непрерывную при

Такие же точно соображения, выраженные в более строгой форме, лежат в основании доказательства сходимости бесконечных тригонометрических рядов, которое Дирихле впервые опубликовал в 1829 г.

В настоящее время это доказательство приводится в большинстве учебников, так что мне не приходится здесь на нем останавливаться. Я должен лишь назвать те условия, которым должна удовлетворять функция чтобы ее можно было представить в виде бесконечного тригонометрического ряда. Предположим снова, что функция задана на отрезке и затем продолжается периодически.

Рис. 87

Дирихле делает следующие допущения, называемые теперь просто условиями Дирихле:

a) функция непрерывна целыми отрезками, т. е. в интервале ) функция имеет только конечное число разрывов;

b) функция монотонна целыми отрезками, т. е. весь интервал можно разбить на конечное число таких более мелких интервалов, что в каждом из них либо не возрастает, либо не убывает, — другими словами, обладает лишь конечным числом максимумов и минимумов. Поэтому приходится исключить такие, например, функции, как для которой в окрестности точки скопляется бесконечное число экстремумов.

При соблюдении этих условий, как показывает Дирихле, бесконечный тригонометрический ряд точно представляет значение функции во всех точках в которых последняя непрерывна;

Но далее Дирихле показывает, что и в точках разрыва этот ряд сходится, а именно, сумма его при этих значениях равна среднему арифметическому тех значений, которые принимает если приближаться справа и слева к точке разрыва, или, как принято писать,

На рис. 88 отмечены такие точки разрыва и те значения, о которых идет речь.

Рис. 88

Упомянутые условия Дирихле, накладываемые на функцию только достаточны, но ни в коем случае не являются необходимыми для того, чтобы была представлена тригонометрическим рядом Но, с другой стороны, недостаточно предполагать только непрерывность функции можно построить непрерывные функции, у которых бесчисленное множество колебаний столь сильно сгущено, что ряд расходится.

Явление Гиббса. После этих — скорее теоретических замечаний я хочу сказать несколько слов о практической стороне тригонометрических рядов.

Построены специальные механические аппараты для вычисления коэффициентов тригонометрических рядов, так называемые гармонические анализаторы. Это название объясняется тем значением, которое, как известно, имеет разложение данной функции в тригонометрический ряд в акустике; оно в точности соответствует разложению любого тона означает время, а — амплитуду колебаний, соответствующую данному тону) на «чистые тона», т. е. на чистые косинусоидальные и синусоидальные колебания. Майкельсон в Чикаго и Стреттон построили аппарат, позволяющий вычислить даже 160 коэффициентов

Этот аппарат позволяет, и обратно, суммировать данный тригонометрический ряд из 160 членов, — другими словами, по данным коэффициентам восстановить функцию конечно, эта задача тоже имеет громадное практическое значение.

Аппарат Майкельсона — Стреттона впервые обратил внимание на одно интересное явление, собственно говоря, совершенно элементарного характера; приходится удивляться тому, что до тех пор оно оставалось незамеченным. Впервые заговорил о нем Гиббс в 1899 г., и поэтому его и называют явлением Гиббса. Позвольте мне сказать о нем несколько слов. По теореме Дирихле значение бесконечного тригонометрического ряда при определенном значении равно так, во втором из наших примеров — чтобы иметь в виду конкретный случай — сумма ряда в этом смысле слова представляет функцию, изображенную на рис. 89 с изолированными точками для

Рис. 89

Но раньше мы смотрели на тригонометрическое приближение иначе, чем Дирихле, который оставляет величину постоянной и заставляет возрастать до бесконечности. Мы, напротив, оставляли значение постоянным и рассматривали при переменном и таким образом строили последовательные приближенные кривые Вопрос заключается в следующем: что станет с этими кривыми, если будет возрастать до бесконечности? Или, выражаясь арифметически, вокруг каких значений сгущаются значения когда при переменном стремится к бесконечности? Ясно, что теперь предельная функция не содержит более изолированных точек, как прежде, т. е. у Дирихле; напротив, мы должны получить сплошную линию. На первый взгляд представляется вероятным, что эта кривая будет состоять как раз из непрерывных ветвей кривой и из вертикальных отрезков, соединяющих значения в местах разрыва; в упомянутом примере это была бы линия, напоминающая готическую букву (рис. 85).

На самом же деле оказывается, что вертикальный отрезок предельной кривой всегда несколько выходит вверх и вниз за пределы значений на конечную длину, так что эта кривая имеет замечательный вид, представленный на рис. 90.

Рис. 90

Эти добавочные хвостики впервые были замечены у кривых, построенных аппаратом Майкельсона, так что они обнаружены именно экспериментальным путем. Вначале их, конечно, приписывали несовершенству аппарата, пока Гиббс не выяснил необходимость их появления. Если через D обозначить величину скачка то, как показал Гиббс, удлинение должно равняться

Что касается обоснования такого утверждения, то достаточно дать его для одной какой-нибудь разрывной функции, — скажем, для функции, которой мы воспользовались в качестве примера, — так как все другие функции с таким же скачком должны получиться из нее посредством прибавления соответственных непрерывных функций. А для этого случая доказательство не особенно трудно; оно получается из рассмотрения интегральной формулы для . С другой стороны, можно вполне отчетливо проследить по наброску приближенных кривых (рис. 85), каким образом возникает острие Гиббса.

Я зашел бы слишком далеко, если бы стал входить здесь в дальнейшие, хотя крайне интересные подробности хода приближенных кривых.

На этом я закончу специальные замечания относительно тригонометрических рядов, чтобы присоединить к ним отступление, посвященное общему понятию функции, которое и по существу дела, и исторически очень тесно сюда примыкает,