В. УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ

В тех узких условиях, какими мы ограничили задачу, изучение простого конформного отображения даст нам все, что нам нужно.

Обозначим через неизвестное, через параметр; тогда рассматриваемые уравнения будут иметь такой вид:

где — многочлены относительно z; пусть — показатель высшей степени z в или По основной теореме алгебры это уравнение для каждого значения до имеет (вообще говоря, различных) корней . Из уравнения (1) следует, что

т. е. что w есть однозначная рациональная функция от z, а именно, как говорят, рациональная функция степени . Если бы мы захотели воспользоваться в качестве геометрического эквивалента уравнения (1) тем конформным отображением комплексных плоскостей z и до, которое устанавливается функциональной зависимостью (2), то наглядность нарушалась бы многозначностью z как функции до. Ввиду этого поступим так, как это всегда делается в теории функций: плоскость до мы представляем себе в виде наложенных друг на друга экземпляров (листов), которые мы подходящим образом соединяем между собой в так называемых «точках ветвления» в одну n-листную риманову поверхность; этот прием знаком всем вам из элементов учения об алгебраических функциях. Тогда наша функция (2) осуществляет взаимно однозначное и, вообще говоря, конформное соответствие между точками римановой поверхности над плоскостью до, с одной стороны, и точками обычной плоскости Z, с другой стороны.

Прежде чем перейти к подробному изучению этого соответствия будет целесообразно принять некоторые меры к тому, «чтобы устранить ту исключительную, но не лежащую в существе вещей роль, которую играют бесконечно большие значения и , и тем сделать возможной такую формулировку теорем, чтобы они не допускали исключений. Ввиду того, что эти условия, к сожалению, указывают далеко не всегда, когда это было бы необходимо сделать, мы остановимся на них несколько подробнее.

А именно, мы считаем недостаточным говорить только символически о бесконечно удаленной точке комплексной плоскости, а следует уяснить себе, что именно нужно считать аналогичным определенному свойству конечной точки в том случае, когда точка становится бесконечно удаленной. Но мы будем иметь все, что нам нужно, если раз навсегда заменим гауссову плоскость комплексных чисел римановой сферой. С этой целью представим себе сферу диаметра 1, касающуюся плоскости Гаусса в начале координат, и станем проектировать ее на плоскость из ее северного полюса N, диаметрально противоположного точке касания, или южному полюсу S (так. называемая стереографическая проекция, рис. 36).

Рис. 36

При этом всякой точке Q на плоскости однозначно соответствует точка Р на сфере — вторая точка пересечения луча NQ со сферой, и, обратно, всякой точке Р сферы, кроме точки N, однозначно сопоставляется некоторая точка Q на плоскости с определенными координатами поэтому можно рассматривать точку Р как представителя числа Когда же точка Р приближается по какому-либо пути к северному полюсу N, точка Q уходит в бесконечность, и наоборот. Поэтому представляется естественным рассматривать точку N, которой не сопоставлено никакое конечное комплексное число, как единственного представителя всех бесконечно больших чисел т. е. как конкретный образ бесконечно удаленной точки числовой плоскости. Этим достигается в геометрической интерпретации полная равноправность как всех конечных, так и бесконечно удаленной точки.

Теперь, чтобы вернуться к геометрическому истолкованию нашего алгебраического соотношения (1), заменим также плоскость w сферой w.

Тогда наша функция представит отображение сферы z на сферу w, это отображение конформно так же, как и соответствие обеих плоскостей, по той причине, что по известной теореме стереографическая проекция конформно отображает плоскость на сферу и обратно. При этом одной точке на сфере w отвечают, вообще говоря, различных точек на сфере z. Чтобы получить взаимно однозначное соответствие, представим себе экземпляров сферы w, наложенных один на другой, и скрепим их в точках ветвления в одну -листную риманову поверхность над сферой w. Составить себе такое представление не труднее, чем уяснить понятие о римановой поверхности на плоскости. Этим достигается в конце концов геометрическое истолкование алгебраического уравнения (1) как взаимно однозначного, вообще говоря, конформного соответствия между точками римановой поверхности над сферой w, с одной стороны, и сферы z, с другой стороны; в эту интерпретацию включены, очевидно, и бесконечные значения z и w, которые соответствуют или друг другу или конечным значениям этих переменных.

Чтобы получить возможность вполне использовать эти новые геометрические средства, необходимо и в алгебре сделать соответствующий шаг, направленный к тому, чтобы устранить в формулах исключительный характер бесконечно большого; этот шаг заключается во введении однородных переменных, а именно, мы полагаем и рассматриваем как две независимые комплексные переменные, но такого рода, что при любом с изображают одну и ту же точку. Пусть принимают все возможные пары конечных значений, но только не обращаются одновременно в нуль; тогда, согласно сделанному условию, для каждого конечного значения z мы получим одну определенную точку, но кроме того, существует еще одна точка произвольно, соответствующая бесконечному значению . Таким образом, получаем арифметический эквивалент бесконечно удаленной точки.

Точно так же, разумеется, полагаем пишем следующее «однородное» уравнение между «однородными» переменными соответствующее уравнению (2):

Здесь означают целые рациональные функции от и до , так как содержат самое большее, в степени; кроме того, это однородные многочлены (формы) измерения , ибо каждый член входящий в или при умножении числителя и знаменателя дроби на обращается в

т. е. в член измерения.

Теперь нам предстоит, последовательно применяя оба введенных вспомогательных средства — изображение на комплексной сфере и однородные координаты, — изучить во всех подробностях ту функциональную зависимость между , которую устанавливает уравнение (1). Эта задача будет решена, если мы сумеем составить себе полное представление о конформном соответствии между сферой z и римановой поверхностью над сферой

Но здесь прежде всего возникает вопрос о характере и положении точек ветвления на поверхности Римана. Я напомню, что -кратной точкой ветвления называется такая точка, в которой сходится лист. Так как w является однозначной функцией переменной 2, то положение точек ветвления будет нам известно, если мы будем знать соответствующие им точки на сфере z; я обыкновенно называю их просто замечательными точками сферы 2. Им тоже соответствует известная кратность, равная кратности соответствующих им точек ветвления. Я приведу без подробного доказательства теоремы, решающие эту задачу. При этом я предполагаю, что эти, собственно говоря, довольно простые факты из области теории функций в общем вам знакомы, хотя, быть может, и не в той однородной трактовке, которой я здесь отдаю предпочтение.

Абстрактные вещи, о которых я сейчас буду говорить, получат позже в ряде примеров конкретную наглядную форму.

Начнем с небольшого вычисления, которое даст нам аналог производной в однородных координатах. Продифференцируем уравнения (3):

Но

где

С другой стороны, по теореме Эйлера об однородных функциях степени имеем

Поэтому числитель в правой части равенства (3) можно преобразовать следующим образом:

что по теореме умножения определителей равняется

Поэтому соотношение (3) принимает такой вид!

Это — основная формула в однородной теории нашего уравнения; определяющим выражением для всего последующего является функциональный определитель форм

Кроме этого множителя, справа входит дифференциал от а слева дифференциал от а так как для конечных значений переменных z и w замечательные точки получаются, как известно, из уравнения , то становится ясной следующая теорема, строгого доказательства которой я не могу здесь излагать: каждый -кратный корень функционального определителя является замечательной точкой кратности, другими словами, ей соответствует -кратная точка ветвления римановой поверхности над сферой w. Главное преимущество этого правила по сравнению с прежними заключается в том, что оно в общей формулировке охватывает конечные и бесконечные значения и w. Оно же дает точное указание относительно числа замечательных точек. Действительно, четыре производные, входящие в функциональный определитель, представляют собой формы измерения, поэтому сам определитель есть форма измерения. А такой многочлен всегда имеет как раз корня, если принимать во внимание кратности последних. Если поэтому — замечательные точки сферы z (т. е. если — для ), а — их кратности, то сумма последних

В силу конформного отображения этим точкам отвечают v точек ветвления римановой поверхности над сферой w; они расположены на поверхности изолированно, и в них в круговом порядке сходятся соответственно листов. Но следует заметить, что несколько различных точек ветвления могут лежать над одной и той же точкой сферы w, так как из соотношения для может получиться несколько раз одно и то же значение w. Над такой точкой окажется тогда несколько различных (друг от друга изолированных) групп листов, причем листы каждой группы в этой точке склеены между собой. Такие точки на сфере w мы будем (в отличие от точек ветвления римановой поверхности, соответствующих замечательным точкам сферы z) называть местами ветвления и будем обозначать их через А, В, С, ... ; число таких различных мест ветвления может, таким образом, быть меньше

Теперь мы построим поверхность Римана, о которой по имеющимся пока у нас данным мы можем иметь лишь весьма расплывчатые представления, причем сделаем это таким образом, чтобы она получила более наглядный вид. С этой целью проведем на сфере w через места ветвления А, В, С, ... замкнутую линию S без кратных точек возможно более простого вида; заштрихуем одну из ограниченных ею частей сферы в отличие от другой (рис. 37). Во всех примерах, разбираемых нами ниже, все точки А, В, С, ... действительны; в этом случае естественно взять за линию меридиан действительных чисел, так что наша сфера распадается на две полусферы.

Рис. 37

Возвращаясь к общему случаю, заметим, что каждый лист римановой поверхности склеивается с другим листом вдоль линии разреза, или, как мы будем говорить, линии ветвления, соединяющей две точки ветвления. Как известно, риманова поверхность, по существу, остается неизменной, когда мы такую линию как-либо по ней перемещаем, если при этом концы ее остаются неподвижными, другими словами, если те же листы скреплять между собой вдоль иных линий, соединяющих те же точки. В этой неизменяемости заключается большая общность, но в то же время и существенная трудность идеи поверхностей Римана. Чтобы придать нашей поверхности определенный вид, легко допускающий конкретное представление, сдвинем все линии ветвления таким образом, чтобы все они лежали над построенной выше линией S, проходящей через все места ветвления; при этом над одними частями линии S может, конечно, лежать по нескольку линий ветвления, а над другими частями линии S может их вовсе не быть.

Теперь разрежем все листы вдоль линий, лежащих над

Ввиду того, что мы уже раньше поместили все линии ветвления над линией и теперь производим вдоль всех них разрезы, наша риманова поверхность распадается на две группы по «полулистов», совершенно свободных от ветвлений и расположенных над каждой из двух частей сферы, ограниченных линией Соответственно тому, как мы условились выше различать обе части сферы, мы будем говорить о заштрихованных и о незаштрихованных полулистах. Теперь мы можем так описать строение римановой поверхности: каждый заштрихованный полулист на ней окружен исключительно незаштрихованными полулистами, с которыми он встречается вдоль линий, расположенных над частями АВ, ВС, линии S; аналогично этому, каждый незаштрихованный полулист окружен вдоль таких отрезков кривой одними лишь заштрихованными полулистами. Но более чем два полулиста встречается только в точках ветвления, а именно, в -кратной точке ветвления сходятся попеременно заштрихованных а незаштрихованных полулистов.

Ввиду того, что посредством нашей функции сфера z взаимно однозначно отображена на риманову поверхность над сферой w, можно сразу перенести на сферу z найденные соотношения склеивания. Именно, в силу непрерывности полулистам поверхности соответствуют односвязных областей на сфере , которые мы назовем соответственно заштрихованными и незаштрихованными полу областями; они отделяются одна от другой кривыми на сфере z, в которые n-значная функция отображает каждую из частей линии 6. Каждая заштрихованная полуобласть соприкасается вдоль таких кривых исключительно с незаштрихованными полуобластями, и наоборот; тсцько в -кратной замечательной точке сходятся больше чем две полуобласти, а именно, заштрихованных и столько же незаштрихованных.

Это разбиение сферы z на области послужит нам для того, чтобы проследить во всех деталях ход функции для некоторых простых и характерных примеров. Начнем с самого простого примера.