3. Обращение простых дробей в десятичные

Обращаюсь теперь к п. 5 раздела 1, — именно, к обращению рациональных дробей в десятичные. Подробную теорию вы найдете в книге Вебера и Вельштейна; я же хочу выяснить здесь только принципы этой теории на простейшем типичном примере. Рассмотрим дробь , где — простое число, отличное от 2 и 5; мы покажем, что дробь представляется в виде бесконечной периодической десятичной дроби, причем число цифр периода — обозначим его через — есть наименьшее натуральное число, при котором дает при делении на в остатке 1, или, выражаясь языком теории чисел, есть наименьший показатель, при котором имеет место сравнение

Доказательство прежде всего предполагает известным, что такое сравнение всегда возможно; это устанавливается так называемой малой теоремой Ферма, заключающейся в том, что при всяком простом , не делящем числа 10,

На доказательстве этого основного предложения, служащего постоянным орудием исследования всякого математика, я здесь не буду останавливаться. Далее, из теории чисел мы должны заимствовать еще предложение, утверждающее, что наименьший показатель , о котором шла выше речь, либо равен числу либо есть делитель этого числа.

Это мы можем применить к нашему числу и получим, таким образом, что

есть целое число N, так что

Если мы поэтому представим себе дроби обращенными в десятичные, то у них все десятичные знаки после запятой будут соответственно совпадать, так как разность между этими дробями есть целое число. Так как, с другой стороны, дробь — получается из дроби переносом запятой вправо на S десятичных знаков, то отсюда следует, что от такого переноса запятой десятичные знаки дроби у не изменяются, иными словами, что десятичные знаки дроби представляют собой последовательное повторение периода, состоящего из цифр. Теперь покажем, что не может быть меньшего периода, состоящего из цифр. Для этого нам достаточно обнаружить, что число цифр каждого периода удовлетворяет сравнению ибо нам известно, что есть наименьшее решение этого сравнения. Это доказательство представляет собой простое обращение прежнего рассуждения. В самом деле, из условия следует, что дроби — имеют одни и те же десятичные знаки; следовательно, разность этих дробей целое число N, а потому делится на ; таким образом, действительно этим вполне исчерпывается доказательство.

Я приведу некоторые возможно более простые и поучительные примеры, из которых вы увидите, что в различных случаях действительно может принимать значения, как меньшие так и равные

Заметим прежде всего, что для дроби число десятичных знаков в периоде, т. е. , равно 1, и это соответствует тому, что уже Далее для дроби имеем и соответственно

Наивысшее значение мы встречаем при разложении дроби

здесь . И действительно, нетрудно видеть, что но модулю 7

и, наконец,