III. ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА

Конечно, я предполагаю, что все вы умеете дифференцировать и интегрировать и не раз применяли это умение. Эту главу мы посвятим только вопросам общего характера, как например, вопросам о логическом и психологическом обосновании, вопросам о преподавании и т. д.

1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых

Я хотел бы предпослать замечание общего характера относительно предмета математики. Вы можете часто услышать от нематематиков, в особенности от философов, что математика занимается исключительно выводами логических следствий из ясно заданных посылок, причем совершенно безразлично, что именно означают эти посылки, истинны ли они или ложны - лишь бы только они не противоречили друг другу.

Совершенно иначе смотрит на дело всякий, кто сам продуктивно занимается математикой. В действительности люди, мнение которых было приведено выше, судят исключительно по той выкристаллизованной форме, в какой принято излагать готовые математические теории, но исследователь работает в математике, как и во всякой другой науке, совершенно иначе: он существенно пользуется своей фантазией и продвигается вперед индуктивно, опираясь на эвристические вспомогательные средства. Можно привести немало примеров того, как великие математики находили самые важные теоремы, не будучи в состоянии строго их доказать. Неужели допустимо не ценить такое великое творчество, неужели надо в угоду приведенному выше определению математики сказать, что все это не математика и что только те позднейшие математики, которые нашли, наконец, вылощенные доказательства теорем, — только они одни двигали математику? Конечно, присвоить ли слову то или иное значение — вещь условная, но при оценке заслуг научных работников приходится сказать, что индуктивная работа того, кто впервые нашел какое-нибудь предложение, имеет, конечно, такую же ценность, как и дедуктивная работа того, кто его впервые доказал, ибо то и другое одинаково необходимо.

Как раз при изобретении и первоначальной разработке исчисления бесконечно малых это индуктивное творчество, не основанное на связных логических выводах, сыграло большую роль; при этом весьма часто самым действительным эвристическим средством являлось чувственное восприятие — я имею в виду непосредственное чувственное восприятие -со всеми его неточностями, например, восприятие, при котором кривая представляется действительной чертой определенной толщины, а не тем абстрактным воззрением, которое постулирует как нечто заранее выполненное предельный переход к совершенно тонкой одномерной линии. Я хочу в подтверждение этого изложить в кратких чертах, как исторически возникали идеи исчисления бесконечно малых.

Обращаясь прежде всего к понятию интеграла, приходится заметить, что оно исторически возникло в связи с проблемой измерения площадей и объемов (квадратура и кубатура).

Как известно, абстрактное логическое определение интеграла фигуры, ограниченной кривой осью и ординатами заключается в том, что это есть предел суммы площадей узких прямоугольников, вписанных в эту фигуру, когда число их беспредельно возрастает, а ширина одновременно неограниченно убывает (рис. 96). Но с точки зрения чувственного восприятия представляется естественным определить рассматриваемую площадь не как точный предел, а просто как сумму очень большого числа довольно узких прямоугольников, ибо и без того дальнейшему уменьшению прямоугольников всегда положит конец неизбежная неточность чертежа.

Рис. 96

Рис. 97

Рис. 98

С такими наивными представлениями мы, действительно, встречаемся у самых выдающихся математиков в период возникновения исчисления бесконечно малых. Прежде всего я назову Кеплера, который занимался вопросом об измерении объемов в своей книге. Главный интерес для Кеплера представляет измерение объемов бочек и их наиболее целесообразная форма. При этом он становится целиком на только что отмеченную наивную точку зрения: он представляет себе бочку состоящей из больаюго числа тонких листов, например из бумаги, и считает объем бочки равным сумме объемов этих листов (рис. 97), каждый из которых представляет собой цилиндр. Подобным же образом поступает он и при вычислении объемов простых геометрических тел, например шара.

Последний Кеплер рассматривает как образованный из очень большого числа (рис. 98) небольших пирамидок с вершиной в центре шара; поэтому весь объем шара равен по известной формуле для пирамид произведению y на сумму всех оснований пирамидок.

Полагая последнюю сумму равной площади поверхности шара, т. е. Кеплер получает для объема правильную формулу —д- Впрочем, Кеплер подчеркивает практическое, эвристическое значение таких рассуждений, а относительно строгих математических доказательств отсылает к сложным рассуждениям Архимеда (метод исчерпания).

Рис. 99

Подобные же рассуждения встречаются в книге иезуита Бонавентуры Кавальери «Геометрия неделимых», в которой он устанавливает принцип, носящий теперь его имя: объемы двух тел равны, если равны площади сечений, проведенных в обоих телах на одинаковой высоте. Об этом принципе Кавальери очень много, как известно, говорят у нас в школе, думая с его помощью избегнуть интегрального исчисления, тогда как в действительности этот метод вполне принадлежит интегральному исчислению. Обоснование, которое дает Кавальери, сводится к тому, что он представляет себе оба тела построенными из тонких листков, наложенных друг на друга и, по предположению, попарно конгруэнтных между собой. Другими словами, одно тело может быть получено из другого посредством сдвига отдельных листков (рис. 99); при этом, конечно, объем тела не может измениться, так как он состоит из одних и тех же слагаемых и до, и после этого процесса.

Подобным же образом наивное воззрение приводит к понятию производной функции, т. е. к понятию касательной к кривой. Для этого заменяем — так действительно и поступали — кривую линию ломаной, вершинами которой служит достаточно большое число точек, густо расположенных на кривой.

В силу природы нашего чувственного восприятия на большом расстоянии едва ли возможно отличить кривую от такой вереницы точек и тем более от самой ломаной. Но в таком случае касательную к кривой приходится определить просто как прямую, соединяющую две точки, непосредственно следующие одна за другой (рис. 100), т. е. как продолжение одного из звеньев ломаной. С абстрактно-логической точки зрения такая прямая, конечно, всегда — как бы близко ни лежали соседние точки — остается только секущей по отношению к кривой, а касательная является тем предельным положением, к которому эта секущая неограниченно приближается при уменьшении расстояния между точками. Аналогично этому, под кругом кривизны с этой наивной точки зрения надо понимать круг, проходящий через три последовательные вершины ломаной, между тем как, выражаясь точно, надо сказать, что круг кривизны есть предельное положение такого круга при неограниченном сближении трех точек.

Рис. 100

Убедительность такого рода наивных рассуждений представляется, конечно, различным лицам весьма различной. Многие — к ним принадлежу и я сам — чувствуют себя в высшей степени ими удовлетворенными. Другие же, будучи односторонне расположены к чисто логической стороне, находят, что такие соображения ничего не говорят, и не могут согласиться с тем, чтобы на них можно было вообще смотреть как на основание для математических рассуждений.

С другой стороны, такие наивные приемы мышления и в настоящее время очень часто применяются всякий раз, когда хотят — в математической физике, в механике, в дифференциальной геометрии — применить какое-нибудь математическое положение; там эти приемы, как все вы знаете, весьма целесообразны. Конечно, чистые математики часто смеются над таким наивным изложением; во время моего студенчества говорили, что для физика дифференциал — это кусок латуни, с которым он обращается, как со своими аппаратами.

По этому поводу я хочу отметить достоинства обозначений Лейбница, которые теперь господствуют повсюду. Действительно, наряду с целесообразным указанием на наивное воззрение они соединяют также известный намек на тот абстрактный предельный процесс, который действительно в этих понятиях содержится. Так, символ Лейбница для обозначения производной указывает на то, что последняя возникает из частного, но при этом знак d, в отличие от знака конечной разности А, показывает, что тут внесено и нечто новое, а именно, предельный переход 141).

Точно так же символ для обозначения интеграла указывает, что последний, возникает из суммы малых величин, но при этом обычный знак суммы 2 заменяется стилизованным S (приходится удивляться тому, что не все знают о таком значении знака и это указывает на то, что здесь к суммированию присоединяется новый процесс.

Логическое обоснование исчисления бесконечно малых (Ньютон и его последователи; Коши). Теперь мы должны, наконец, ближе подойти к вопросу о логическом обосновании дифференциального и интегрального исчисления; мы непосредственно приступим к рассмотрению этого вопроса в его историческом развитии.

1. Основная идея заключается — как теперь излагают во всех высших школах, так что мне приходится только в двух словах вам это напомнить, — в том, что исчисление бесконечно малых представляет собой попросту приложение общего понятия предела; производную определяют как предел частного соотрстственных конечных приращений переменной и функции:

предполагая, что этот предел существует; это ни в коем случае не есть частное, в котором имеют самостоятельное значение. Точно так же интеграл определяют как предел суммы:

где ;

обозначает конечные доли промежутка а — любые значения функции в них; все должны одновременно стремиться к нулю; но ни в каком случае не следует приписывать реальное значение символу например, как слагаемому какой-то суммы. Это обозначение сохранено лишь из вышеуказанных соображений целесообразности.

2. Такое понимание можно найти уже у Ньютона в очень точной форме. Я приведу одно место в его главном произведении «Principia mathematica philo-sophiae naturalis», вышедшем в 1687 г.: «Ultimae rationes illae, quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites, ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper approprinquant, et quos propius assequi possum, quam pro data quavis differentia, nonquam vero trans-gredi neque prius attingere quam quantitates dimi-nuuntur in infinitum» («Эти последние отношения, с достижением которых количества исчезают, в действительности не суть отношения последних количеств, а представляют собою пределы, к которым стремятся отношения постоянно убывающих количеств и к которым они могут подойти ближе чем на любую наперед заданную разность; перейти их или достичь раньше, чем количества бесконечно уменьшатся, они не могут»). Впрочем, Ньютон совершенно избегает в этом сочинении применения исчисления бесконечно малых, хотя он, несомненно, пользовался им при первоначальном выводе своих результатов. Действительно, основное произведение, в котором он развивает свой метод бесконечно малых, Ньютон написал уже в 1671 г., хотя появилось оно впервые лишь в 1736 г. под названием «Метод флюксий и бесконечных рядов» («Methodus fluxiorum et serierum infinitarum»).

В этом произведении Ньютон развивает, не вдаваясь в разъяснения принципиального характера, новое исчисление на многочисленных примерах.

При этом он примыкает к одному представлению из повседневной жизни, которое делает весьма понятным предельный переход, а именно, если рассматривать движение вдоль оси в момент t, то всякий имеет определенное представление о том, что называется скоростью такого движения; если присмотреться ближе, то увидим, что это, в сущности, и есть предел отношения конечных приращений Эту скорость, с которой переменная изменяется во времени, Ньютон и принимает за основание своих рассуждений как флюксию переменной . Он представляет себе, что все переменные у зависят от этой первичной переменной, т. е. времени t, так что производная является частным двух флюксий -j, что мы записали бы теперь подробнее так;

3. К этим идеям Ньютона примыкает целый ряд математиков XVIII в., которые с большей или меньшей строгостью строили исчисление бесконечно малых на понятии предела. Я назову лишь несколько имен: Маклорен, написавший «Трактат о флюксиях», который в качестве учебника имел обширный круг влияния; затем Даламбер, участвовавший в большой французской «Методической энциклопедии» (Encyklo-pedie methodique); далее, Кестнер, живший в Гёттингене, проводил те же идеи в своих лекциях и книгах. Наконец, и сам Эйлер принадлежит главным образом к этому же направлению, хотя у него, пожалуй, проглядывают уже и другие тенденции.

4. Но во всех этих построениях анализа оставался еще один существенный пробел, без заполнения которого не могло быть и речи о последовательной системе исчисления бесконечно малых; тогда хотя и знали определение производной как предела, но не хватало еще средства для того, чтобы, обратно, по данному значению производной определить величину приращения функции в конечном промежутке. Таким средством является теорема о среднем значении, и великой заслугой Коши является то, что он вполне оценил центральное значение этой теоремы и соответственно этому поставил ее во главе дифференциального исчисления.

Поэтому не будет преувеличением, если мы назовем его основателем точного анализа бесконечно малых в современном смысле. Основное значение имеет в данном отношении его «Resume des lemons sur le calcul infinitesimal», составленное на основании его лекций в Париже и изданное сначала в 1823 г., а затем в 1829 г. (только первая часть) под заглавием «LeQons sur le calcul differentiel».

Рис. 101

Теорема о среднем значении заключается в следующем: если - непрерывная функция, обладающая во всех точках рассматриваемого интервала производной то между всегда найдется такое значение что

В это выражение входит характерная для теорем о средних значениях величина 0, которая начинающему часто на первых порах представляется такой удивительной. В геометрической форме эта теорема представляется весьма наглядной: она утверждает лишь, что на кривой между точками всегда найдется такая точка в которой касательная к кривой параллельна хорде (рис. 101), соединяющей точки лих к

5. Как же доказать строго арифметически теорему о среднем значении, не прибегая к геометрическим представлениям? Такое доказательство должно, конечно, состоять только в том, что доказываемую теорему сводят к абстрактно установленным раньше в самой точной форме арифметическим определениям переменных, функций, непрерывности и тому подобных понятий. В этом смысле вполне строгое доказательство впервые нашли Вейерштрасс и его последователи, которым мы вообще обязаны современным арифметическим представлением о числовом континууме. Я хотел бы отметить здесь лишь характерные моменты этих рассуждений.

Прежде всего нетрудно свести рассматриваемую теорему к тому случаю, когда секущая, ограничивающая дугу, горизонтальна, т. е. когда (рис. 102); в этом случае требуется показать, что существует точка, в которой касательная горизонтальна. А для этого служит знаменитая теорема Вейерштрасса, согласно которой всякая непрерывная в некотором промежутке функция принимает в нем по крайней мере один раз свое наибольшее и наименьшее значение. Хотя бы одно из этих наибольших и наименьших значений должно лежать внутри интервала если исключить тривиальный случай, когда функция равна постоянной величине. Предположим, что это — максимум и что он находится в точке тогда справа и слева от этой точки имеет меньшие значения; поэтому отношение конечных приращений справа отрицательно, а слева положительно. Следовательно, производную, которая, по предположению, должна существовать в каждой точке, можно представить в точке как предел либо только положительных, либо только отрицательных значений в зависимости от того, будем ли мы рассматривать ее как предел отношений конечных разностей слева или как предел таких же отношений справа от рассматриваемой точки. Поэтому производная может равняться только нулю; таким образом, доказаны существование горизонтальной касательной, а тем самым и теорема о среднем значении.

Рис. 102