4. Непрерывные дроби

Я хочу также несколько остановиться на вопросе, содержащемся в п. 6 раздела 1, именно, на непрерывных дробях. При этом я не буду здесь, однако, приводить обыкновенное чисто арифметическое изложение, которое вы найдете во многих других сочинениях, например, у Вебера и Вельштейна. Напротив, я воспользуюсь случаем, чтобы вам показать, какую ясную и понятную форму приобретают вопросы теории чисел при наглядном геометрическом их изложении. К тому же, прибегая к этим геометрическим приемам в области теории чисел, мы возвращаемся к тем путям, по которым шли Гаусс и Дирихле. Лишь новейшие математики начиная примерно с 1860 г., изгнали эти методы из теории чисел. Само собой разумеется, что здесь я имею возможность кратко привести только ход рассуждений и важнейшие теоремы без доказательств; я естественно предполагаю также, что начала элементарной теории непрерывных дробей вам известны.

Вы знаете, как представляется данное положительное число со в виде непрерывной дроби: мы выделяем наибольшее целое число , содержащееся в и полагаем

где

далее с дробью — мы поступаем так же, как с него

где

и этот процесс проводим дальше:

Если есть рациональное число, то этот процесс обрывается после конечного числа ступеней; если же и есть иррациональное число, то процесс продолжается бесконечно. В любом случае мы будем писать кратко «разложение числа в непрерывную дробь»:

В виде примера приведу разложение в непрерывную дробь числа :

Если мы оборвем непрерывную дробь на первом, втором, третьем, частном, то, мы получим рациональные, так называемые «подходящие дроби»:

Эти дроби представляют собой чрезвычайно хорошие приближения к числу со; выражаясь точнее, каждая из них дает самое лучшее приближение, какого только возможно достигнуть, не увеличивая знаменателя приближенной дроби.

Благодаря этому свойству подходящих дробей теория непрерывных дробей приобретает практически важное значение во всех тех случаях, где нужно выразить иррациональные числа или даже рациональные дроби с большими знаменателями (например, десятичные дроби со многими знаками) в виде дробей с возможно меньшими знаменателями. Насколько хорошее приближение мы получаем, можно видеть из следующей таблички, содержащей запись первых подходящих дробей числа я в виде десятичных дробей:

Кстати, вы замечаете на этих примерах, что подходящие дроби попеременно то больше я, то меньше этого числа; это есть, как известно, общее свойство подходящих дробей: представляя число со в виде непрерывной дроби, мы заключаем его при помощи подходящих дробей в пределы, постоянно суживающиеся сверху и снизу. Оживим теперь все эти вещи при помощи геометрического образа. С этой целью представим себе в положительном квадранте плоскости Оху (предполагая, что мы ограничиваемся положительными числами) все точки, которые имеют координатами целые числа: они образуют «целочисленную решетку точек».

Будем рассматривать эту решетку — я мог бы даже сказать «это звездное небо» — из начала координат О (рис. 7): луч, идущий от начала к точке имеет уравнение

и обратно, на каждом луче где есть рациональное число , лежит бесчисленное множество целочисленных точек здесь — произвольное целое число. Таким образом, из точки О во всех возможных рациональных направлениях и только в этих направлениях мы видим точки нашей решетки; поле зрения всюду плотно заполнено «звездами», но не свободно от пробелов; оно не заполнено ими непрерывно и как бы напоминает «млечный путь». На иррациональном луче где — иррациональное число, не лежит, следовательно, ни одна целочисленная точка — факт, замечательный уже и сам по себе. Но, очевидно, такого рода прямая, выражаясь термином, напоминающим дедекиндово определение иррациональных чисел, производит сечение в области всех целочисленных точек именно, она разбивает их на две группы точек, расположенных справа и слева от прямой. Если мы спросим себя теперь, где же у нашего луча отделяются друг от друга эти группы, то мы придем к чрезвычайно интересному свойству разложения числа и в непрерывную дробь. Именно, если мы отметим точки соответствующие каждой подходящей дроби разложении числа — взаимно простые числа), то лучи, идущие к этим точкам, должны все ближе и ближе подходить к лучу и притом попеременно то с одной, то с другой стороны; это приближение должно происходить с такой же быстротой, с какой дробь — приближается к иррациональному числу

Рис. 7

Развитие этой идеи приводит к следующей теореме, которую нетрудно доказать, пользуясь известными в теории чисел свойствами чисел , и

Представим себе, что во все целочисленные точки воткнуты штифтики или булавки, как на китайском биллиарде. Каждую из двух групп булавок, расположенных справа и слева от луча обведем нитью; если теперь мы натянем каждую нить так, чтобы она охватывала соответствующую группу булавок и прилегала вплотную к ближайшим, то она примет форму выпуклой ломаной линии; вершинами этбй ломаной и будут служить точки, координатами которых служат соответственные числители и знаменатели подходящих дробей; при этом слева будут лежать точки, отвечающие четным подходящим дробям, а справа — нечетным.

Этим путем мы приходим к новому и, нужно сказать, чрезвычайно наглядному геометрическому определению разложения числа в непрерывную дробь. Приведенный выше рис. 7 относится к случаю

т. е. к иррациональному числу, выражающему отношение стороны правильного десятиугольника к радиусу описанной вокруг него окружности. Здесь первыми вершинами двух ломаных линий будут

Для числа значения возрастают гораздо быстрее, так что нанести соответствующую фигуру на чертеж было бы довольно трудно.