7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой

Вот я и хочу изложить вам теперь подробное доказательство того, что правильный семиугольник не может быть построен циркулем и линейкой. Известно, что каждое построение, производимое циркулем и линейкой, при переходе к вычислению эквивалентно целому ряду последовательных извлечений квадратного корня и что, обратно, каждое такое выражение, содержащее квадратные корни, может быть построено геометрически пересечением прямых и окружностей. Это вы и сами себе легко уясните. Поэтому наше утверждение мы можем аналитически формулировать так: уравнение шестой степени

характерное для правильного семиугольника, не может быть решено при помощи конечного числа операций извлечения квадратного корня.

Но это так называемое возвратное уравнение, которое одновременно с каждым корнем z имеет еще корень Это и будет тотчас видно, если мы напишем уравнение в таком виде:

Степень такого уравнения может быть сразу понижена вдвое, если положить и принять за новое неизвестное. Простое вычисление дает для кубическое уравнение

и мы видим непосредственно, что уравнения (1) и (2) одновременно либо решаются в квадратных радикалах, либо не решаются. Впрочем, величину можно привести в непосредственную геометрическую связь с построением правильного семиугольника. Из рис. 12, изображающего в комплексной плоскости окружность радиуса, равного единице, легко усмотреть следующее: если мы обозначим через центральный угол правильного семиугольника и примем во внимание, что две вершины, смежные с вершиной то окажется, что поэтому по данному значению легко построить семиугольник.

Рис. 12

Нам остается обнаружить, что кубическое уравнение (2) не решается в квадратных радикалах. Это доказательство распадается на арифметическую и алгебраическую части; мы начнем с первой части, которая, естественно, примыкает к тем вопросам теории чисел, которыми мы здесь занимаемся. Мы обнаружим сначала, что кубическое уравнение (2) неприводимо, т. е. что его левая часть не может быть разбита на два множителя с рациональными коэффициентами.

Заметим прежде всего, что если многочлен третьей степени разлагается на множители, то один из множителей имеет первую степень, и потому разложение должно иметь вид

нам нужно поэтому доказать, что такое разложение не может иметь места.

Если бы такое разложение имело место, то уравнение (2) необходимо имело бы рациональный корень —а. Положим — где — целые взаимно простые числа. Если бы это число удовлетворяло уравнению (2), то имело бы место равенство

Но в таком случае число делилось бы на q, а так как — числа взаимно простые, то и само число делилось бы на q. Но совершенно так же можно показать, что а следовательно и q, делится на . Итак, и q должны были бы быть целыми взаимно простыми числами, которые, однако, делятся друг на друга. Ясно, что это возможно только в том случае, когда Иными словами, уравнение (2) должно было бы при этих условиях иметь корень, равный ±1. Но непосредственное вычисление обнаруживает, что это места не имеет. Сделанное допущение, таким образом, неправильно, т. е. разложение (3) не имеет места.

Вторая часть доказательства должна теперь заключаться в том, чтобы обнаружить, что неприводимое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не может быть решено при помощи квадратных радикалов. Эта часть доказательства имеет существенно алгебраический характер; однако для цельности изложения мы приведем его здесь. Мы дадим нашему предложению несколько иное и именно положительное выражение. Если уравнение третьей степени с рациональными коэффициентами

решается в квадратных радикалах, то оно необходимо имеет рациональный корень, а потому будет приводимым, в самом деле, существование рационального корня а равносильно тому, что функция имеет рациональный множитель

Этому доказательству необходимо предпослать классификацию всех выражений, составленных из квадратных радикалов, — вернее сказать, всех выражений, составленных из конечного числа квадратных корней и рациональных чисел при помощи рациональных операций, например

где a, b, ..., f - рациональные числа. Мы здесь, естественно, имеем в виду только такие радикалы, в которых нельзя произвести точного извлечения корня. Эта классификация составляет важнейший пункт всего рассуждения.

Каждое выражение такого рода представляет собой рациональную функцию некоторого числа квадратных радикалов, в нашем примере трех. Мы обратимся прежде всего к одному из этих радикалов, который может иметь, впрочем, сколь угодно сложное строение. Под порядком такого радикала мы будем понимать число входящих в его состав и стоящих один внутри другого радикалов. Таким образом, в предыдущем выражении знаменателем служит радикал 3-го порядка, в числителе же первый радикал имеет порядок 2, второй — порядок 1.

В произвольном «квадратно-радикальном выражении» (т. е. выражении, составленном из квадратных радикалов) мы по этому правилу устанавливаем числа, выражающие порядки отдельных «простых квадратно-радикальных выражений», из которых уже составляется рационально все наше выражение и которые не сводятся к радикалам низшего порядка; наибольшее из этих чисел принимается за порядок всего выражения. В нашем примере Однако в состав нашего выражения может входить несколько «простых квадратно-радикальных выражений» порядка число их так называемое «число членов» квадратно-радикального выражения — мы обозначим через и примем за второе характерное число нашего выражения. При этом предполагается, что ни одно из этих простых квадратно-радикальных выражений порядка не выражается через остальные с помощью выражений низшего порядка.

Так, например, в выражении первого порядка

число радикальных членов есть 2, а не 3, потому что . В приведенном выше выражении а (3-го порядка) число членов равно 1.

Таким образом, каждому квадратно-радикальному выражению мы отнесли два числа , которые мы в виде символа будем называть характеристикой или рангом выражения. Из двух квадратно-радикальных выражений различного порядка мы припишем низший ранг тому, которое имеет низший порядок; из двух же выражений одинакового порядка мы припишем низший ранг тому, которое имеет меньше членов. Таким образом, выражениями самого низшего ранга являются те, которым соответствует порядок 0, т. е. рациональные числа.

Предположим теперь, что корень кубического уравнения (4) может быть выражен через квадратные радикалы, именно, может быть представлен выражением ранга . Выделяя один из членов порядка мы можем написать этот корень в виде

где каждое из выражений содежит уже не более членов порядка, a R — выражение порядка. С другой стороны, выражение во всяком случае, отлично от нуля, иначе радикал был бы равен 7/6, т. е. выражался бы рационально через остальные членов порядка, фигурирующих в выражении а потому был бы лишним радикалом, от него можно было бы освободиться. Мы можем поэтому умножить числитель и знаменатель дроби на и тогда получим

где Р и Q — рациональные функции от , а поэтому содержат не более членов порядка или же содержат только члены более низкого порядка; эти выражения имеют поэтому ранг не выше .

Если мы подставим это выражение в уравнение (4), то получим

Выполнив все возведения в степень, мы приведем это соотношение к виду

где М, N — полиномы, зависящие от Р, Q, R, т. е. рациональные функции от . Если бы N было отлично от нуля, то мы получили бы , т. е. этот радикал выражался бы рационально через , т. е. максимум через членов порядка и через члены порядка, но это, как мы уже указали выше, места иметь не может. Отсюда следует, что необходимо , а потому и Отсюда мы заключаем, далее, что и

есть корень нашего кубического уравнения; в самом деле, совершенно ясно, что

Но теперь доказательство быстро и очень любопытно заканчивается. Если третий корень уравнения, то, как известно,

Это выражение имеет тот же ранг, что и Р, т. е. низший, чем . Если уже есть рациональное число, то наша теорема доказана. В противном случае мы можем сделать этот корень точкой отправления того же рода рассуждений; тогда окажется, что более высокий ранг двух первых корней мог представлять собой только иллюзию, так как один из них, во всяком случае, должен иметь еще более низкий ранг, нежели

Продолжая это рассуждение, мы переходим от одного корня к другому и всякий раз убеждаемся, что корень должен быть ступенью ниже. Вследствие этого мы в конце концов необходимо должны прийти к корню порядка т. е. мы приходим к заключению, что наше уравнение третьей степени действительно имеет рациональный корень. Тогда мы уже не имеем возможности вести то же рассуждение дальше; два других корня в этом случае либо также должны быть рациональными, либо должны иметь вид , где Р, Q и R — рациональные числа. Но этим доказано, что функция разлагается на множители, из которых один первой, а другой — второй степени; это функция приводимая. Итак, никакое неприводимое уравнение третьей степени, — в частности, наше уравнение правильного семиугольника — не решается в квадратных радикалах. Этим доказано вместе с тем, что правильный семиугольник не может быть построен циркулем и линейкой.

Вы видите, как просто и наглядно проводится это доказательство, и как мало познаний оно, собственно, предполагает. Некоторые части доказательства, особенно рассуждения относительно классификации квадратно-радикальных выражений, требуют довольно серьезной математической абстракции. Я не берусь поэтому судить, можно ли это доказательство считать доказательством достаточно простым, чтобы убедить профанов, о которых шла речь выше, в тщетности их попыток найти элементарное решение задачи. Все же мне кажется, следует всякий раз делать попытку медленно и подробно разъяснить им доказательство.

В заключение я хочу еще привести некоторую литературу, относящуюся частью к вопросу о правильных многоугольниках, частью же к вопросу о выполнимости геометрических построений вообще. В первую очередь приходится указать опять на «Энциклопедию элементарной математики» Вебера и Велышейна, т. I (гл. XVIII и XX), затем могу указать недавно выпущенный в Болонье Энрикесом сборник под общим заглавием «Вопросы элементарной геометрии», который ориентирует вас в этих вопросах.

Этим я заканчиваю обзор вопросов, относящихся к теории чисел, оставляя последний из них — доказательство трансцендентности чисел — к концу лекций.

Мне остается рассмотреть последнюю ступень в деле расширения понятия числа.