6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций

Теперь я перейду, к рассмотрению другого метода решения наших нормальных уравнений, который харастеризуется систематическим привлечением трансцендентных функций.

Вместо того чтобы в каждом отдельном случае обращаться к разложению в ряд в окрестности известного решения, при применении этого метода стараются представить раз навсегда все удовлетворяющие уравнению пары значений как однозначные аналитические функции одной вспомогательной переменной или, как говорят, униформизировать уравнение. Если при этом удается применить такие функции, для которых легко можно составить таблицы значений или уже существуют числовые таблицы, то можно найти численное решение уравнения без новой вычислительной работы. Я тем охотнее говорю об этом применении трансцендентных функций, что в некоторых случаях оно имеет место и в школьном преподавании, причем там оно часто имеет неясный, почти мистический характер; причина заключается в том, что в школе держатся старых, несовершенных воззрений даже там, где современная теория функций комплексной переменной давно уже все выяснила.

Я подробно разовью эти замечания общего характера прежде всего на примере двучленного уравнения. Вам известно, что уже в школе постоянно вычисляют с помощью логарифмов положительное решение уравнения при положительном действительном , а именно, пишут уравнение в виде понимая под положительное главное значение логарифмической функции; сначала по таблице логарифмов находят это значение, затем вычисляют и, наконец по таблицам значений показательной функции (или по «обратно читаемым» таблицам логарифмов) находят z; впрочем, обыкновенно пользуются вместо основанием ). Этот прием можно перенести и на комплексные значения: чтобы удовлетворить уравнению

полагают понимая под этим общее значение комплексного логарифма, так что оказывается

При этом ввиду многозначности функции (позднее мы еще будем подробно говорить об этой функции) для одного и того же w получается как раз значений z.

Это называют униформизирующей переменной. Но наши таблицы содержат только действительные логарифмы положительных чисел, так что применить указанный прием непосредственно к численному решению уравнения невозможно. Но можно, пользуясь некоторыми простыми свойствами логарифмов, свести вычисление к употреблению всем доступных тригонометрических таблиц. В самом деле, положим

первый множитель как положительное действительное число имеет действительный логарифм, а второй множитель, модуль которого равен 1, имеет, как известно, чисто мнимый логарифм причем получается из уравнений

Таким образом, находим

так что искомый корень уравнения равен

Ввиду того, что в величину входит слагаемым произвольное целочисленное кратное число наша формула дает все значений корня. С помощью обыкновенных логарифмических и тригонометрических таблиц можно определить сначала по его синусу и косинусу, а затем по последней формуле и z. Мы получили здесь это тригонометрическое решение вполне естественным образом, исходя из логарифмов комплексных чисел; если же стоять на той точке зрения, что таких логарифмов не существует, и все же стараться получить это тригонометрическое решение — в школе следуют такому именно пути, — то оно должно казаться чем-то совершенно странным и непонятным.