Невозможность деления угла на три равные части.

В виде приложения мы можем теперь заняться решением одной уже раньше затронутой популярной математической проблемы, — а именно, задачи о делении любого угла на равных частей, в частности для — задачи о трисекции угла. Задача состоит в том, чтобы найти точное построение с помощью циркуля и линейки, которое давало бы деление любого угла на три равные части. Для целого ряда специальных значений угла легко можно найти такие построения. Я хочу познакомить вас с ходом мыслей в доказательстве невозможности трисекции угла в указанном смысле; при этом я прошу вас вспомнить доказательство невозможности построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. Как и в том доказательстве, мы сведем задачу к неприводимому кубическому уравнению и затем покажем, что его невозможно решить посредством одних только извлечений квадратного корня. Но только теперь в уравнение будет входить параметр — угол — тогда как раньше коэффициенты были целыми числами; в соответствии с этим теперь вместо числовой должна оказаться функциональная неприводимость.

Рис. 41

Чтобы получить уравнение, дающее запись нашей проблемы, представим себе, что на положительной полуоси действительных чисел построен угол (рис. 41); тогда его вторая сторона пересечет окружность радиуса 1 в точке

Наша задача сводится к тому, чтобы найти такое независимое от величины угла построение, состоящее из конечного числа операций с циркулем и линейкой, которое всякий раз давало бы точку пересечения этой окружности со стороной угла т. е. точку

Это значение z удовлетворяет уравнению

и аналитический эквивалент нашей геометрической задачи состоит в том, чтобы решить это уравнение посредством конечного числа извлечений квадратных корней из рациональных функций от ибо это суть координаты точки w, из которых мы должны исходить при нашем построении.

Прежде всего надо убедиться в том, что уравнение (3) неприводимо с точки зрения теории функций. Правда, это уравнение не вполне подходит под тот тип уравнений, который мы имели в виду в предыдущих общих рассуждениях: вместо рационально входящего комплексного параметра w здесь рационально входят две функции — косинус и синус — действительного параметра Мы назовем здесь многочлен приводимым при условии, что он распадается на многочлены относительно , коэффициенты которых тоже являются рациональными функциями от Можно дать критерий понимаемой в этом смысле приводимости, вполне подобный прежнему. А именно, если в равенстве (3) пробегает все действительные значения, то пробегает в то же время окружность радиуса 1 в плоскости w, которой в силу стереографической проекции соответствует экватор на сфере w. Линия, лежащая над этой окружностью на римановой поверхности уравнения и одновременно пробегающая все три листа, при помощи (3) взаимно однозначно отображается на окружность радиуса 1 сферы и поэтому может быть до некоторой степени названа его «одномерным римановым изображением». Ясно, что подобным образом можно для всякого уравнения вида построить такое риманово изображение; для этого нужно взять столько экземпляров окружностей с радиусом 1 и с длиной дуги сколько корней имеет уравнение, и скрепить их соответственно связности корней.

Далее заключаем совершенно подобно прежнему, что уравнение только тогда могло бы быть приводимым, если бы его одномерное риманово изображение распадалось на отдельные части, но в данном случае это не имеет места, и потому неприводимость нашего уравнения (3) доказана.

Прежнее доказательство того, что всякое кубическое уравнение с рациональными численными коэффициентами, разрешимое посредством ряда извлечений квадратного корня, является приводимым, может быть дословно перенесено на настоящий случай неприводимого в функциональном смысле уравнения (3); стоит только вместо слов «рациональные числа» говорить каждый раз «рациональные функции от После этого является вполне доказанным наше утверждение о том, что невозможно выполнить посредством конечного числа операций (с циркулем и линейкой) деление на три части произвольного угла таким образом, все старания людей, занимающихся трисекцией угла, обречены на вечную бесплодность!

Теперь перейдем к рассмотрению несколько более сложного примера.