3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве

Теперь перейдем к геометрической интерпретации умножения кватернионов в общем виде, предпослав ей следующее замечание.

Если в произведении заменить и q их сопряженными значениями , т. е. если изменить знаки при на обратные, то в формуле произведения скалярная часть останется без изменения, а в векторной части только неподчеркнутые множители при изменят свои знаки на обратные. Если же одновременно изменить и порядок множителей , q, то и подчеркнутые множители изменят знаки, так что представляет собой как раз сопряженное значение q: если , то

Перемножая оба равенства, находим

При этом порядок множителей играет существенную роль, но мы вправе применить сочетательный закон и написать

Но, как мы видели выше, так что окончательно получаем

Здесь второй множитель в правой части есть скаляр, а при умножении скаляра М на кватернион имеет силу переместительный закон, так как

Поэтому в данном случае

а так как есть квадрат модуля кватерниона , то

другими словами: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей обоих сомножителей.

Конечно, эту формулу можно получить и непосредственным вычислением, если подставить вместо их выражения из формулы умножения на с. 93.

Теперь будем интерпретировать кватернион q как направленный отрезок в пространстве четырех измерений, идущий от начала координат к точке х, у, z, w, вполне аналогично интерпретации вектора в трехмерном пространстве. В настоящее время не приходится, конечно, извиняться, когда призываешь на помощь четырехмерное пространство, как то было необходимо в то время, когда я был студентом. Все вы знаете, что здесь не скрывается никакой метафизической идеи, а многомерное пространство попросту есть удобное аналогичное нашему действительному представлению о пространстве средство математического способа выражения 74).

Если сохранять постоянным множитель , т. е. величины d, а, b, с, то уравнение в кватернионах q описывает некоторое линейное преобразование точек у, z, w четырехмерного пространства в точки относя каждому четырехмерному вектору некоторый другой вектор; в явном виде уравнения преобразования получаются путем сравнения коэффициентов в формуле произведения на с. 93. Но из только что полученного соотношения для модулей видно, что при этом расстояние всякой точки от начала умножается на один и тот же постоянный множитель кроме того, как мы видели, определитель линейного преобразования всегда имеет положительное значение. С другой стороны, из аналитической геометрии в трехмерном пространстве известно, что линейное преобразование у, z, которое преобразует сумму в себя (так называемое «ортогональное» преобразование) и которое, кроме того, имеет положительный определитель, изображает поворот пространства вокруг начала координат и что всякий поворот может быть так представлен. Если же линейное преобразование умножает на некоторый множитель и определитель по-прежнему имеет положительное значение, то получается поворот в соединении с растяжением всего пространства до Г-кратных размеров при неподвижном начале координат.

Такого рода преобразование мы будем называть поворотным растяжением. Сказанное справедливо не только для трехмерного пространства, но и для четырехмерного. Мы будем говорить, что наше линейное преобразование в точно таком же смысле выражает поворот и растяжение четырехмерного пространства.

Однако нетрудно видеть, что это еще не самый общий случай возможных преобразований поворотного растяжения. Действительно, наше преобразование содержит только четыре произвольных параметра а, b, с, d, тогда как мы сейчас увидим, что самое общее преобразование поворотного растяжения четырехмерного пространства содержит семь таких параметров. А именно, чтобы общее линейное преобразование изображало поворотное растяжение, необходимо должно иметь место следующее тождество:

это дает нам при сравнении коэффициентов 10 условий, так как левая часть после замены их выражениями через переходит в квадратичную форму четырех переменных и поэтому содержит членов. Но так как Т остается произвольным, то, всего имеем условий для 16 коэффициентов линейного преобразования, так что действительно остается еще произвольных параметров.

Но оказывается возможным — и это наиболее удивительно — получить с помощью перемножения кватернионов наиболее общий вид преобразования поворотного растяжения. А именно, если — некоторый постоянный кватернион, то можно показать подобно тому, как это было сделано выше, что и (что отличается от предыдущей формулы только изменением порядка сомножителей) представляет преобразование поворотного растяжения четырехмерного пространства а вследствие этого и последовательное выполнение обоих преобразований:

дает такое же преобразование.

Но это преобразование содержит как раз семь произвольных параметров, так как оно остается неизменным, если а, b, с, d умножить на одно и то же действительное число и в то же время разделить на это же число; поэтому представляется вероятным, что это — общий вид преобразований поворотного растяжения в пространстве четырех измерений; эта красивая теорема действительно была доказана Кэли. Я ограничусь здесь этими историческими указаниями, чтобы не затеряться в деталях этой интерпретации. Указанная формула находится в работе Кэли 1854 г.

Другое большое преимущество формулы Кэли заключается в том, что она дает весьма наглядное представление о результате последовательного выполнения двух поворотных растяжений. Действительно, если еще одно такое преобразование дано уравнением

где некоторые заданные кватернионы, то, подставляя указанное выше значение q, получаем

на основании сочетательного закона умножения находим

где

Получается снова выражение поворотного растяжения, переводящего q в , как раз в прежнем виде, а именно, левым и правым множителями при q служат произведения обоих левых и соответственно правых множителей в выражениях последовательно производимых поворотных растяжений (причем порядок играет существенную роль).

Но вы, может быть, недовольны этой четырехмерной интерпретацией и хотите что-либо более наглядное, основанное на обычном трехмерном представлении о пространстве.

В таком случае посредством простой специализации я постараюсь получить из предыдущих формул формулы для аналогичных операций в трехмерном пространстве; в этих именно формулах и заключается громадное значение умножения кватернионов для обыкновенной физики и механики} я говорю нарочно — для обыкновенной, чтобы не предрешать дальнейшего развития этих дисциплин, благодаря которому могут получить непосредственное приложение и предыдущие интерпретации. И это время, может быть, ближе, чем вы думаете; новейшие исследования в теории электронов в том виде, в каком они находят себе выражение в так называемом принципе относительности, представляют собой, в сущности, на что иное, как последовательное применение поворотных растяжений пространства четырех измерений," в этом именно порядке идей эти исследования и были недавно изложены проф. Минковским.

Во всяком случае понятие о вращении с растяжением в четырехмерном пространстве 4 находится в самой тесной связи с основаниями «принципа относительности» в электродинамике, который вот уже несколько лет самым живым образом занимает физиков. А именно как я вкратце покажу — те «преобразования Лоренца», на изучении которых основаны исследования, относящиеся к «принципу относительности», представляют не что иное, как поворот некоторого пространства и могут быть даже представлены самым удобным образом с помощью формул исчисления кватернионов.

Как известно, под преобразованием Лоренца понимают такую линейную однородную подстановку (с действительными коэффициентами) трех координат в пространстве х, у, z и времени t:

которая преобразует квадратичную форму (где с есть скорость света) в себя, так что

и у которой последний коэффициент

При этом ради краткости не принято во внимание могущее иметь место смещение начальной точки

Оказывается, что в исчислении кватернионов легко можно указать такую подстановку, которая удовлетворяет условию (2), если только на первое время оставить без внимания требование действительности коэффициентов и неравенство (3). Для этого нужно рассматривать такие кватернионы, компонентами которых являются не действительные, а обыкновенные комплексные числа, образованные с помощью обыкновенной мнимой единицы (которую следует, конечно, отличать от специальных единиц исчисления кватернионов ). Заметим прежде всего, что кватернионы

имеют своими модулями квадратные корни из квадратичных форм (2). Поэтому можно точно так же, как выше , доказать, что формула

описывает линейную подстановку, удовлетворяющую условию (2), если — произвольные кватернионы с комплексными коэффициентами, а М — квадратный корень из произведения их модулей.

Чтобы получить действительные коэффициенты и удовлетворить условию (3), надо в качестве взять специально подобранные сопряженные кватернионы, получаемые следующим образом.

Пусть — восемь действительных величин, связанных равенством

и неравенством

Тогда мы положим

Формулы (I) совместно с условиями (II) дают запись всех преобразований Лоренца.

Сам Минковский, впрочем, пользуется в своих работах вместо исчисления кватернионов символикой матриц Кэли, которая позволяет наряду с преобразованиями Лоренца получить инварианты группы Лоренца.

Но вернемся к трем измерениям. При поворотном растяжении точка х, у, z переходит в такую точку х, что

где М обозначает линейное растяжение длин. Ввиду того, что наиболее общее линейное преобразование переменных содержит коэффициентов, а левая часть после подстановки этих выражений переходит в квадратичную форму от членами, наше тождество при произвольном М представляет условий, и все линейные подстановки, удовлетворяющие ему, содержат еще произвольных параметра аналогичные рассуждения на с. 101). Если некоторая из этих подстановок имеет положительный определитель, то она изображает, как уже было упомянуто, поворот пространства около начала, соединенный с растяжением; если же определитель имеет отрицательное значение, то подстановка соответствует такому же поворотному растяжению, сопровождаемому центральной симметрией пространства, определяемой равенствами . С другой стороны, можно показать, что этот определитель может принимать только значения

Чтобы описать эти факты с помощью кватернионов, мы прежде всего будем считать, что у переменных кватернионов q, q отсутствует скалярная часть, т. е. они сводятся лишь к векторной части: это — векторы, соединяющие начало координат с точкой и ее образом, полученным после преобразования.

И вот я утверждаю, что наиболее общее преобразование трехмерного пространства, представляющее собой поворотное растяжение, получится, если взять в предыдущих формулах для и сопряженные значения, т. е. если положить

(1)

или, выписывая подробно,

Чтобы это доказать, надо прежде всего убедиться в том, что скалярная часть произведения, стоящего справа, обращается в нуль и что, следовательно, q действительно есть вектор. Для этого перемножим сперва по правилам умножения кватернионов:

после вторичного перемножения кватернионов действительно получается для скалярной части q значение 0, а для его трех векторных составляющих получаются выражения

Остается показать, что эти формулы действительно выражают требуемое преобразование. Это сразу получается, если в равенстве (1) перейти к модулям (см. с. 100):

или

где Т — модуль кватерниона . Далее, мы сразу видим, что наша формула действительно содержит четыре произвольных параметра, которые, согласно предыдущим вычислениям, входят в состав наиболее общего преобразования этого вида.

Чтобы решить также и вопрос о знаке определителя, достаточно взять один какой-нибудь пример; действительно, так как Т всегда имеет положительное значение и никогда не обращается в нуль, то при изменении значений а, b, с, d определитель как непрерывная функция никогда не может принять значения если он хоть раз принимает значение , а между тем только эти два значения, как выше было замечено, и будут рассматриваться. Если же, например, положить то определитель подстановки (2) равняется,

следовательно, он имеет всегда положительное значение, и поэтому наше преобразование, выражаемое соотношением (1), в самом деле изображает всегда поворотное растязюение. После этого столь же просто изобразится поворотное растяжение, соединенное еще с отражением-, для этого надо лишь написать , ибо это и есть соединение предыдущего преобразования с центральной симметрией

Теперь посмотрим, как расположена ось того поворота, который определяется равенствами (2), и каков угол поворота. Пусть — направляющие косинусы оси поворота, так что

а угол поворота обозначим через со. Оказывается, что имеют место следующие соотношения:

из них легко определить при известных а, b, с, d четыре величины и притом так, что выполняется соотношение (3); в самом деле, из соотношения

получаемого из (4) возведением в квадрат и сложением, вытекает соотношение (3), так как Т — модуль кватерниона .

Поэтому для определения достаточны получающиеся из системы (4) уравнения

которые говорят, что точка лежит на оси рассматриваемого поворота.

Переходя к доказательству этих утверждений, начнем с проверки последнего свойства; для этого положим в уравнениях тогда получим

из этих равенств видно, что точка лежит на прямой, проходящей через начало координат и через точку а это именно и характеризует точку как точку оси вращения. Остается только доказать, что число , определяемое из соотношений (4), действительно представляет собой угол вращения. Но это требует сложных рассуждений, вместо которых я укажу на то, что наши формулы преобразования (2) при в силу соотношения (4) переходят как раз в те формулы, которые Эйлер установил для поворота системы координат вокруг оси на угол .

Я хочу еще показать вам сжатое и удобное выражение, которое дает исчисление кватернионов для поворота вокруг оси на угол со, соединенного с растяжением в раз; это выражение получается, если подставить формулы (4) в уравнения (1):

Здесь все эйлеровы формулы поворота совмещены в одну, которая легко запоминается: в ней вектор

Слева и справа умножается на сопряженные кватернионы с модулем 1 (так называемые версоры, или «вращатели») и к этому произведению присоединяется в качестве скалярного множителя величина растяжения.

Теперь я намерен показать вам, что в случае двух измерений эти формулы дают как раз известное выражение поворота и растяжения плоскости посредством умножения двух комплексных чисел. Для этого стоит только принять за ось вращения в уравнениях (5) ось тогда при получаем

произведя умножение на основании правил умножения единиц, находим

Если обе части полученного равенства умножить справа на то получим

а это и есть известная формула умножения двух обыкновенных комплексных чисел с его геометрическим истолкованием как поворота на угол со и растяжения в раз с той только разницей, что вместо мнимой единицы обычно обозначаемой через здесь стоит

Возвращаясь снова к трехмерному пространству, постараемся так видоизменить формулу (1), чтобы она изображала собой один только поворот без растяжения.

Для этого заменим через и, следовательно, q через вспоминая же, что находим следующую формулу:

Мы не нарушим общности, если будем принимать в этой формуле за кватернион с модулем 1: ; поэтому формула (6) может быть получена из уравнений (5), если принять Т равным единице. В этом виде формула впервые была дана Кэли в 1845 г.

Последовательное проведение двух поворотов в трехмерном пространстве столь же просто, как и в случае четырехмерного пространства Если дан второй поворот

где

( оси, угол), то снова находим в качестве записи получающегося поворота

так что оси и угол поворота получаются из равенства

Таким образом, мы снова получаем для композиции двух поворотов простое и сжатое выражение формул, довольно сложных в их обычном виде. Но, с другой стороны, — ввиду того, что всякий кватернион, не считая некоторого действительного множителя (его модуля), можно в то же время рассматривать как версор некоторого поворота — мы имеем в композиции поворотов простой геометрический эквивалент умножения кватернионов, некоммутативность произведения кватернионов соответствует при этом тому известному обстоятельству, что вообще нельзя менять порядка двух поворотов вокруг одной точки без изменения окончательного результата.

В заключение я приведу несколько общих соображений о значении и распространении кватернионов. При этом следует, конечно, отличать собственно умножение кватернионов от общего исчисления кватернионов. Первое представляет собой нечто в высшей степени полезное, как достаточно видно из предыдущего. Напротив, общее исчисление, как его понимал Гамильтон, рассматривает сложения, умножения, деления кватернионов в любом порядке, — другими словами, оно составляет алгебру кватернионов; соединяя инфинитезимальные процессы, можно дойти даже до теории функций в области кватернионов. Конечно, ввиду того, что переместительный закон здесь не имеет места, все обстоит здесь совершенно иначе, чем в теории обыкновенных комплексных переменных. Но есть полное основание утверждать, что эти общие, широко задуманные идеи Гамильтона не оправдали себя, т. е. они не вошли в соприкосновение и в живой обмен идей с другими областями математики и ее приложений и потому не вызвали общего интереса.

Но в математике приходится наблюдать то же, что и в человеческой жизни: наряду со спокойными, объективными взглядами большинства выступают страстные индивидуальные убеждения. Так и кватернионы имеют своих приверженцев-энтузиастов и своих страстных противников. Первые, особенно многочисленные в Англии и в Америке, прибегли — вот уже 12 лет — к современному средству: они основали «Всемирный союз для развития учения о кватернионах»: президентом его состоял сэр Роберт Болл, а основано оно в качестве вполне интернационального учреждения японцем Кимурой, получившим высшее образование в Америке. От интенсивного изучения кватернионов их сторонники ожидают совершенно особенного преуспевания математики. В противоположность этому противники кватернионов не хотят о них и слышать и вследствие этого отказываются даже от столь полезного умножения: они исходят из того взгляда, что все вычисления с кватернионами сводятся в конечном счете к вычислению с четырьмя составляющими и что единицы и таблица их произведений представляют излишнюю роскошь. Я думаю, что оба направления одинаково далеко отклонились от правильного среднего пути.