4. Точка зрения современной теории функций

В дальнейшем изложении мы заменим у и х комплексными переменными

1. Логарифм определяется посредством интеграла

причем путем интегрирования может служить любая кривая в комплексной плоскости , идущая от точки к точке (рис. 59).

2. В зависимости от того, обходит ли путь интегрирования вокруг точки один раз, два раза,... или же не обходит вовсе, интеграл принимает бесконечно много различных значений, так что представляет собой бесконечнозначную функцию. Определенное значение — так называемое главное значение — получится, если разрезать плоскость, например, вдоль полупрямой отрицательных действительных чисел и установить, что путь интегрирования не должен переходить через этот разрез. Произвольным остается при этом только то, желаем ли мы получать логарифмы отрицательных действительных значений, подходя к линии разреза сверху или снизу; соответственно этому логарифм получает чисто мнимую часть или — Из главного значения общее значение лога рифма получается прибавлением произвольного целочисленного кратного числа

Рис. 59

3. Из определения логарифма с помощью интеграла следует, что обратная ему функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

на основании которого можно сразу составить разложение функции в степенной ряд:

Так как этот ряд сходится для всякого конечного значения w, то отсюда можно заключить, что обратная функций однозначна, имеет только одну особую точку и, таким образом, представляет собой целую трансцендентную функцию.

4. Совершенно так же, как и в случае действительной переменной, из определения при помощи интеграла можно вывести теорему сложения для логарифма, из которой для обратной функции вытекает функциональное уравнение

Точно так же из соотношения (2) получаем

другими словами, представляет собой простую периодическую функцию с периодом

5. Положим Тогда из соотношения (3) следует, что для каждого рационального значения число равно одному из значений определенных обычным образом:

Принято — и мы тоже присоединимся к этому обычаю — обозначать через всегда именно это значение так что обозначает вполне определенную однозначную функцию, а именно ту, которая определена в п. 3.

6. Какую же функцию надо понимать в наиболее общем смысле под степенью при произвольном основании b? Определения должны быть даны таким образом, чтобы сохранились формальные правила возведения в степень. Если, таким образом, чтобы свести к только что определенной функции мы положим b равным где имеет бесконечно много значений:

то с необходимостью получаем

а это дает при различных значениях k бесконечно много функций, среди которых нет равных.

Таким образом, мы приходим к тому замечательному результату, что значения показательного выражения общего вида получаемые посредством процессов возведения в степень и извлечения корня, принадлежат отнюдь не одной и той же функций, а бесконечно многим различным функциям от w, каждая из которых однозначна.

Значения этих функций находятся, конечно, в различных отношениях между собой. В частности, все они равны между собой, если w есть целое число; если же w есть рациональная дробь вида , где — взаимно простые числа, то среди них существует только конечное число, а именно, различных значении; это — значения для таким образом, как оно и должно было быть, это все значений корня

7. Лишь теперь мы можем вполне понять, до какой степени нецелесообразна обычная система школьного изложения, которая хочет, исходя из возведения в степень и извлечения корней, подойти к однозначной показательной функции; этим она попадает в лабиринт, из которого не может найти выхода с помощью одних своих так называемых «элементарных» средств, обязывая себя к тому же не выходить за пределы области действительных чисел. Вам станет это вполне ясно, если вы теперь на основании приобретенного общего взгляда сообразите, как обстоит дело при отрицательном b. Я должен еще указать здесь на то, что теперь мы действительно можем понять целесообразность того определения главных значений, которое раньше казалось нам произвольным см. с. 207): оно дает исключительно значения одной из наших бесчисленных функций, а именно, значения функции

В противоположность этому отрицательные действительные значения величины при четном , которые тоже образуют всюду плотное множество, принадлежат совершенно разным из наших бесчисленных функций, и поэтому взятые вместе они не могут составить одну непрерывную аналитическую кривую.

Теперь я хочу добавить еще несколько более глубоких замечаний относительно природы логарифма с точки зрения теории функций. Так как функция при каждом обходе около точки испытывает приращение то соответствующая ей риманова поверхность с бесконечным числом листов должна иметь в этом месте точку ветвления бесконечного порядка, а именно, такую точку ветвления, что при каждом обходе около нее происходит переход от одного листа к следующему; заменяя плоскость сферой, нетрудно убедиться в том, что точка представляет собой вторую точку ветвления поверхности (такого же рода), а других точек ветвления нет. Теперь мы можем наглядно представить себе то, что называют униформизующей силой логарифма, о которой мы уже упоминали по поводу решения алгебраических уравнений (с. 191-192). Если имеется рациональная степень то в силу тождества она является однозначной функцией или, как говорят, она униформизуется логарифмом.

Рис. 60

Чтобы понять это, представим себе на плоскости, кроме римановой поверхности логарифма, еще и риманову поверхность функции это -листная поверхность, точками ветвления которой также являются причем в каждой из них сходятся циклически все листов. Если представить себе в плоскости такой замкнутый путь, что на нем логарифм возвращается к своему первоначальному значению, — так что этот путь является замкнутым и на бесконечно многолистной поверхности логарифма, — то легко видеть, что он должен оставаться замкнутым и в том случае, если перенести его на -листную поверхность (рис. 60). Из этих геометрических соображений мы заключаем, что возвращается к своему начальному значению всякий раз, как возвращается к своему значению функция и что поэтому действительно униформизуется логарифмом.

Я тем охотнее делаю эти краткие указания, что здесь мы имеем простейший случай проблемы униформизации, играющей столь большую роль в современной теории функций.

Теперь постараемся лучше представить себе природу функциональной зависимости при помощи рассмотрения конформного отображения плоскости z (или соответственно римановой поверхности) на плоскость Чтобы не слишком удаляться в сторону, мы откажемся от рассмотрения соответствующих сфер, что само по себе являлось бы, конечно, более предпочтительным, а будем вести рассмотрения в плоскости. Разделим, как мы это делали выше, плоскость z осью действительных чисел на заштрихованную (верхнюю) и незаштрихованную полуплоскости; каждая из них должна дать в плоскости бесконечное множество областей, так как имеет бесконечное число значений, и все эти области должны, примыкая друг к другу, заполнить плоскость w, ибо обратная функция однозначна.

Рис. 61

Здесь получается разбиение плоскости w на параллельные полосы шириною , образуемые прямыми, параллельными оси действительных чисел; эти полосы следует попеременно заштриховать и оставить чистыми (первая полоса сверху от действительной оси w заштрихована); соответственно этому они представляют собой попеременно конформные образы верхней и нижней полуплоскостей, в то время как пограничные параллели соответствуют частям действительной оси z (рис. 61). Что же касается подробностей этого соответствия, то замечу здесь только, что всегда приближается к нулю, когда w удаляется в бесконечность влево, оставаясь внутри одной и той же полосы; между тем z удаляется в бесконечность, если уходит в бесконечность вправо; представляет собой существенно особую точку обратной функции

Я бы хотел указать еще на связь этого с теоремой Пикара — одной из самых интересных в новейшей теории функций. Пусть означает целую трансцендентную функцию, т. е. такую функцию, которая имеет только одну существенно особую точку, а именно в точке (например ). Вопрос заключается в том, имеются ли и в каком именно числе такие значения z, которых не принимает ни при одном конечном (т. е. расположенном на конечном расстоянии) значении да, но к которым только приближается, если w надлежащим образом удаляется в бесконечность. Теорема Пикара и состоит в том, что для каждой функции может быть самое большее два таких различных значения, которых она не принимает в окрестности существенно особой точки, и что, следовательно, целая трансцендентная функция, кроме значения которого она не достигает, не принимает еще самое большее одного значения. Так, дает пример функции, которая действительно, кроме не принимает еще одного значения, а именно ибо хотя в каждой из параллельных полос нашего деления и приближается при указанных предельных переходах к обоим этим значениям 0 и но ни в одной конечной точке не становится равной им. Пример функции, которая не принимает только одного значения представляет .

В заключение я хочу с помощью этих геометрических средств выяснить еще один вопрос, которого я уже несколько раз касался, это — предельный переход от степени к показательной функции, который задается формулой

или, полагая

Рассмотрим с этой целью функцию в том виде, в каком она представляется до предельного перехода:

Для нее «замечательными точками» служат в которых основание становится равным нулю и соответственно Эта функция отображает конформным образом полуплоскости переменной f на секторы плоскости w, имеющие общую вершину в точке и угловой раствор (рис. 62); если v не равно целому числу, то последовательность этих секторов может покрывать плоскость w конечное или бесконечное число раз в соответствии с той многозначностью, которою обладает в этом случае Если v становится бесконечно большим, то общая вершина секторов отодвигается влево в бесконечность, и вполне понятно, что секторы, расположенные справа от , переходят при этом в параллельные полосы плоскости w, соответствующие предельной функции это дает геометрическое разъяснение указанного определения функции посредством предела; с помощью несложного вычисления можно убедиться и в том, что ширина секторов у точки переходит при этом в ширину полос.

Рис. 62

Но тут сейчас же появляется сомнение следующего рода: если позволить v возрастать до бесконечности, соответствуют многолистные поверхности; как же рациональные и иррациональные значения, для которых функция становится многозначной и которым соответствуют многочисленные поверхности; как же могут последние перейти в простую плоскость, принадлежащую однозначной функции . Если, например, v переходит в бесконечность, принимая одни только дробные значения со знаменателем , то каждая функция имеет риманову поверхность с листами. Чтобы проследить за этим процессом, обратимся на одну минуту к сфере w; для каждой функции она покрыта листами, которые встречаются в точках ветвления и предположим, что сечение ветвления проходит вдоль меньшей дуги прямой, соединяющей эти точки (рис. 63).

Когда v уходит в бесконечность, точки ветвления сближаются и сечение ветвления исчезает: этим уничтожается тот мост, вдоль которого листов переходили друг в друга, и получаются отдельных листов и соответственно им различных однозначных функций; наша функция представляет только одну из них. Если же предоставить v пробегать все действительные значения, то получаются вообще поверхности с бесконечным числом листов, связь которых прекращается в предельном положении; на одном из листов каждой такой поверхности значения стремятся в пределе к совпадению со значениями однозначной функции которая расположена на простой сфере, между тем как последовательности значений на других листах, вообще говоря, не стремятся ни к каким предельным значениям. Этим вполне выясняется довольно сложный и замечательный предельный переход от многозначной степени к однозначной показательной функции.

Рис. 63

Общую мораль всех этих рассуждений можно, пожалуй, видеть в том, что полное понимание сущности подобных проблем возможно только при переходе в комплексную область. Не является ли это достаточным основанием для того, чтобы и в школе изучать теорию комплексных функций? Макс Симон, например, действительно выставляет подобные требования. Но я не думаю, чтобы возможно было дойти до этого со средними учениками даже в последнем классе, и уже по одному этому я полагаю, что следует отказаться в преподавании от появляющейся здесь методики алгебраического анализа в пользу развитого выше простого и естественного пути. Конечно, мне представляется тем более желательным, чтобы учитель вполне владел всеми играющими здесь роль сведениями из теории функций, ибо он должен стоять достаточно высоко над тем материалом, который ему приходится излагать, и должен в точности знать все те подводные скалы и мели, среди которых он проводит своих учеников.

После этих рассуждений мы сможем быть гораздо более краткими при изложении учения о тригонометрических функциях.