3. Некоторые замечания о школьном преподавании

Несомненно — хотя и удивительно, — что это современное развитие идей, по существу, прошло совершенно бесследно для характера школьного преподавания, на что я уже неоднократно указывал. Там — в школе — и по сей день обходятся с помощью алгебраического анализа, несмотря на все трудности и несовершенства последнего, избегая всякого применения исчисления бесконечно малых, хотя страх XVIII в. перед последними давно уже потерял всякий смысл. Причину указанного явления приходится искать в том, что с самого начала XIX в. преподавание математики в школе и идущее вперед научное исследование потеряло всякое соприкосновение между собой, и это представляется тем более удивительным, что как раз в первые десятилетия этого же столетия вообще впервые начинается специальная подготовка кандидатов в преподаватели математики. Я указывал уже во «Введении» на этот разрыв, который долгое время имел здесь место и препятствовал какой-либо реформе школьной традиции. Средняя школа всегда очень мало заботилась о том, как высшая школа будет строить свое здание на основах, даваемых ей средней школой, и часто довольствовалась такими определениями, которые, быть может, и были достаточны для ее целей, но оказывались несостоятельными перед лицом более серьезных требований. С другой же стороны, и высшая школа часто совершенно не дает себе труда точно примыкать к тому, что дано в средней школе; вместо этого она строит совою собственную систему, лишь изредка сокращая свой труд не всегда даже подходящим указанием: «это вы уже имели в школе».

В противоположность этому интересно заметить, что те преподаватели высшей школы, которым приходится читать лекции для более широких кругов — для естественников и для техников, — сами собой пришли в своей практике к способу введения логарифмов, совершенно подобному тому, который я здесь рекомендую.

Так, Жюль Таннери в своих «Элементах математики» определяет с самого начала логарифм посредством площади гиперболы. Такой способ изложения представляет собой точное и последовательное проведение точки зрения «высшей» математики. Включение в преподавание определения Непера — Бюрги при постоянной иллюстрации на конкретных примерах рекомендует, например, Коппе в своей упомянутой выше программе 1893 г.

Рис. 58

Я хочу теперь еще раз в нескольких словах резюмировать, как мне представляется введение логарифма в школе по этому простому и естественному способу. Основным принципом должно быть признание квадратуры уже известных кривых правильным источником для введения новых функций. Это, как я показал, соответствует, с одной стороны, историческому положению вещей, а с другой, методу, применяемому в высших частях математики (сравните, например, эллиптические функции). Следуя этому общему принципу, надо исходить из гиперболы и назвать логарифмом число, измеряющее площадь, которая содержится между кривой и осью абсцисс, а с боков ограничена ординатами 1 и (рис. 58). Передвигая вторую ординату, можно легко на основании геометрической интуиции составить себе качественное представление об изменении этой площади при изменении последовательно, приблизительно построить кривую

Чтобы возможно более просто получить функциональное уравнение логарифма, можно, например, исходить из равенства

которое получается при преобразовании переменных интегрирования; это равенство говорит, что площадь, заключенная между ординатами 1 и равна площади, заключенной между ординатами с и в с раз более удаленными от начала. Этот факт легко сделать весьма наглядным геометрически, если обратить внимание на то, что величина площади должна оставаться неизменной, если передвигать ее под гиперболой и в то же время растягивать в такой же мере, в какой уменьшается высота. Но из этой теоремы вытекает непосредственно теорема сложения!

Мне бы очень хотелось, чтобы возможно скорее попробовали применить этот путь в школьной практике) решение вопроса о том, как должны быть построены детали этого изложения, следует, конечно, предоставить опытному преподавателю. Впрочем, в меранской программе мы еще не решались предложить этот путь в виде нормы.

Наконец, мы должны еще получить ориентировку в вопросе о том, как складывается наша теория, если мы становимся на точку зрения теории функций; это даст нам также полное освещение всех трудностей, затронутых ранее.