2. Теорема Тейлора

Обращаясь к этому вопросу, я отклонюсь от изложения, обычно принятого в учебниках, в том же направлении, как и выше в главе о тригонометрических рядах; а именно, на первый план я поставлю конечный ряд, важный в практическом отношении, и наглядное выяснение всего материала при помощи чертежей. Благодаря этому все приобретает вполне элементарный характер и становится весьма понятным.

Параболы, соприкасающиеся с данной кривой.

Я исхожу из такого вопроса: нельзя ли приближенно изобразить ход любой кривой y = f(x) на некотором ее протяжении при помощи других возможно более простых кривых. Проще всего было бы заменить кривую в окрестности точки касательной к ней В этой точке (рис. 103)

так именно и поступают в физике и других приложениях всякий раз, когда при разложении функций в ряд сохраняют только первые степени независимой переменной, а остальные отбрасывают.

Можно получить подобным же образом еще лучшие приближения, если воспользоваться параболами второго, третьего, порядка

или, выражаясь аналитически, многочленами высших степеней; применение их особенно целесообразно по той причине, что их удобнее всего вычислять. Мы будем так проводить эти кривые, чтобы они примыкали как можно теснее к данной кривой в точке х = а, т. е. будем брать соприкасающиеся параболы. Так, например, парабола второго порядка будет иметь с кривой не только общую ординату, но и одинаковые первую и вторую производные (т. е. будет «соприкасаться» с нею); у кубической параболы также и третья производная будет совпадать с третьей производной функцией Простое вычисление дает для соприкасающейся параболы порядка такое аналитическое выражение:

а это как раз первые членов ряда Тейлора.

Исследование вопроса о том, представляют ли эти многочлены годные к употреблению приближенные кривые, и если представляют, то в какой именно форме, — это исследование мы начнем с рассуждений скорее опытного характера, как и в случае тригонометрических рядов (с. 272-285). Я могу показать вам несколько чертежей соприкасающихся парабол первых порядков для некоторых простых кривых, которые изготовил Шиммак. Это, прежде всего, следующие четыре функции вместе с их соприкасающимися параболами в точке 0;

Рис. 103

все они имеют при особую точку (рис. 104—107):

Чем выше порядок соприкасающихся парабол, тем больше они приближаются к оригинальной кривой в интервале но замечательно, что справа от они отклоняются от кривой вверх или вниз тем сильнее, чем выше их порядок.

Рис. 104

Рис. 105

В особой точке , в которой функции 1,3,4 становятся бесконечно большими, ординаты последовательных соприкасающихся парабол принимают все большие и большие значения. Во втором же случае, в котором кривая, изображаемая оригинальной функцией, имеет в точке вертикальную касательную и не имеет продолжения влево от этой точки, последовательные параболы, хотя и продолжаются влево от точки , но все более и более приближаются в ней к оригинальной кривой, все круче и круче опускаясь вниз.

В симметрично расположенной точке в первых двух случаях параболы примыкают все ближе и ближе к оригинальным кривым; в третьем случае их ординаты попеременно равны единице и нулю, а ордината оригинальной кривой равна у; в четвертом случае параболы получают попеременно положительные и отрицательные значения, возрастающие до бесконечности.

Рис. 106

Рис. 107

Кроме того, у меня здесь имеются чертежи соприкасающихся парабол для двух целых трансцендентных функций (рис. 108 и 109):

Рис. 108

Вы видите, что протяжение, на котором соприкасающиеся параболы представляют годные приближения к оригинальной кривой, становится тем больше, чем выше их порядок. В случае функции особенно ясно видно, как параболы стараются все больше и больше подражать колебаниям синусоиды.

Замечу, это вычерчивание подобных кривых для наиболее простых случаев представляет, пожалуй, подходящий материал и для школы.