3. Логические основы теории целых чисел

Если в деле школьного преподавания мы, естественно, не можем дойти до постановки тонких и трудных вопросов, то в современном математическом исследовании серьезные вопросы здесь, собственно, и возникают: как обосновать эти законы, как обосновать понятие числа? Здесь я намерен ориентировать вас в этом вопросе, оставаясь верным цели настоящего сочинения — осветить материал школьного преподавания с высшей точки зрения, и я делаю это тем охотнее, что эти современные идеи и помимо того проникают к вам со всех сторон в течение ваших академических занятий, между тем как психологическая сторона этого дела обычно не оговаривается в той мере, в какой это необходимо.

Что касается, прежде всего, самого понятия числа, то корни его в высшей степени трудно вскрыть. Легче всего дышится, быть может, тогда, когда решаешься вовсе оставить в стороне эти трудные вещи. За более подробными указаниями относительно этих вопросов, очень усердно обсуждаемых философами, вы вновь должны обратиться к соответствующей статье «Энциклопедии математических наук»; здесь же я ограничусь немногими замечаниями. Очень распространена точка зрения, что понятие числа тесно связано с понятием последовательности во времени. Из представителей этого воззрения назову из философов Канта, из математиков Гамильтона. Другие, напротив, полагают, что понятие числа стойт ближе к пространственным представлениям, они сводят понятие числа к одновременному созерцанию различных предметов, находящихся в пространстве друг подле друга.

Наконец, третье направление усматривает в представлении о числе выражение особой способности нашего духа, независимо стоящей рядом с нашими представлениями о пространстве и времени, а может быть, и выше их. Я полагаю, что эта точка зрения хорошо выражается цитатой из «Фауста», которую Г. Минковский приводит относительно чисел в сообщении о новом его сочинении «Диофантовы приближения».

Если в этой задаче мы имеем дело более с вопросами теории познания и психологии, то в проблеме об обосновании наших одиннадцати законов мы стоим существенно перед вопросом логики.

Мы здесь будем различать четыре точки зрения.

1. Первая точка зрения, представителем которой я могу назвать Канта, смотрит на правила действий как на непосредственный результат созерцания (Апfchauung), причем это слово в наиболее широком его значении нужно понимать как «внутреннее созерцание» или интуицию. Впрочем, этот взгляд отнюдь не сводится к тому, что вся математика опирается на экспериментально контролируемые факты грубого внешнего опыта. Приведем простой пример. Закон переместительный доказывается ссылкой на приведенную здесь фигуру (рис. 1), в которой соединены две строки по три точки в каждой, причем мы видим, что совокупность их распадается также на три столбца но две точки в каждой: . Если на это, однако, возражают, что при сколько-нибудь значительных числах это непосредственное созерцание уже не приводит к сознанию справедливости высказанной истины, то приходится прибегнуть к закону совершенной индукции: если некоторое предложение справедливо для небольших чисел и если сверх того оно остается справедливым для числа всякий раз, как оно справедливо для числа , то оно справедливо вообще для всякого числа.

Рис. 1

Это предложение, имеющее, по моему мнению, интуитивное происхождение, действительно всегда помогает нам выйти за те пределы, в которые нас необходимо ставит конкретное созерцание.

На этой приблизительно точке зрения стоит также и Пуанкаре в своих известных философ-. ских сочинениях.

Если мы хотим уяснить себе значение этого вопроса об обосновании одиннадцати основных законов счета, то мы должны принять в соображение, что совместно с арифметикой на них в конечном счете покоится и вся математика. Мы не впадем поэтому в преувеличение, если скажем, что, согласно выясненной сейчас точке зрения, достоверность всего здания математики в конечном счете опирается на созерцание (интуицию) в самом обычном смысле этого слова.

2. Во вторую очередь мы приведем некоторую модификацию первой точки зрения. Она заключается в том, что пытаются расчленить эти основные законы на значительно более мелкие ступени, так что на непосредственном созерцании приходится основывать лишь немногие простейшие случаи, из которых можно вывести остальные уже чисто логически, не прибегая вновь к созерцанию. В то время как обычно чисто логические операции применяются лишь после установления названных одиннадцати законов, здесь сказывается возможным воспользоваться ими раньше, именно после введения упомянутых более простых предложений. Граница, отделяющая созерцание от логики, отодвигается, и притом в пользу последней. Эту точку зрения впервые провел Герман Грассман в своем «Учебнике арифметики», выпущенном в 1861 г. В качестве примера я укажу, что закон переместительности с помощью совершенной индукции может быть выведен из закона сочетательности.

После книги Грассмана следует указать сочинение итальянского ученого Пеано «Начала арифметики, изложенные новым методом», Турин, 1889. Она написана на собственном символическом языке автора, который имеет целью выделить каждый шаг логического доказательства. Пеано имеет в виду таким образом достигнуть гарантий, что он действительно опирается исключительно на те положения, которые он предварительно принял, и не пользуется никаким другим интуитивным материалом. Он хочет избежать опасности, которую необходимо вносит обыкновенный язык своими бесконтрольными ассопиациями идей и воспоминаниями о наглядных образах.

Должен сказать вам к тому же, что Пеано является главой целой школы, очень обширной в Италии, которая таким же образом расчленяет предпосылки каждой отдельной математической дисциплины и старается посредством идеографии (писания понятиями) исследовать ее логические концепции.

3. Мы переходим теперь к современному развитию этих идей, которое, впрочем, оказало уже свое влияние и на Пеано. Я имею в виду ту трактовку учения о числе, которая кладет в основу понятие совокупности, или множества. Вы составите себе представление о широком объеме этого понятия, если я скажу вам, что совокупность всех целых чисел, с одной стороны, и совокупность всех точек отрезка, с другой стороны, представляют собой частные примеры множеств. Общую идею о множестве впервые сделал предметом систематического математического исследования Георг Кантор (G. Kantor), профессор в Галле; созданное им учение о совокупностях, или множествах, в настоящее время весьма заинтересовало молодое поколение математиков. Позже я еще попытаюсь дать вам возможность заглянуть в эту теорию; здесь же я ограничусь следующей краткой характеристикой этой новой системы арифметики: эта система старается свести свойства целых чисел и относящихся к ним операций к общим свойствам множеств и связанных с ними абстрактных соотношений, этим имеется в виду достигнуть возможно более глубокого и общего обоснования теории целых чисел. В качестве пионера этого направления я должен указать еще Р. Дедекинда (R. Dedekind), который в своей небольшой, но весьма содержательной книжке «Что такое числа и каково их значение?» впервые дал такое обоснование учения о целых числах. К этой точке зрения по существу примыкает и Г. Вебер в первой главе первого тома «Энциклопедии элементарной математики». Однако оказывается, что развитие теории становится при этом настолько отвлеченным и мало доступным, что в приложении к третьему тому того же сочинения автор был вынужден дать более элементарное изложение того же предмета, оперирующее исключительно с конечными множествами.

4. Наконец, в заключение, я хочу привести чисто формальную теорию числа, которая восходит еще к Лейбницу и которая в последнее время особенно выдвинута Гильбертом. К арифметике относится в этом смысле его доклад на III Международном математическом конгрессе в Гейдельберге «Об основах логики и арифметики». Исходная точка здесь заключается в следующем. Если мы уже располагаем одиннадцатью законами счета, то мы можем вести счет в буквах а, b, с, выражающих любые числа, совершенно не считаясь с тем значением, которое таковые имеют как числа. Или яснее: пусть будут вещи без всякого значения, вернее, вещи, о значении которых нам ничего не известно. Положим также, что нам все же известно, что над ними можно производить операции согласно перечисленным одиннадцати основным положениям, хотя бы эти операции не имели какого-либо известного нам содержания; тогда мы можем оперировать с этими объектами совершенно так же, как и с обыкновенными числами, но при этом возникает только вопрос, не могут ли эти операции когда-либо привести к противоречию. Если обыкновенно говорят, что опыт обнаруживает существование чисел, для которых перечисленные правила имеют место, и что в этих правилах, следовательно, нет противоречия, то теперь, когда мы отказываемся от реального значения этих символов, такого рода ссылка на наглядное представление уже недопустима. Вместе с тем возникает совершенно новая задача — доказать чисто логически, что при любых операциях над нашими символами, согласно перечисленным одиннадцати основным законам, мы никогда не придем к противоречию, т. е. упомянутые одиннадцать законов логически совместны. Если мы вначале, при изложении первой точки зрения, сказали, что достоверность математики покоится на существовании наглядных объектов, для которых имеют место ее законы, то представитель настоящей формальной точки зрения усматривает достоверность математики в том, что основные ее законы с чисто формальной точки зрения, независимо от их наглядного содержания, представляют логически цельную систему, не содержащую противоречия.

Для выяснения и оценки этой новой точки зрения я должен сделать еще несколько замечаний.

a) Гильберт формулировал эти идеи по отношению к арифметике и начал их разрабатывать, но он отнюдь не дал полного развития их. После упомянутого доклада он еще раз возвратился к этому предмету в одной лекции, но больше этими вопросами не занимался. Мы можем, следовательно, сказать, что здесь мы имеем перед собой только программу.

b) Попытка совершенно изгнать созерцание и удержать только логическое исследование представляется мне в полной мере неосуществимой. Некоторый остаток, некоторый минимум интуиции всегда оолжен сохраниться, и эти остаточные интуитивные представления мы необходимо должны соединять с символами, с которыми оперируем, даже уже потому, что мы должны эти символы постоянно вновь узнавать, хотя бы этот остаток и сводился только к внешнему виду наших символов.

c) Но примем даже, что поставленная задача действительно безупречно разрешена, что обнаружено чисто логически отсутствие противоречия в наших одиннадцати основных положениях. Но тогда все еще остается место возражению, которому я придаю наибольшее значение. Нужно себе уяснить, что эти соображения, собственно, обоснования арифметики еще отнюдь не дают и что в этом порядке идей его и нельзя провести. Именно, совершенно невозможно чисто логическим путем показать, что законы, в которых мы обнаружили отсутствие логического противоречия, действительно имеют силу по отношению к числам, столь хорошо нам известным эмпирически, что неопределенные объекты, о которых здесь идет речь, могут быть отождествлены с реальными числами, а выкладки, которые мы над ними производим, — с реальными эмпирическими процессами. Что здесь действительно достигается — это только расчленение об ширной задачи обоснования арифметики, мало до ступной по своей сложности, на две части; первая часть представляет собой чисто логическую проблему установления независимых друг от друга основных положений, или аксиом, и доказательства их независимости и отсутствия противоречия.

Вторая часть задачи относится, скорее, к теории познания и в известной мере выражает применение названных логических исследований к реальным соотношениям; никаких попыток приступить к разработке этой второй задачи, строго говоря, еще не было, хотя для действительного обоснования арифметики и она необходимо должна быть исчерпана. Эта вторая часть вопроса представляет крайне глубокую задачу, трудность которой коренится в общих проблемах теории познания. Быть может, я выражу наиболее ясно постановку этого вопроса, если выскажу несколько парадоксальное утверждение, что всякий, кто признает чистой математикой только чисто логическое исследование, необходимо вынужден будет отнести вторую часть проблемы обоснования арифметики, а вместе с этим, стало быть, и саму арифметику, к прикладной математике.

Я считаю необходимым отчетливо все это здесь указать, так как в этом именно пункте наиболее часто возникают недоразумения вследствие того, что многие просто не замечают существования этой второй задачи. Гильберт сам отнюдь не стоит на этой точке зрения, и мы не можем высказать ни одобрений, ни возражений его теории, которые исходят из такого именно допущения. Томе, профессор в Вене, остроумно назвал людей, стоящих на почве этих чисто абстрактно-логических исследований о вещах, ничего не обозначающих, и о предложениях, ничего не выражающих, которые, таким образом, не только забывают эту вторую проблему, но и всю остальную математику, — мыслителями без мысли; конечно, это ироническое замечание не может относиться к лицам, занимающимся этого рода исследованиями попутно, рядом с многочисленными другими вопросами.

В связи с этими рассуждениями об основах арифметики, обзор которых я вам изложил, я хочу представить вашему вниманию еще некоторые соображения общего характера. Многократно высказывалось мнение, что обучение математике можно и даже необходимо вести строго дедуктивно, полагая в основу целый ряд аксиом и развивая из него все остальное строго логически. Этот прием, который так охотно поддерживают историческим авторитетом Евклида, однако, отнюдь не соответствует историческому ходу развития математики.

Напротив, в действительности математика развивалась подобно дереву, которое не разрастается путем тончайших разветвлений, идущих от корней, а разбрасывает свои ветви и листья вширь и вверх, распространяя их зачастую вниз, к корням. Совершенно так же и математика, оставляя образное выражение, начала свое развитие с определенного пункта, соответствующего, скажем, здравому человеческому смыслу, и по мере того как мы восходили к новым и новым научным достижениям, мы одновременно опускались также и вниз к исследованию оснований науки. Так, например, мы стоим теперь относительно оснований на совершенно другой точке зрения, чем та, которой придерживались исследователи несколько десятков лет тому назад; точно так же то, что мы выдаем за последние принципы, через короткое время сделается пережитком, так как последние истины будут все глубже и детальнее расчленяться и приводиться к более общим положениям. В основных исследованиях в области математики не может быть окончательного завершения, а вместе с тем и окончательно установленного первого начала, которое могло бы служить абсолютной исходной точкой для преподавания.

Я хотел бы сделать еще одно замечание, касающееся отношения между логической и интуитивной математикой, между чистой и прикладной математикой. Я имел уже случай упомянуть, что в школе приложение с самого начала сопровождает обучение арифметике, что ученик не только должен понимать правила, но должен также учиться делать из них то или иное употребление. Так оно нормально должно было оставаться и всюду, где идут занятия математикой. Чисто логические концепции должны составить, так сказать, жесткий скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но сама жизнь математики, важнейшие ее линии развития и продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям, т. е. к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложение из математики — это то же, что искать живое существо с одной только костной основой без мускулов, нервов и сосудов.

В деле научного исследования будет, конечно, всегда оставаться разделение между чистой и прикладной наукой, но, если только мы хотим сохранить разумное положение вещей, мы должны заботиться о непрерывной связи между этими сторонами дела; здесь же я хотел бы особенно подчеркнуть то, что в школе такого рода разделение, такого рода специализация отдельного учителя совершенно невозможны. Вообразите себе, например, — я несколько утрирую, чтобы ярче это выразить, — в какой-либо школе учителя, который трактует числа как символы, лишенные значения; другого, который умеет из этих ничего не означающих символов получить наглядные числа; наконец, третьего, четвертого, пятого, которые владеют приложениями этих символов в геометрии, механике, физике. Представьте себе, что в распоряжение всех этих различных учителей будут предоставлены ученики. Вы понимаете, что таким образом дело обучения не может быть организовано; этим путем предмет не может быть усвоен учениками, а различные учителя не смогут понимать друг друга. Потребности школьного преподавания, таким образомг предполагают известную разносторонность каждого учителя, уменье довольно широко ориентироваться в области чистой и прикладной математики в самом широком смысле этого слова; этим путем учитель должен всегда создавать коррекцию слишком мелкому расщеплению науки.

Я возвращусь здесь еще раз к упомянутым уже выше дрезденским предложениям, чтобы дать практическое направление всем последним замечаниям. В этих предложениях мы настаиваем на том, чтобы прикладная математика, которая с 1898 г. введена в испытаниена звание учителя как особая специальность, была признана необходимой составной частью каждого нормального математического образования, чтобы, таким образом, удостоверение в праве преподавания чистой и прикладной математики выдавалось всегда совместно. Наконец, упомянем также, какие цели обучения математике в выпускном классе предусматривает педагогическая комиссия в так называемой меранской программе:

1) научный обзор систематического построения математики;

2) уменье грамотно справляться с численным и графическим решением отдельных задач;

3) некоторое знакомство со значением математической мысли в естествознании и современной культуре 12).

Ко всем этим резолюциям я присоединяюсь с глубочайшим убеждением в их правильности.