Тригонометрическое решение кубического уравнения.

Но в одном месте, близком школьному преподаванию, оказывается необходимым извлекать корни из комплексных чисел, а именно при так называемом решении уравнения третьей степени по способу Кардано; я хочу сделать здесь по этому поводу несколько замечаний.

Если кубическое уравнение дано в приведенном виде

то, как известно, формула Кардано гласит, что три его корня содержатся в следующем выражении:

Так как каждый кубический корень имеет три значения, то само по себе это выражение имеет 9, вообще говоря, различных значений; среди них определяются тем условием, что произведение обоих входящих в них кубических корней должно быть равно Заменяя коэффициенты уравнения их обычными выражениями 104) в виде симметрических функций от и имея в виду, что коэффициент при равен находим

т. е. выражение, стоящее под знаком квадратного корня, равно — если не считать постоянного отрицательного множителя — дискриминанту уравнения. Отсюда следует, что подкоренное выражение отрицательно, если уравнение имеет три различных действительных корня; положительным же подкоренное выражение будет в случае, если один корень действительный, а два других комплексно сопряженные. Таким образом, как раз в случае, кажущемся наиболее простым, когда кубическое уравнение имеет только действительные корни, формула Кардано требует извлечения квадратного корня из отрицательного числа, а затем кубического корня из комплексного числа.

Это прохождение через комплексную величину должно было, конечно, представляться старым алгебраистам (в эпоху, когда они были еще так далеки от теории комплексных чисел, — за 250 лет до того, как Гаусс показал их интерпретацию на числовой плоскости) чем-то совершенно невозможным. Тогда говорили о неприводимом случае (casus irredacibilis) кубического уравнения и думали, что в этом случае формула Кардано не дает разумного, пригодного решения. Впоследствии, однако, нашли, что как раз в этом случае кубическое уравнение находится в тесной связи с трисекцией угла, и таким образом получили «тригонометрическое решение», целиком выполняемое в области действительных чисел в качестве заменителя отказывающейся служить формулы Кардано, но при этом полагали, что открыли нечто совершенно новое, не стоящее ни в каком отношении к старой формуле. И на этой то точке зрения до сих пор еще стоит, к сожалению, элементарное преподавание.

В противоположность этому я хотел бы подчеркнуть, что это тригонометрическое решение является не чем иным, как применением изложенного выше общего метода вычисления корней из комплексных чисел. Оно получается самым естественным образом, если сделать формулу Кардано — в случае комплексного выражения под знаком кубического корня — удобной для вычисления.

Это получается следующим образом. Мы предполагаем, следовательно,

так что непременно должно быть . Переписывая затем первый кубический корень выражения (2) в таком виде

замечаем, что его модуль (т. е. положительный кубический корень из модуля — комплексного числа, стоящего под знаком кубического корня) равен Но так как произведение первого кубического корня на второй должно как раз равняться то этот второй корень должен иметь комплексное значение, сопряженное с первым корнем.

Следовательно, сумма обоих кубических радикалов — решение кубического уравнения — должна равняться их удвоенной действительной части:

Теперь можно применить общий прием, описанный на с. 192. Запишем подкоренное выражение кубического корня, выделив его модуль множителем:

и определяем из уравнений

Так как положительный корень третьей степени из равен то для кубического корня находим следующее значение:

принимая же во внимание, что в выражение входит слагаемым целочисленное кратное числа находим

Это и есть обычный вид тригонометрического решения.

Позвольте сделать по этому поводу еще одно замечание относительно выражения «casus irreducibilis». Здесь слово «irreducibilis» (неприводимый) употреблено в совершенно другом смысле сравнительно с его нынешним употреблением и с тем пониманием, в котором я часто уже пользовался им в настоящих лекциях; здесь оно означает, что решение кубического уравнения не может быть сведено к извлечению кубических корней из действительных чисел, — а это не имеет ничего общего с современным значением этого слова.

Вы видите, как в этой области неудачное обозначение и всеобщая боязнь комплексных чисел создали возможность для множества недоразумений. Я бы хотел, чтобы мои слова могли способствовать устранению этих недоразумений по крайней мере в вашей среде.

Попытаемся теперь вкратце ориентироваться в том, как достигается униформизация посредством трансцендентных функций в случае других нормальных уравнений. Начнем с уравнения диэдра

Здесь достаточно попросту положить

и уравнение, как это видно сразу на основании формулы Муавра, будет удовлетворяться при

Так как все значения дают для w одно и то же значение, то эта формула в самом деле при каждом w дает корней , которые можно написать в таком виде:

В случае уравнений октаэдра, тетраэдра и икосаэдра этих «элементарных» трансцендентных функций оказывается уже недостаточно, но зато можно получить совершенно аналогичное решение с помощью эллиптических модулярных функций. Хотя этого и нельзя отнести к элементарной математике, но я все же хочу указать, по крайней мере, формулы, относящиеся к икосаэдру. Эти формулы находятся в самой тесной связи с решением общего уравнения пятой степени посредством эллиптических функций, о котором всегда упоминается в учебниках; о нем я тоже хочу сказать несколько пояснительных слов.

Уравнение икосаэдра имело такой вид (с. 179-181):

Отождествим w с абсолютным инвариантом из теории эллиптических функций и станем рассматривать последний как функцию отношения периодов (в обозначениях Якоби т. е. положим

где означают известные трансцендентные формы степени относительно играющие большую роль. Если введем еще обычно употребляемое сокращенное обозначение Якоби

то корни уравнения икосаэдра представятся в виде такого частного двух -функций:

Принимая во внимание бесконечную многозначность функции определяемой из первого уравнения, можно показать, что эта формула действительно даег 60 корней уравнения икосаэдра при каждом