До тех пор, следовательно, пока этот вопрос не будет доведен до конца, т. е. пока не будет дано логическое доказательство отсутствия противоречия в области тех же операций над целыми положительными числами, мы можем основывать уверенность в отсутствии противоречия в названных законах лишь на том, что существуют наглядные объекты и наглядные операции над ними, которые удовлетворяют этим законам. В качестве таких наглядных объектов мы указали уже выше ряд равноудаленных одна от другой точек на числовой оси; нам остается только прибавить, что означают в применении к этим образам арифметические действия. Сложение а при постоянном а относит каждой точке некоторую точку таким образом, что неограниченная прямая просто передвигается по себе на отрезок а и притом вправо или влево в зависимости от того, имеет ли а положительное или отрицательное значение. Далее, умножение представляет собой отображение подобия прямой в себя (гомотетию) и притом при — растяжение, при -растяжение, сопровождаемое симметрией относительно нулевой точки.

Я хочу теперь остановиться на том, как, собственно, все эти вещи исторически возникли. Не нужно думать, что отрицательные числа представляют собой открытие какого-либо одного умного человека, который вместе с тем, быть может, даже обнаружил на основании геометрического их толкования отсутствие в них противоречия. Напротив, в процессе медленной эволюции употребление отрицательных чисел как бы семо собой напрашивалось, и лишь позже, когда ими уже давно оперировали, именно в XIX в. возник вопрос об отсутствии противоречия.

Переходя к истории отрицательных чисел, позвольте мне обратить ваше внимание на то, что древние греки, несомненно, не владели отрицательными числами, так что здесь мы имеем пункт, в котором грекам не приходится отводить первого места, как это некоторые всегда склонны делать. Напротив, честь открытия отрицательных чисел должна быть приписана индусам, которые ввели также нуль и нашу систему цифр.

В Европе отрицательные числа постепенно вошли в употребление в эпоху Возрождения в тот именно период, когда стали оперировать над буквами. Не могу не упомянуть при этом, что более или менее совершенное буквенное исчисление впервые ввел Виет 21) в 1591 г. На этой почве, естественно, пришли к правилам раскрытия скобок при действиях с положительными числами, которые, конечно, содержатся в перечисленных нами выше основных, формулах, если мы только присоединим соответствующие законы вычитания. Однако я хочу остановиться несколько подробнее по крайней мере на двух примерах, чтобы, прежде всего, показать, что для них можно дать крайне простые и наглядные доказательства, — правда, такие доказательства, которые, собственно говоря, исчерпываются фигурой и словечком «смотри», как мы это часто встречаем у древних индийцев 22).

1) Пусть . В таком случае а — b есть положительное число, меньшее, нежели с. Поэтому разность с —

— (а — b) будет положительным числом (рис. 3). Если мы нанесем эти числа на числовую ось и заметим, что отрезок между точками и а имеет длину а — b, то достаточно взглянуть на рисунок, чтобы убедиться в следующем: если мы отнимем от отрезка с (т. е. отрезка между точками 0 и с) отрезок а — b, то получим то же самое, что получили бы, если бы отняли сначала весь отрезок а, а затем прибавили отрезок b, т. е.

(1)

2) Пусть тогда разности и с — d представляют собой целые положительные числа. Рассмотрим произведение (). С этой целью мы построим прямоугольник со сторонами а — b и с — d (рис. 4); он составит часть прямоугольника, имеющего стороны а и с. Чтобы из последнего получить первый, мы отнимем сначала верхний, горизонтально заштрихованный прямоугольник а потом расположенный справа и заштрихованный вертикально прямоугольник

Рис. 3

Однако небольшой прямоугольник заштрихованный накрест, мы отняли лишний раз; мы должны его поэтому снова прибавить. Этим путем мы приходим к известной формуле

В дальнейшем развитии этих идей сказывается общая особенность человеческой натуры, заключающаяся в том, что мы невольно постоянно стремимся распространять правила, выведенные для частных случаев, на другие более общие случаи. Ганкель в своем сочинении «Теория комплексных числовых систем» называет это принципом перманентности формальных законов и придает ему значение руководящего основного положения. Этот общий принцип в применении к интересующему нас случаю означал бы, что мы желаем освободить формулы (1) и от условий (наложенных на числа а, b, с, d), при которых они выведены, и сделать их применимыми также к другим случаям. Например, если мы применим формулу (2) к случаю (для какового случая мы эту формулу отнюдь не доказали), то мы получим т. е. получим правило знаков при умножении отрицательных чисел. Таким же образом мы можем без труда прийти и к другим случаем правила знаков, благодаря чему, пожалуй, склонны будем даже признать их за совершенно необходимые допущения. В действительности же они будут необходимы лишь постольку, поскольку мы хотим сохранить для этих новых объектов прежние правила действий. Математики прежних времен, конечно, не с легким сердцем решались на образование этих новых понятий, и тяжелое чувство, с которым они на это шли, сказывалось в тех названиях, которые они часто давали отрицательным числам: «придуманные числа», «ложные числа» и т. д.

Рис. 4

Однако, несмотря на все эти сомнения, в XVI и XVII вв. отрицательные числа постепенно приобретают всеобщее признание; этому, без сомнения, в значительной степени способствовало развитие аналитической геометрии. Конечно, сомнения еще оставались и должны были оставаться до тех пор, пока все еще старались интерпретировать отрицательное число как количество предметов и не уяснили себе возможности априорного установления формальных законов; в связи с этим возникали постоянные попытки доказать правило знаков. Простое разъяснение, которое принес только XIX в., заключается в том, что о логической необходимости этого положения, о его доказуемости не может быть речи. Напротив, речь может идти только о том, чтобы признать его логическую допустимость; в остальном же оно является произвольным и регулируется лишь соображениями целесообразности и приведенным выше принципом перманентности.

В связи с этим нельзя не высказать мысли, которая и помимо того часто напрашивается, что вещи нередко представляются разумнее, нежели люди. Вы видите, что один из важнейших шагов в математике, — именно, введение отрицательных чисел и действий над ними — был сделан не вследствие сознательного логического суждения одного человека, а стал органически необходимым благодаря интенсивным занятиям этими вещами: может даже показаться, что человек научился этим правилам от букв. Сознательное убеждение, что мы при этом поступаем правильно, не впадая в коллизию со строгой логикой, явилось лишь гораздо позже. Вообще, чистая логика при образовании таких новых понятий может иметь лишь регулирующее значение, руководящей же роли она играть не может, ибо единственное требование, Которое она ставит, заключается в том, чтобы не было внутреннего противоречия, а этому, конечно, могут удовлетворить и многие другие абстрактные системы.

Если вас интересует литература по теории отрицательных чисел, то я могу вам указать еще на книгу Тропфке «История элементарной математики».

Обращаясь к критическому обзору того, как отрицательные числа излагаются в школе, нужно прежде всего сказать, что преподаватели часто здесь делают ту же ошибку, в которую впадали математики прежних времен; именно, они пытаются доказать правило знаков как нечто логически необходимое. Особенно часто выдают за доказательство приведенный выше эвристический вывод правила из формулы для , фактически совершенно забывая, что эта формула при ее первоначальном выводе (см. с. 41—42) неразрывно связана с неравенствами Таким образом, получается лишь видимость (симуляция) доказательства; психологический момент, который в силу принципа перманентности приводит к этому правилу, смешивается с логическим доказательством. Ученик, которому это в таком виде в первый раз преподносится, естественно, не может этого понять, но поверить этому он в конце концов вынужден; если же при повторении на высшей ступени обучения, как это часто бывает, ученик не получает более точных разъяснений, то у многих может установиться убеждение, что эта теория содержит нечто мистическое, непонятное.

По поводу этих приемов я должен категорически заявить, что никогда не следует пытаться симулировать невозможные, доказательства. Следовало бы, напротив, на простых примерах, сообразно фактическому положению дела, убедить ученика, а если возможно, то заставить его самого прийти к тому, что именно эти положения, основанные на принципе перманентности, способны дать единообразный и удобный алгоритм, тогда как при выборе других правил всегда придется различать отдельные случаи. Конечно, при этом не нужно проявлять лишней поспешности, нужно дать ученику время освоиться с тем внутренним переворотом, который в нем совершается в результате этого акта познания. И в то время как ученику легко понять, что другие положения нецелесообразны, необходимо настойчиво подводить его к пониманию того, что чудесная сторона дела в том именно и заключается, что действительно существует общее и целесообразное положение; он должен ясно понять, что существования такой системы отнюдь нельзя было с уверенностью ожидать заранее.

Этим я заканчиваю теорию отрицательных чисел и перехожу к учению о дробях.