2. Простые числа и разложение на множители

Разъяснения, специально относящиеся к теории чисел, я хотел бы связать с упомянутыми выше вопросами и постараюсь изложить их возможно более наглядно. Само собой разумеется, что я по-прежнему имею в виду тот материал, который, по моему мнению, должен знать учитель, и отнюдь не думаю, чтобы весь этот материал можно было непосредственно в той же форме сообщить ученику. Я должен указать на опыт, вынесенный мною из учительских экзаменов. Мне пришлось убедиться, что в большинстве случаев кандидаты на учительское звание ограничиваются лишь ходячими выражениями, не имея сколько-нибудь серьезных сведений в этой области. Что есть трансцендентное число, это говорит, конечно, каждый, но что это, собственно, означает, знают уже немногие. Раз я получил даже и такой ответ, что я не есть ни рациональное, ни иррациональное число. Точно так же довольно часто приходится встречать экзаменующихся, которые знают, правда, что имеется бесчисленное множество простых чисел, но не имеют ни малейшего представления о доказательстве этого предложения.

С этого последнего доказательства я и начну; при этом те простые вещи, которые содержатся в пп. 1 и 2 предыдущего перечисления, я буду считать известными. Упомяну еще, что исторически доказательство этого предложения принадлежит Евклиду, «Начала» (по гречески ) которого содержат не только систему геометрии, но также алгебраические и арифметические факты, часто облеченные в геометрические формы.

Евклидов прием доказательства указанного предложения заключается в следующем. Положим, что ряд простых чисел ограничен и исчерпывается числами в таком случае число очевидно, не делится ни на 2, ни на ни на р, так как при делении на каждое из этих чисел мы получаем в остатке единицу. Поэтому должно иметь место одно из двух: либо это есть простое число, либо существуют простые числа, отличные от . Но то и другое противоречит нашему предположению, и теорема, таким образом, доказана.

Что касается п. 4 раздела 1 — разложения чисел на простые множители, — то я хочу показать вам одну из старейших таблиц разложения, принадлежащую Чермаку и изданную в 1811 г. под названием «арифметическое решето». Это название происходит от переданного нам еще из древности термина «решето Эратосфена». Основанием для этого термина послужило представление, что мы из всего натурального ряда чисел последовательно просеиваем те, которые делятся на так что в конце концов остаются только простые числа.