2. Уравнения с двумя параметрами

Здесь графическая постановка проблемы требует больше искусства, но зато и результаты оказываются более значительными и более интересными. Ограничимся тем случаем, когда оба параметра X, входят линейно; неизвестное обозначим через тогда уравнение, действительные корни которого требуется определить, будет иметь вид

где — некоторые многочлены от

Если через обозначены обыкновенные прямоугольные координаты точки на плоскости, то всякая прямая в этой плоскости изобразится уравнением

и мы можем назвать и, v координатами этой прямой: есть тангенс угла, образуемого прямой с осью выражает отрезок, отсекаемый прямой на оси у (рис. 21).

Рис. 21

Если считать точку и прямую (и соответственно координаты точки и прямой) равноправными понятиями, то мы придем к точке зрения, которая окажется особенно важной в дальнейшем.

Мы можем сказать, что уравнение

означает соединенное положение прямой и точки (х,у), т. е. что точка лежит на прямой, а прямая проходит через точку.

Чтобы истолковать геометрически наше уравнение (1), приведем его к виду (2), чего можно достигнуть двумя существенно различными способами.

А. Полагаем

Уравнения (За) изображают при переменной t вполне определенную рациональную кривую в плоскости ху, так называемую «определяющую кривую» уравнения (1); всякая ее точка соответствует определенному значению t, так что на ней можно нанести шкалу значений переменной t. На основании соотношений (3а) можно непосредственно вычислить сколько угодно точек кривой и построить таким образом достаточно точно определяющую кривую со шкалой на ней. Для каждой определенной пары параметров К, уравнения (3b) изображают некоторую прямую в плоскости; тогда, согласно сказанному, уравнение (1) выражает, что точка t определяющей кривой лежит на этой прямой. Рассматривая все действительные пересечения определяющей кривой с этой прямой и отсчитывая значения параметра t в них по шкале, имеющейся на кривой, можно получить все действительные корни уравнения (1).

Для лучшего уяснения послужит нам квадратное уравнение

определяющая кривая представляет собой в этом случае параболу

или

изображенную на рис. 22 с намеченной шкалой, по которой сразу можно найти действительные корни нашего уравнения как пересечения параболы с прямой

Так, рис. 22 показывает, что корни уравнения — лежат между 3/2 и 2 и между —1/2 Существенное отличие от предыдущего метода заключается в том, что здесь мы рассматриваем все прямые плоскости, тогда как раньше мы брали только горизонтали.

Рис. 22

Рис. 23

Зато теперь мы можем, пользуясь одной и той же раз начерченной параболой, приближенно решить все возможные квадратные уравнения. Последний метод оказывается пригодным для практических целей, если только не требуется значительной точности.

Аналогично можно трактовать все кубические уравнения, которые, как известно, посредством линейного преобразования приводятся к так называемой «приведенной форме»

определяющей кривой здесь служит кубическая парабола к (рис. 23)

или

И этот метод представляется мне вполне уместным в школе; ученики находят, несомненно, громадное удовольствие в самостоятельном вычерчивании подобных кривых.

В. Второй метод истолкования уравнения (1) получается из первого, если применить принцип двойственности, т. е. если поменять местами координаты точки и координаты прямой. Для этого перепишем уравнение (2) в обратном порядке:

и приведем уравнение (1) к этому виду, полагая

Уравнения (4а) при переменной t представляют семейство прямых, огибающих некоторую определенную кривую, «определяющую кривую» уравнения (1) в этом новом его истолковании; это — рациональная кривая определенного класса, так как она выражается в координатах прямой посредством рациональных функций одного параметра. Каждая касательная и вместе с нею ее точка касания получаются при определенном значении t, так что мы снова получаем некоторую шкалу на определяющей кривой. Нанося на чертеж достаточно много касательных на основании уравнений (4а), можно получить кривую и шкалу с любой степенью точности. При определенных значениях уравнение (1) говорит, что касательная t к определяющей кривой (4а) проходит через точку , выражаемую уравнениями таким образом можно получить все действительные корни уравнения (1), если определить те значения параметра t, которые принадлежат всем касательным к определяющей кривой, проходящим через точку . Для лучшего уяснения рассмотрим снова те же примеры. Для квадратного уравнения

определяющей кривой является огибающая прямых

это — парабола с вершиной в начале координат (рис. 24). Чертеж дает сразу действительные корни, соответствующие данной паре значений в виде параметров касательных к параболе из точки

Для кубического уравнения

определяющая кривая есть кривая третьего класса, имеющая точку заострения в начале координат (рис. 25).

Рис. 24

Рис. 25

Этот метод можно представить еще в несколько ином виде. Если рассматривать только так называемое трехчленное уравнение

то система касательных определяющей кривой будет представлена уравнением, содержащим один параметр t:

Чтобы получить уравнение определяющей кривой в точечных координатах, надо, как известно, исключить параметр t из этого уравнения и из уравнения, получаемого из него дифференцированием по t:

действительно, определяющая кривая есть огибающая семейства прямых, содержащая точки пересечения каждых двух «бесконечно близких» прямых

Вместо того чтобы исключать t, выразим из обоих уравнении х, у через :

это — параметрическое уравнение определяющей кривой в координатах точки.

Для определяющих кривых квадратного и кубического уравнений в рассмотренных выше примерах получаем по этому способу

эти уравнения в самом деле выражают кривые на рис. 24 и 25.

Замечу, что этот прием проводится на практике профессором Рунге в его лекциях и упражнениях и оказывается целесообразным для решения уравнений. И в школе можно рекомендовать использовать при случае тот или другой из этих чертежей.