АНАЛИЗ

I. ЛОГАРИФМ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Теперь, во второй половине семестра, мы займемся тем, что подвергнем отдельные, наиболее важные, с нашей точки зрения, главы анализа такому же обсуждению, какому раньше мы подвергли арифметику и алгебру. Речь пойдет главным образом об элементарных трансцендентных функциях, которые действительно играют большую роль в школьном преподавании: это — показательная функция (соответственно логарифм) и тригонометрические функции.

Прежде всего я хочу напомнить известный всем вам ход изложения этого вопроса в школе и его продолжение, примыкающее к так называемой систематике алгебраического анализа.

1. Систематика алгебраического анализа

Исходят из степени и затем последовательно переходят от целых положительных показателей с к дробным значениям с; тем самым понятие корня включается в обобщенное понятие степени. Не входя в подробности свойств степеней, отмечу только правило умножения:

которое сводит умножение двух степеней к сложению их показателей. Возможность такого сведения, которое, как известно, лежит в основании вычислений с помощью логарифмов, формально обусловливается тем, что основные законы умножения и сложения во многом совпадают; в частности, оба действия коммутативны и ассоциативны 106).

Обращение действия возведения в степень приводит к логарифму: с называют логарифмом числа а по основанию

Но уже здесь появляется ряд затруднений существенного характера, мимо которых в большинстве случаев проходят молча, не разъясняя их как следует, и которые мы именно поэтому постараемся вполне себе выяснить. При этом оказывается удобнее ввести вместо а и с, взаимную зависимость которых мы намерены изучать, обычные обозначения переменных х, у, так что наши основные равенства принимают такой вид:

Начнем с того, что основание b всегда предполагается положительным; при отрицательном b переменная принимала бы для целых значений у то положительные, то отрицательные значения, а при рациональных у она принимала бы много раз даже комплексные значения, и совокупность этих пар значений х, у не могла бы образовать непрерывной кривой. Но и при невозможно обойтись без соглашений, которые, на первый взгляд, кажутся произвольными. В самом деле, при рациональном (где — взаимно простые числа), как известно, значение определено, но этот корень имеет значений, и если даже ограничиться действительными числами, то все же при четном он имеет два значения.

Первое соглашение и состоит в том, что мы под всегда будем разуметь положительное значение корня или так называемое главное («арифметическое») значение. Значение этого условия мы исследуем с помощью общеизвестного изображения логарифмической кривой у которым я хочу воспользоваться уже здесь ради большей ясности (рис. 55).

Рис. 55

Если у пробегает множество рациональных чисел (всюду плотное на действительной прямой), то положительным главным значениям абсциссы отвечает на нашей кривой всюду плотное множество точек.

Если бы мы стали отмечать при четном знаменателе (у показателя у) каждый раз и соответствующие отрицательные значения то получилось бы, можно сказать, «вдвое менее плотное», но все же всюду плотное множество точек на зеркальном образе нашей кривой по отношению к оси у, т. е. на кривой Представляется далеко не ясным, почему в случае, если давать у всевозможные действительные, в том числе и иррациональные значения, следует именно главные значения справа соединять в одну непрерывную плавно идущую кривую, и не следует ли — и почему именно не следует — дополнить таким же образом и значения слева.

Мы увидим, что вполне понять все это мы сможем лишь с помощью более глубоких средств теории функций, какими не может располагать школа. Вследствие этого в школе отказываются от более глубокого понимания положения вещей и большей частью довольствуются тем, — конечно, весьма убедительным для ученика — авторитетным утверждением, что нужно брать и положительные, главные значения корней и что все иное неправильно. На этом основано то утверждение, что логарифм есть однозначная функция, определенная только для положительных значений аргумента.

Когда теория логарифма доведена до этого места, ученик получает в руки таблицы логарифмов и должен научиться пользоваться ими для практических вычислений. При этом возможны, конечно, и такие школы — в мои школьные годы это было общим явлением, — в которых не особенно распространяются о том, как именно составлены такие таблицы. Само собой разумеется, что мы должны самым резким образом осудить такой грубый утилитаризм, игнорирующий высшие принципы обучения. Но теперь большей частью уже говорят о вычислении логарифмов и во многих школах вводят с этой целью также учение о натуральных логарифмах и о разложении их в ряды.

Что касается первого вопроса, то, как известно, основанием натуральной системы логарифмов служит число

Это определение и его употребление в качестве основания системы логарифмов большей частью помещают непосредственно в самом начале, в особенности в подражание французам в больших учебниках анализа, причем, конечно, отсутствует собственно наиболее ценный элемент, способствующий пониманию: объяснение того, почему принимают за основание как раз этот замечательный предел и почему получаемые при этом логарифмы называют натуральными. Точно так же и разложение в ряд появляется часто совершенно неожиданно; полагают попросту формально

вычисляют коэффициенты на основании известных свойств логарифма и доказывают, сверх того, еще сходимость ряда при Но при этом опять-таки оставляют в стороне вопрос о том, как вообще приходят хотя бы к тому, что подозревают возможность разложения в ряд функции и притом еще столь произвольно составленной, какой является логарифм по школьному определению.