Эйлер и Лагранж: алгебраический анализ.

Мы уже видели выше, что за этой продуктивной эпохой последовала эпоха критики, которую можно назвать чуть ли не периодом морального угнетения; в течение этого периода математики стремились главным образом к тому, чтобы надежно обосновать вновь приобретенные результаты и отделить то, что могло оказаться неверным. Мы должны теперь ближе присмотреться к тому, как относились к показательной функции и к логарифму главные представители этого направления — Эйлер и Лагранж.

Начнем с «Введения в анализ бесконечно малых» Эйлера. Позвольте мне прежде всего отметить необычайный, поразительный анализ Эйлера, проявляемый им во всех его рассуждениях, хотя я должен заметить, что у Эйлера нет и следа той строгости, какая теперь обыкновенно требуется.

Эйлер начинает свон рассуждения с теоремы о биноме:

для целого показателя l; при нецелом показателе Эйлер вообще не рассматривает бинома во «Введении». Это разложение Эйлер применяет к выражению

где — целые числа; заставляя при сохранении этого условия возрастать до бесконечности и выполняя справа этот же процесс в каждом члене ряда отдельно, Эйлер получает показательный ряд

где определено как Могут ли быть строго оправданы в современном значении этого слова отдельные шаги этого приема, — например, действительно ли сумма пределов членов ряда равна пределу суммы ряда, — обо всем этом Эйлер нисколько не заботится.

Идея этого вывода ряда для показательной функции является, как вам известно, образцом для весьма многих курсов анализа, причем, во всяком случае, чем дальше, тем больше разрабатываются отдельные шаги сами по себе и особенное значение придается доказательству их правильности. О том, какое определяющее значение имела книга Эйлера для всего дальнейшего развития этих вещей, вы можете судить уже по одному тому, что от Эйлера ведет начало употребление буквы для обозначения этого замечательного числа: .

Быть может, будет уместно здесь же упомянуть, что Эйлер дает непосредственно вслед за этим совершенно аналогичный вывод рядов для синуса и косинуса. При этом он исходит из разложения в ряд по степеням и заставляет возрастать до

Если построить это разложение на основании «формулы Муавра»

то нетрудно понять, что применяемый Эйлером процесс представляет собой предельный переход для бинома. В этом же месте Эйлер впервые употребляет букву для обозначения того числа, для которого она с тех пор всегда употребляется.

Обратимся теперь к замечательному сочинению Лагранжа — к «Теории аналитических функций».

И в этом случае приходится прежде всего отметить, что вопросами о сходимости Лагранж, если и занимается, то совершенно случайно и мимоходом. Мы уже знаем, что Лагранж рассматривает лишь такие функции, которые даны в виде степенных рядов, и определяет их производные вполне формально посредством почленного дифференцирования степенных рядов, т. е. призводная получается из исходного ряда с помощью совершенно определенных правил.

Поэтому ряд Тейлора

представляет для него только лишь результат формальной перегруппировки членов ряда для расположенного первоначально по степеням Если он желает применить этот ряд к какой-нибудь определенной функции, то, конечно, сначала он должен, строго говоря, показать, что взятая функция принадлежит к числу «аналитических», т. е. что она вообще может быть разложена в степенной ряд.

Лагранж начинает с рассмотрения функции при рациональном и определяет как коэффициент при h в разложении представляя себе, что действительно вычислены первые два члена этого разложения; по тому же самому закону он сразу получает и а биномиальное разложение получается как частный случай ряда Тейлора для При этом я особенно подчеркиваю, что Лагранж не разбирает отдельно случая иррациональных показателей , но считает очевидным, что этот случай исчерпан, если приняты во внимание все рациональные значения ; это представляется интересным отметить ввиду того, что в настоящее время придают очень большое значение точной разработке подобных переходов.

Эти результаты Лагранж применяет к изучению функции а именно, преобразуя биномиальный ряд для он находит как коэффициент при h, затем определяет по тому же закону и, наконец, пишет ряд Тейлора для полагая затем он получает искомый ряд для показательной функции.