4. Трансцендентные и алгебраические числа

Я хочу отметить еще один интересный частный случай общей теоремы Линдемана, который я буду называть теоремой о показательной функции; она состоит в том, что в уравнении числа b и не могут быть одновременно алгебраическими, если не считать тривиального исключительного случая, когда Другими словами, показательная функция от алгебраического аргумента и натуральный логарифм алгебраического числа b всегда, кроме упомянутого единственного исключения, представляют собой трансцендентные числа. Из этого при вытекает трансцендентность числа , а при трансцендентность числа (так как ).

Доказательство этой теоремы о показательной функции получается точным обобщением предыдущих рассуждений, но только исходить надо не из а из b — при этом следует принять во внимание наряду со всеми корнями алгебраического уравнения для Р также все корни уравнения для b, чтобы прийти к равенству, подобному равенству (3), вследствие чего приходится употреблять большее число обозначений, так что доказательство становится более громоздким. Но в существенно новых идеях надобности не представляется. Вполне аналогично можно провести доказательство и общей теоремы Линдемана.

Я не стану входить в рассмотрение этих доказательств, но я хотел бы сделать для вас возможно более наглядным значение теоремы о показательной функции. Представьте себе, что на оси абсцисс отмечены все точки с алгебраическими абсциссами (рис. 120).

Рис. 120

Как мы знаем, уже одни рациональные (а потому подавно и все алгебраические) числа образуют на оси абсцисс всюду плотное множество, и на первый взгляд может показаться, что алгебраические числа уже исчерпывают все действительные точки . И вот тут-то наша теорема говорит, что это не так: оси между алгебраическими числами помещается еще бесконечно много других, трансцендентных чисел; бесконечное число примеров таких чисел дают числа где х — алгебраическое число, а также всякая алгебраическая функция этих трансцендентных чисел.

Все это станет, может быть, еще более ясным, если мы напишем наше уравнение в таком виде:

и изобразим его в плоскости в виде кривой ,(рис. 121). Если отметить на оси и на оси у все алгебраические числа, а затем рассматривать все точки (х,у), у которых обе координаты — алгебраические числа, то вся плоскость окажется покрытой всюду плотным множеством этих «алгебраических» точек.

Но несмотря на такое сгущенное расположение алгебраических точек, показательная кривая не содержит ни одной алгебраической точки, кроме точки так как во всех других случаях, согласно нашей теореме, в равенстве по крайней мере одна из величин х, у имеет трансцендентное значение. Это свойство показательной кривой представляет, конечно, в высшей степени удивительное явление!

Рис. 121

Эти теоремы, обнаруживающие существование огромного количества чисел, которые не только не являются рациональными, но и вообще не могут быть составлены из целых чисел при помощи алгебраических действий, имеют для наших представлений о числовом континууме громадное значение. Можно себе представить, как отпраздновал бы Пифагор такое открытие, если открытие иррациональных чисел казалось ему достойным целой гекатомбы!

Удивительно только то, как мало внимания и понимания встречают эти вопросы о трансцендентности, хотя они оказываются столь простыми, если их хоть раз хорошенько продумать. На экзаменах постоянно приходится наблюдать, что кандидат не в состоянии даже объяснить термин «трансцендентность», большинство просто говорит, что трансцендентное число не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению, а между тем ведь это совсем неверно, как показывает пример Забывают о самом главном — о том, что коэффициенты уравнения должны быть рациональными числами.

Если вы еще раз продумаете наши доказательства трансцендентности, то эти простые элементарные умозаключения должны будут представиться вам как нечто целое в удобопонятном виде и будут вами усвоены надолго. Запомнить надо только интеграл Эрмита; тогда все остальное вытекает само собой вполне естественным образом.

Я хотел бы еще подчеркнуть то, что в этих доказательствах мы спокойно пользовались, согласно всем нашим основным идеям, понятием интеграла, — говоря геометрически, понятием площади, — как понятием, совершенно в сущности элементарным, и я полагаю, что это существенным образом способствовало наглядности доказательства.

Сравните, например, изложение в первом томе книги Вебера и Вельштейна или же в моем собственном небольшом сочинении, где в духе старых учебников избегают употребления знака интеграла и вместо него прибегают к вычислению рядов, и вы согласитесь с тем, что там ход доказательства далеко не столь нагляден и не столь легок для понимания.

Последние рассуждения о распределении алгебраических чисел среди действительных чисел приводит нас естественным образом ко второй современной дисциплине, на которую я уже не раз указывал в течение этих лекций и которую я хочу теперь изложить более подробно. Я имею в виду учение о множествах.