3. Иррациональные числа

Переходим теперь к дальнейшему развитию понятия числа, — именно, к иррациональным числам. Здесь мы не будем останавливаться на том, как этот вопрос излагается в школе, так как относительно иррациональных чисел в школе ограничиваются обыкновенно несколькими примерами. Мы лучше перейдем к историческому развитию вопроса.

Исторически возникновение понятия иррационального числа имеет своим источником геометрическую интуицию и потребности геометрии. Представим себе числовую ось с нанесенным на ней всюду плотным множеством рациональных точек. На этой оси имеются тогда еще и другие числа; по-видимому, это впервые показал Пифагор и сделал он это, примерно, следующим образом. Если мы имеем прямоугольный треугольник, в котором два катета равны единице длины, то его гипотенуза имеет длину (рис. 6). Это число заведомо не является рациональным. В самом деле, если мы положим , где а и взаимно простые числа, то мы легко придем к противоречию с известными законами делимости целых чисел. Таким образом, мы геометрически построили такой отрезок, отложив который на числовой оси от нулевой точки, мы придем к точке нерациональной, т. е. к такой точке, которая в прежнем множестве рациональных точек не содержится. Вообще в большинстве случаев гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором катеты выражаются целыми числами , будет выражена иррациональным числом.

Рис. 6

Школа Пифагора очень усердно занималась разысканием таких пар чисел , которым соответствует рациональная гипотенуза; это так называемые пифагоровы числа, простейшим примером которых являются 3, 4, 5; мы к ним еще возвратимся ниже. Во всяком случае было известно, что при этом построении, вообще говоря, получаются иррациональные отрезки; это открытие стоило жертвы в сто быков, по поводу которой так часто приходится слышать дурные остроты.

Последующие греческие математики изучали более сложные иррациональности; так, например, у Евклида мы находим иррациональности вида и т. п. Вообще же можно сказать, что все иррациональные числа, о которых имели представление греческие математики, сводятся к таким иррациональностям, которые можно получить повторным извлечением квадратного корня и которые в силу этого можно строить циркулем и линейкой. Общей же идеей об иррациональном числе греки еще не владели.

Я должен, однако, несколько точнее сформулировать это замечание, чтобы избежать недоразумений. Мы имели в виду сказать только то, что греки не владели таким приемом, при помощи которого можно было бы дать общее арифметическое определение иррационального числа, как мы это сделаем ниже. При всем том понятием общего действительного числа, которое может и не быть рациональным, греки владели, — правда, с иной точки зрения, чем у нас; все это носит у них другой характер, так как они не пользовались буквами для общего обозначения числа. Именно, они рассматривали, как это излагает систематически Евклид, отношение двух произвольных отрезков и оперировали с этими отношениями точно так же, как мы теперь оперируем с произвольными действительными числами. У Евклида встречаются даже такие определения, которые совсем напоминают современную теорию иррациональных чисел. Иррациональные числа уже названием своим существенно отличаются от рациональных чисел; последнее называется между тем как отношение отрезков, т. е. любое действительное число, называется .

К этому присоединим еще замечание относительно самого слова «иррациональный». Оно ведет свое начало, вероятно, от неправильного перевода греческого слова на латинский язык.

Это греческое слово, по-видимому, означало «невыговариваемое число». Этим желали сказать, что эти новые числа, т. е. отношения отрезков, не могут быть выражены отношением двух целых чисел; лишь непониманием переводчика объясняется то, что эти числа оказались «нелогичными», как это, по-видимому, выражается словом «иррациональные числа». Общее понятие иррационального числа появилось, по-видимому, только в конце XVI столетия после введения десятичных дробей, употребление которых получило право гражданства в связи с возникновением логарифмических таблиц. Когда мы обращаем рациональную дробь в десятичную, мы можем, кроме конечных дробей, получать еще бесконечные десятичные дроби, которые, однако, всегда должны быть периодическими. Простейшим примером будет

мы имеем здесь десятичную дробь, период которой, состоящий из одной цифры 3, начинается непосредственно после запятой. Но тогда нет препятствий к тому, чтобы представить себе непериодическую десятичную дробь, цифры которой следуют друг за другом по какому-либо другому определенному закону; каждый, конечно, признает такую дробь определенным и в то же время нерациональным числом. Но в этом, собственно, уже содержится понятие иррационального числа, к которому, таким образом, нас непосредственно приводит десятичная дробь. Исторически дело и здесь происходило совершенно так, как мы это выяснили выше относительно отрицательных чисел: вычисления с необходимостью приводили к введению новых чисел, и с ними оперировали, не размышляя много об их сущности и об их обосновании, тем более, что они часто оказывались чрезвычайно полезными.

Лишь в 60-х годах XIX в. была признана потребность в точной арифметической обработке учения об иррациональных числах, что и было выполнено Вейерштрассом в его лекциях, относящихся к указанному периоду.

Общую теорию иррациональных чисел дал в 1879 г. Г. Кантор в Галле, основатель учения о множествах, и независимо от него Р. Дедекинд в Брауншвейге Точку зрения Дедекинда я намерен пояснить здесь в немногих словах. Допустим, что мы владеем совокупностью всех рациональных чисел, и игнорируем все пространственные представления, навязывающие нам интуитивно непрерывность числового ряда. Чтобы, исходя отсюда, прийти к чисто арифметическому определению иррационального числа, Дедекинд строит понятие сечения в области рациональных чисел. Именно, если есть рациональное число, то оно делит всю совокупность рациональных чисел на два класса А и В таким образом, что каждое число класса А меньше, нежели любое число класса В, причем каждое рациональное число принадлежит тому или иному классу. Класс А содержит все числа, которые меньше числа , а В — все числа, которые больше, нежели г; само же число можно отнести как к одному, так и к другому классу. Кроме этих «собственных» сечений, бывают еще сечения «несобственные»: под этим мы разумеем такие разбиения множества всех рациональных чисел на два класса, которые обладают перечисленными выше свойствами, но не производятся рациональными числами; иными словами, это — сечения, в которых класс А не имеет наибольшего, а класс В не имеет наименьшего числа. Пример такого рода несобственного сечения дает нам, скажем, или вообще всякая непериодическая бесконечная дробь, Относительно каждого рационального числа мы можем тотчас решить, больше ли оно или меньше, чем эта бесконечная десятичная дробь, и сообразно этому отнести каждое рациональное число либо к классу А, либо к классу В. В таком случае ясно, что каждое число класса А меньше каждого числа класса В, с другой стороны, в классе А не может быть наибольшего, а в классе В не может быть наименьшего числа, ибо между каждым рациональным числом и нашей бесконечной дробью всегда найдется еще бесчисленное множество других рациональных чисел.

Ввиду этих соображений Дедекинд устанавливает следующее определение, которое с точки зрения строго логической должно, конечно, рассматриваться как чисто условное соглашение. Каждое сечение в области рациональных чисел мы будем называть рациональным или иррациональным числом в зависимости от того, будет ли это сечение собственным или несобственным.

К этому непосредственно примыкает определение равенства: два числа называются равными, если они производят одно и то же сечение в области рациональных чисел. Исходя из этого определения, можно, например, доказать, что равняется бесконечной десятичной дроби 0,333... Тот, кто станет на нашу точку зрения, действительно должен требовать доказательства, основанного на данном определении, хотя человеку, наивно подходящему к этому делу, это может показаться совершенно ненужным. Получить же это доказательство нетрудно, если мы сообразим, что каждое рациональное число, которое меньше , при обращении в десятичную дробь рано или поздно даст меньший десятичный знак, чем в нашей бесконечной дроби; всякое же рациональное число, которое больше , рано или поздно даст больший десятичный знак.

В лекциях Вейерштрасса соответствующее определение гласит: два числа называются равными, если они отличаются друг от друга меньше, чем на любое данное положительное рациональное число. Связь между этим определением и предыдущим легко усмотреть. Особенно наглядным представляется последнее определение, если мы сообразим, почему дробь 0,999... равна 1: эти числа отличаются, очевидно, меньше, чем 0,1, чем 0,01, и т. д.; следовательно, на основании определения они равны.

Теперь спрашивается: благодаря чему мы имеем возможность добавить к множеству всех рациональных чисел еще и иррациональные числа и производить действия над теми и другими числами, совершенно их не различая?

Причина кроется в том, что сохраняет силу закон монотонности элементарных операций. Принцип этот заключается в следующем: если два иррациональных числа нужно сложить, перемножить и т. п., то мы их заключаем во все более и более тесные пределы и над этими пределами соответственно производим те же действия, которые нам нужно произвести над самими иррациональными числами, вследствие закона монотонности и результат последовательно замыкается во все более и более тесные границы.

Мне нет надобности излагать здесь эти вещи, так как вы можете подробно ознакомиться с ними по многим учебникам, в которых вы найдете большие подробности относительно определения иррационального числа, которое я здесь изложил только в общих чертах.

Здесь я предпочел бы остановиться еще на том, чего вы в книгах обыкновенно не найдете: именно, на том, как можно перейти от изложенной здесь арифметической теории иррациональных чисел к их применению в других областях. В особенности я имею в виду здесь аналитическую геометрию, которую иногда по наивной интуиции принимают за источник иррациональных чисел и которая психологически действительно является этим источником.

Если мы возьмем числовую ось, на которой, как выше, нанесены начало и все рациональные точки, то основное положение, на котором покоится это применение, гласит: каждому рациональному или иррациональному числу отвечает точка, имеющая это число своей координатой, каждой точке на прямой отвечает в качестве координаты рациональнее или иррациональное число.

Такого рода исходное положение, которое стоит во главе дисциплины, из которого все дальнейшее вытекает чисто логически, тогда как само оно не может быть логически доказано, мы называем аксиомой. Отдельные математики в зависимости от сложившихся у них взглядов смотрят на аксиому как на интуитивно ясную истину или как на более или менее произвольное соглашение. Настоящая аксиома о взаимно однозначном соответствии между всеми действительными числами, с одной стороны, и точками прямой, с другой стороны, обыкновенно называется аксиомой Кантора, который первый точно ее сформулировал (в 1872 г.).

Здесь будет уместно сказать несколько слов о природе наших пространственных представлений.

Это выражение, строго говоря, можно понимать двояко: с одной стороны, можно иметь в виду непосредственное чувственное, эмпирическое представление о пространстве, которое мы контролируем при помощи измерения; с другой стороны, — отвлеченное, внутреннее представление о пространстве, можно было бы сказать, присущую нам идею о пространстве, которая возвышается над неточностью чувственных восприятий. Такого рода различие вообще имеет место при каждом интуитивном представлении, как я уже имел случай указать по поводу развития понятия числа; лучше всего оно поясняется, быть может, следующим примером. Что означает небольшое число 2, 5 или 7, нам непосредственно ясно, но о больших числах, например о числе 2503, мы уже не имеем такого непосредственного, наглядного представления. Здесь, напротив, находит себе применение внутреннее представление о расположенном числовом ряде, которое мы себе составляем, исходя из начальных чисел, при помощи совершенной индукции. Что касается представления о пространстве, то дело обстоит так: если мы рассматриваем расстояние между двумя точками, то мы можем оценить и измерить его лишь с ограниченным приближением, так как наш глаз неспособен различать отрезки, имеющие длину ниже некоторой границы; это есть так называемый порог ощущения — понятие, играющее чрезвычайно важную роль во всей психологии. Но по существу дело не изменяется и в том случае, если мы усиливаем наш глаз самыми тонкими инструментами, так как и они имеют известные границы точности. Таким же образом и при всяких других физических наблюдениях и измерениях мы наталкиваемся на такого рода пороги ощущения, которые устанавливают предел возможной точности. Указания, попадающие за эти пределы, никакого значения уже не имеют и свидетельствуют с невежестве или даже о недобросовестности.

В противоположность этому свойству эмпирического представления о пространстве, необходимо ограниченного известным приближением, абстрактное или идеальное представление о пространстве обладает неограниченной точностью и в силу канторовой аксиомы обнаруживает полный параллелизм с арифметическим пониманием числа.

В соответствии с этим целесообразно и саму математику разделить на две части: на математику точную и математику приближенную. Выясним это различие на примере уравнения f(x) = 0. В приближенной математике, как и в случае наших действительных эмпирических представлений, речь идет не о том, чтобы f(x) точно обратилось в нуль, а только о том, чтобы значение функции оказалось ниже достижимого порога точности; таким образом, равенство f(x) = 0 должно служить только сокращенным выражением неравенства

с которым фактически и приходится иметь дело. Выполнение же строгого требования равенства составляет уже задачу точной математики. Так как в приложениях играет роль только приближенная математика, то можно, выражаясь грубо, сказать, что мы имеем потребность, собственно, в этой последней дисциплине, между тем как точная математика существует только для удовольствия тех, которые ею занимаются, а в остальном составляет лишь опору для математики приближенной.

Возвращаясь опять к нашей теме, я должен сказать, что логическое определение иррационального числа, несомненно, относится к точной математике. В самом деле, утверждение, что две точки отстоят друг от друга на расстояние, выражающееся иррациональным числом миллиметров, фактически не имеет никакого смысла, так как десятичные знаки дальше шестого не имеют реального значения. В практике мы можем, таким образом, свободно заменять иррациональные числа рациональными. На первый взгляд это находится в противоречии с законом рациональных указателей в кристаллографии или, например, с тем, что в астрономии приходится различать случаи, существенно разные, когда времена оборотов двух планет имеют рациональное или иррациональное отношение.

В действительности же здесь опять проявляется только многозначность нашего языка, так как здесь понятие «рациональное» к «иррациональное» нужно понимать в совершенно другом смысле, — именно, в смысле, свойственном приближенной математике. Когда здесь говорят, что величины имеют рациональное отношение, то под этим разумеют, что их отношение выражается парой небольших чисел, — например . Такое же отношение, как здесь, несомненно, отнесли бы уже к иррациональным. Насколько, собственно, велики могут быть числитель и знаменатель, это меняется от случая к случаю в зависимости от условий вопроса.

В двух словах я хотел бы еще указать, в заключение, как я себе представляю желательное изложение этих вещей в школе. Точное изложение теории иррациональных чисел здесь вряд ли уместно, так как она не может быть интересна для большинства учеников. Юноша, несомненно, всегда удовлетворится указанием ограниченного приближения; точность же

0.001 мм уже вызовет удивление, а потребности в полной точности у него, несомненно, не будет. Вследствие этого будет вполне достаточно, если в школе пояснить понятие иррационального числа только на примерах, как это большею частью и делают. Конечно, немногие юноши, обладающие ясно выраженным математическим дарованием, этим не удовлетворятся и захотят вникнуть глубже в сущность вопроса. Достойной задачей учителя будет удовлетворить эту потребность, не нарушая интересов большинства учеников.