ПРИМЕЧАНИЯ

АРИФМЕТИКА

1. Исторические сведения, связанные с возникновением и развитием математических понятий, подробно изложены в источниках, упоминаемых в примечаниях 7 и 24.

2. Клейн имеет в виду семинарии для подготовки учителей начальных классов; это не относится к семинарским занятиям при средних учебных заведениях, о которых он упоминал выше. В условиях современной советской школы имеется аналогичный переход от обучения под руководством преподавателя начальных классов к обучению, осуществляемому, начиная с 4-го класса, математиком-предметником.

3. В наших условиях — в четвертом и пятом классах.

4. Автор ссылается на монографию, изданную в Лейпциге в 1898 г. Советскому читателю будет удобнее воспользоваться книгой: Энциклопедия элементарной математики. — Книга первая: Арифметика. — М.: Гостехиздат, 1951. — Книга вторая: Алгебра. — М.: Гостехиздат, 1951, — Книга третья: Функции и пределы (основы анализа). — М.: Гостехиздат, 1952. — Книга четвертая: Геометрия. — М.: Физматгиз, 1963. — Книга пятая: Геометрия. - М.: Наука. 1966. Имеется и более позднее издание: Математическая энциклопедия. — Т. 1: А — Г. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т, 2: Д — Коо. — М.: Советская энциклопедия, 1979.-Т. 3: Коо - Од.-М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 4: Ок - Сло.-М.: Советская энциклопедия, 1984.- Т. 5: Слу — Я- — М.: Советская энциклопедия, 1985.

5. Эти идеи сейчас органически вошли в методику обучения математики в начальных классах советской школы и хорошо известны каждому преподавателю начальной школы. Однако следует обратить внимание на ту изысканную научность и экономность изложения, которая присуща Клейну. Если в школьных учебниках начальных классов имеется большое число правил сложения и вычитания (прибавление числа к сумме, прибавление суммы к числу, прибавление суммы к сумме, то же с разностью и т. д.), которые становятся ненужными в старших классах и забываются, то Клейн предлагает минимальную систему правил (аксиом). Эти аксиомы не только очень просты, легко запоминаются и в то же время служат подлинной основой всех действий с числами, но также — и в этом их научность — соответствуют важнейшим в современной математике понятиям поля и упорядоченного поля (т. е. входят в число аксиом, определяющих эти понятия, — см. примечание 39).

6. В этой вскользь брошенной фразе заключается глубокий смысл. В нашей начальной школе слишком большое значение придается применению свойств действий при построении таблицы сложения однозначных чисел.

Например, сложение с «переходом через десяток» осуществляется с применением закона ассоциативности так:

Несомненно, понимание роли закона ассоциативности в этих случаях (и умение показать его применение на нескольких примерах) важно. Но построение всей таблицы сложения на этой основе — неоправданная роскошь в смысле дорогого учебного времени. К тому же растянутость (во времени) изучения таблицы сложения однозначных чисел снижает интерес у детей. Взрослый человек не применяет каждый раз законы действий, а знает наизусть таблицу сложения. К этому надо стремиться и в методике обучения в начальных классах: пояснив на многих примерах смысл действия сложения (объединение двух кучек предметов и т. п.), надо форсированно заставить детей выучить таблицу сложения.

7. Помимо изданий, упоминавшихся на с. 17 и 26, можно рекомендовать читателю книгу: Рыбников К. А. История математики.- М.: Изд-во МГУ, 1974, а также Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1985.

8. Наиболее яркое выражение это направление получило в обширном сочинении Уайтхеда и Рассела «Principia Mathematiea» в трех томах, первое издание которого было закончено в 1913 г. Все сочинение написано в идеографии и охватывает математическую логику, арифметику, алгебру и геометрию. Изучение этого сочинения и примыкающей к нему литературы представляет большие затруднения. Но помимо этого путь, по которому пошли эти авторы, не может привести к преодолению техсложных логических затруднений, в которые уперлись наиболее глубокие попытки обоснования самых исходных начал арифметики и ее метода (в частности, и закона совершенной индукции). Это с полной достоверностью вытекает из установленной позднее теоремы Гёделя о полноте классического исследования предикатов. См. Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1974.

9. Изданной в Брауншвейге в 1888 г. Следует отметить, что после обнаружения парадоксов теории множеств, а особенно после установленной Гёделем неполноты формальной арифметики надежды Дедекинда и Гильберта о решении проблемы непротиворечивости арифметики натуральных чисел не оправдались: непротиворечивость формальной системы, включающей формальную арифметику, может быть установлена лишь более сильными средствами, чем те, которые формализованы в данной системе.

10. Конгресс проходил с 8 по 13 августа 1904 г.

11. Остроумие, разумеется, не заменяет содержательного обсуждения. Современная метаматематика, связанная с изучением формальных теорий (исчислений), является важной составной частью математической логики и представляет собой аппарат, используемый при исследовании непротиворечивости содержательных математических теорий. В метаматематике формализуется логико-математический язык, позволяющий записать в виде формул все интересующие нас предложения содержательной теории, а также логические средства (аксиомы и правила вывода).

Особую важность имеют метаматематики, отражающие финитные установки в рамках интуиционизма или конструктивной математики.

12. Само собою разумеется, что сюда включается и ознакомление с простейшими и важнейшими приложениями математики в технике — настолько, насколько это возможно без специального технического образования. В своих многочисленных выступлениях Клейн всегда указывает, что техника составляет основную базу современной культуры:

13. Как отмечалось в предисловии, помещенный в конце этого раздела текст об арифмометрах в настоящем издании исключен.

14. Как и арифмометр, счетная линейка отжила свой век. Современным ручным средством вычислений (как точных, так и приближенных) является микрокалькулятор.

15. Можно привести более простое образное сравнение: паровоз «бегает» несравненно лучше человека, но последний, в отличие от паровоза, знает, куда он бежит и зачем. Технические средства не «замена» человека, а его помощники. Современные электронные вычислительные машины позволяют даже говорить об «искусственном интеллекте», под которым имеется в виду способность компьютера помогать человеку в деятельности, которая ранее считалась доступной лишь разуму человека.

16. Эти пожелания Феликса Клейна ныне полностью воплощены в советской школе введением курса информатики и вычислительной техники в старших классах и использованием микрокалькуляторов в средних классах школы.

17. Это педагогическое замечание Клейна, брошенное скороговоркой и не поясненное более подробно, играет важную роль и заслуживает серьезного внимания. Отрицательные целые числа (на примере шкалы термометра) очень легко усваиваются детьми, а возможность неограниченного выполнения вычитания очень удобна при решении примеров и текстовых задач. Все это создает благоприятные возможности для развития у детей чувства числа и логического мышления. Остается лишь пожалеть, что всерьез обсуждавшиеся у нас методические идеи о введении отрицательных целых чисел раньше рациональных не воплощены в действующих учебниках математики 2—5 классов.

18. Термин «относительные числа», ранее употреблявшийся в наших школьных учебниках (например, в учебнике алгебры А. П. Киселева), сейчас полностью вышел из употребления. Термин «абсолютное число», о котором упоминает Ф. Клейн, оставил свой след в том, что модуль числа нередко называют «абсолютной величиной» этого числа. Наконец, термин «алгебраические числа» в том неудачном понимании, о котором пишет Ф. Клейн, также оставил свой след в ранее употреблявшихся терминах «алгебраическая сумма» и др. Сейчас термины эти вышли из употребления в советской педагогической и учебной литературе. Впрочем, следует иметь в внду, что в современных компьютерах встроенные функции, предназначенные для нахождения модуля числа, имеют обозначения, идущие от термина «абсолютная величина»; например, в языке бэйсик такая функция обозначается через .

19. Подробные сведения об отрицательных числах и их истории можно найти в томе I «Энциклопедии элементарной математики», в «Энциклопедическом словаре юного математика», в томе V «Математической энциклопедии»: (см. примечания 4,7).

20. В наших учебниках математики (5-й класс) проводится и еще одна содержательная интерпретация положительных и отрицательных чисел, полностью подготовленная решением текстовых задач в младших классах. Именно, речь идет об изменении некоторого (достаточно большого) наличного количества (скажем, денег): положительное число означает увеличение на две единицы, отрицательное число —3 означает уменьшение наличного количества на три единицы и т. д.

Теперь сложение целых чисел (безразлично, положительных или отрицательных) интерпретируется как композиция, т. е. последовательное выполнение соответствующих изменений. Такое понимание целого числа, во-первых, важно при решении текстовых задач и, во-вторых, позволяет дать ясное, наглядное представление о сложении и вычитании целых чисел. В сопоставлении с принципом перманентности, о котором пишет ниже Клейн, это составляет хорошую основу для введения действий

21. Окончательный вид символике Виета придал в начале XVII в. французский философ и математик Рене Декарт.

22. Иначе говоря, речь идет не о доказательствах в строго логическом смысле, а о наглядных иллюстрациях. Ведь доказательство непротиворечивости геометрии опирается на теорию действительных чисел, так что геометрическое пояснение законов действий над действительными числами не может рассматриваться как их доказательство. Клейн об этом пишет чуть ниже.

23. Книга издана в Лейпциге в 1867 г. Имеется русский перевод: Ганкель Г. Теория комплексных числовых систем/Пер. с нем. под ред. И. И. Парфентьева. — Казань, 1912.

24. Книга, на которую ссылается Ф. Клейн, была выпущена в Лейпциге в 1902—1903 гг. Советскому читателю можно рекомендовать книгу К. А. Рыбникова, приведенную в примечании 7, «Энциклопедию элементарной математики», а также книги: Цейтен И. Г. История математики в древности и в средние века.- М.; Л.: ГОНТИ, 1938; Юшкевич А. П. История математики в средние века, — М.: Физматгиз, 1961.

25. Эта точка зрения педагогической честности; проводимая Клейном и далее, представляется очень важной. В школьных учебниках нередко можно встретить нестрогие или неполные рассуждения, которые авторами выдаются за «доказательства». Думается, что четкие и честные указания — какие из рассуждений являются строгими и полными доказательствами, какие из них содержат пробелы (и что при этом пропущено, в чем трудности заполнения этих пробелов), а какие являются лишь наглядными пояснениями — фактически не требуют дополнительных затрат учебного времени, но весьма способствуют повышению логической культуры и требовательности учащихся (не говоря уже о повышении уважения к учебнику и учителю).

26. Как мы видим, Клейн здесь совсем не говорит о месте десятичных дробей в общей теории дробей (лишь иногда, когда это ему далее нужно, он использует десятичные дроби). Между тем с точки зрения преподавания в школе вопрос о десятичных дробях и о их месте в школьном курсе очень важен. Десятичные дроби очень близки к целым числам (десятичные дроби, скажем, с двумя знаками после запятой — это те же целые числа, но отнесенные к другим единицам: метры — сантиметры, рубли копейки).

Особенно важны десятичные дроби в связи с введением калькуляторов и электронных вычислительных машин, т. е. цифровой вычислительной техники. Существует (к сожалению, не принятая) педагогическая доктрина более раннего введения десятичных дробей, чем простых. Интересные мысли в этом плане содержит очень содержательная (математически и педагогически) книга: Лебег А. Измерение величин. — М.: Учпедгиз, 1960.

27. То есть рассматриваются всевозможные пары (а, b), где а, b — произвольные целые числа, подчиненные единственному условию .

28. Понятие равенства дробей связано с проблемой разбиения на классы с помощью некоторого отношения эквивалентности. Ведь «равенство» двух дробей 1/3 и 5/15 вовсе не означает совпадения этих записей, т. е. совпадения пар (1,3) и (5, 15) (поскольку совпадение, которое и выражается словом «равенство», означает двукратное рассмотрение одного и того же объекта). Строго говоря, дроби считаются эквивалентными, если Непосредственно проверяется, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, и потому множество всех дробей распадается на непересекающиеся классы эквивалентности. Эти классы эквивалентности и являются рациональными числами. Две дроби, принадлежащие одному и тому же классу (т. е. задающие одно и то же рациональное число), принято называть не эквивалентными, а «равными». Аналогичное замечание относится, например, к различению понятий равенства (совпадения) и конгруэнтности геометрических фигур.

29. Это «в большинстве случаев» может быть уточнено следующим образом: если для некоторого k мы обозначим через множество тех пар () натуральных чисел, для которых и число рационально, а через число пар, для которых оно иррационально, то

30. Например, можно рассмотреть дробь в которой единицы стоят на местах.

31. Для класс А состоит из отрицательных чисел, нуля и тех положительных чисел, квадрат которых меньше 2, а класс В состоит из положительных чисел, квадрат которых больше 2.

32. В целях однозначности можно, например, условиться считать, что рассматриваются только такие сечения, в которых класс А не содержит наибольшего элемента (иначе говоря, если сечение производится рациональным числом , то оно непременно причисляется к классу В).

33. За исключением определения того, чему равно 0 0. Ведь если то число 0-0 не заключено между и . Однако это — единственное (и притом тривиальное) исключение из сформулированного принципа.

34 Дедекиндовы сечения — не единственный способ построения множества R всех действительных чисел. Другой способ, предложенный Кантором, состоит в использовании фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Напомним, что последовательность рациональных чисел называется фундаментальной, если для любого натурального q можно найти такое натуральное N, что для любых справедливо неравенство

Далее, две фундаментальные последовательности называются эквивалентными, если, перемешав их (т. е. взяв последовательность ), мы снова получаем фундаментальную последовательность. Это отношение эквивалентности, как легко проверить, рефлексивно, симметрично и транзитивно, и потому множество всех фундаментальных последовательностей (составленных из рациональных чисел) распадается на классы эквивалентности. Каждый класс эквивалентности и есть действительное число. Заметим, что если — рациональное число, то последовательность фундаментальна. Определяемое ею действительное число отождествляется с т. Таким образом, рациональные числа содержатся в R. Если а и 3 — действительные числа, а — фундаментальные последовательности, определяющие эти числа, то последовательность также фундаментальна; определяемое ею действительное число называется суммой взятых чисел а и Р и обозначается через а . Это определение корректно, т. е. сумма не зависит от того, какие фундаментальные последовательности, определяющие а и (3, были взяты. Иначе говоря, сумма определена однозначно и является действительным числом, т. е. выполнены свойства и 2), приведенные Клейном на с. 24. Несложно проверяются также свойства 3) и 4). Далее, числа и Р считаются связанными неравенством а , если существуют такие фундаментальные последовательности определяющие эти числа, что для всех п. Если и при этом числа а и Р различны, то пишут Теперь можно проверить и свойство 5) на с. 24. Аналогично определяется умножение и проверяются свойства на с. 24. Остается добавить, что в R определены и неограниченно выполнимы операции вычитания и деления, за исключением деления на нуль (т. е. уравнения однозначно разрешимы для любых действительных чисел , где 80), и построение множества действительных чисел по Кантору завершается. Заметим, что если — произвольная бесконечная десятичная дробь, где — ее целая часть, то числа образуют, очвидно, фундаментальную последовательность, т. е. определяют некоторое действительное число; об этом действительном числе говорят, что оно изображается бесконечной десятичной дробью Предложение, сформулированное Вейерштрасом, справедливо и в этой модели действительных чисел: два числа а и (3 равны в том и только в том случае, если они отличаются менее чем на любое данное рациональное положительное число. Иначе говоря, если для любого натурального то

3-5. Заметим в. связи с этим, что в работах Робинсона и его последователей, заложивших основы нестандартного анализа, вводятся гипердействительные числа, которых больше, чем действительных, и которые удовлетворяют тем же одиннадцати свойствам действий.

Разница состоит в том, что, например, отрезки имеющие лишь единственное общее действительное число 0, содержат бесконечно много общих гипердействительных чисел (которые все называются бесконечно малыми); подробнее см. в примечании 146. Теория гипердействительных чисел логически столь же безупречна, как и теория действительных чисел, но в ней отсутствует аксиома Архимеда, а именно, в ней существует такое положительное гипердействительное число а (произвольное бесконечно малое положительное число), что для любого натурального справедливо неравенство . В связи с этим говорят, что поле всех гипердействительных чисел является неархимедовым (подробнее см. примечание 39). Вопрос о том, находятся ли точки прямой во взаимно однозначном соответствии с полем действительных или гипердействительных чисел, является праздным: ответ зависит от того, что мы хотим понимать под прямой.

36. И если в аксиоме Кантора заменить действительные числа гипердействительными, то это никак не скажется на нашем эмпирическом представлении о пространстве, подобно тому как представление о «неделимых» бесконечно малых отрезках у Боиавентуры Кавальери позволило ему предвосхитить идеи интегрального исчисления, не мешая эмпирическим представлениям о конечных (не бесконечно малых) отрезках пространства.

37. Все это имеет самое непосредственное отношение к проблемам преподавания элементарной математики в школе. До сих пор в школьном курсе рассматривались лишь такие уравнения (алгебраические, иррациональные, тригонометрические, логарифмические и др.), которые могут быть «вручную» сведены к простейшим уравнениям, допускающим непосредственное решение (с применением, если нужно, таблиц или калькулятора).

Разумеется, определенную методическую ценность такие примеры имеют — они приучают к проведению тождественных преобразований, усвоению свойств тригонометрических функций, правил действий со степенями и т. д. Вместе с тем собственно решению уравнений, представляющему собой важный способ решения прикладных производственных, жизненных задач, эти специально подобранные примеры (махровым цветом расцветшие на письменных приемных экзаменах некоторых вузов) фактически не учат. Умение жонглировать преобразованиями для подведения левой части уравнения к одному из проторенных путей вряд ли свидетельствует о хорошей математической подготовке и является совершенно ненужным для учебы в вузе и дальнейшей производственной деятельности. Более того, достаточно чуть-чуть изменить числовые значения коэффициентов или показателей, и «ручное» сведение уравнений к простейшим типам становится неосуществимым. Между тем числовые значения в инженерных расчетах, производственных задачах, статистических вычислениях обычно получаются с помощью экспериментальных замеров, табличных данных, технических характеристик и допускают «шевеления», исключающие «ручное» решение уравнений. Более того, если случайно окажется, что уравнение допускает «ручное» решение, инженер этого не заметит, поскольку он привык к тому, что, как правило, уравнения могут быть решены лишь приближенно, а не точно.

В связи со сказанным скупая фраза «понятие о приближенном решении уравнений» в новой школьной программе по математике приобретает важное значение, поскольку она знаменует собой переход от решения специально подобранных уравнений к ознакомлению с вычислительными приемами, которые не отгораживаются от методологии применения математики в современном производстве, а полностью ей соответствуют.

38. Заметим, что в современных алгоритмических языках, например в языке фортран, константой действительного типа называют двухбайтовую конечную десятичную дробь (16 десятичных знаков).

39. В условиях нашей школы это замечание относится главным образом к школам и классам с углубленным изучением математики. Заметим, что сейчас в таких школах предпочитают вводить действительные, — в частности, иррациональные — числа не под Дедекинду (с. 52) или Кантору (см. примечание 34), а аксиоматически. Именно, множество, в котором имеется не менее двух элементов и выполнены свойства, указанные Клейном на с. 24, за исключением свойств монотонности и в котором без ограничений выполнимы вычитание и деление (за исключением деления на нуль), называется полем. Далее, если в поле введено отношение линейного порядка (т. е. неравенства) и выполнены свойства монотонности, указываемые Клейном, то поле называется упорядоченным (заметим, что свойство монотонности для умножения достаточно сформулировать в более простом виде: если , то — остальные случаи отсюда вытекают). Поле R действительных чисел вовсе не является единственным упорядоченным полем. Множество Q рациональных чисел также является упорядоченным полем; с другой стороны, и поле R гипердействительных чисел является упорядоченным. При этом Q с: R с: R, т. е. поле действительных чисел занимает какое-то промежуточное положение среди различных упорядоченных полей. Чем же в таком случае поле R замечательно, как его отличить, например, от Q и R? Для этой цели служат еще две аксиомы. Первая из них, позволяющая отличить поле R от Q, состоит в том, что если дана бесконечная последовательность вложенных отрезков то имеется точка, общая для всех этих отрезков. Иначе говоря, если для любого то найдется хотя бы одна точка в рассматриваемом поле, которая принадлежит всем отрезкам для любого п. Поле Q рациональных чисел этой аксиоме не удовлетворяет (достаточно в качестве взять приближения числа с десятичными знаками с недостатком и избытком). Однако поля R и R оба удовлетворяют этой аксиоме, и для их различения нужна еще одна аксиома. Ею как раз и является аксиома Архимеда: если для любого натурального , то Поле R этой аксиоме удовлетворяет, а поле R нет.

Итак, к одиннадцати аксиомам, указанным Клейном, надо добавить еще две. Оказывается, что всеми этими аксиомами поле действительных чисел определяется в некотором смысле однозначно.

Точнее, если - две модели, удовлетворяющие аксиомам поля действительных чисел (например, R — модель, построенная Дедекиидом, модель Кантора), то эти модели изоморфны: существует взаимно однозначное отображение модели R на при котором сумма переходит в сумму, произведение — в произведение, а также сохраняются неравенства.

Студент университета или педвуза, окончив первый семестр, в дальнейшем постоянно имеет дело с действительными числами, дедекиндовых сечениях забывает. Почему? Ответ ясен: он пользуется лишь свойствами действительных чисел, т. е. аксиомами упорядоченного поля плюс двумя отмеченными аксиомами, а также теоремами, которые из всех этих аксиом вытекают. Конкретная же модель действительного числа (в виде дедекиндова сечения или класса эквивалентности фундаментальных последовательностей) оказывается просто ненужной. Можно сказать, что дедекиндовы сечения нужиы в первом семестре лишь для того, чтобы убедить в существовании какой-нибудь модели рассмотренной аксиоматики и тем самым установить непротиворечивость этой аксиоматики.

40. Из имеющихся на русском языке книг по теории чисел следует указать следующие: Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985; Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981; Касслс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений: — М.: ИЛ., 1961; Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972. -

41. Вопрос о том, делится ли одно число на другое, имеет и еще один аспект: деление с остатком. Вопрос этот имеет прямое отношение к школьной программе и усваивается младшими школьниками с трудом. Если и k — два заданных натуральных числа, то существует единственное представление числа в виде , где q, — неотрицательные целые числа и Число q называется неполным частным, а число — остатком при делении числа на k. Нахождение чисел q и как раз и называется делением с остатком. Если то это означает, что число делится на k. Клейн предполагает все это «известным» и не рассматривает относящиеся сюда педагогические проблемы (в частности, вопрос о месте сравнений в школе). В связи с этим см. текст на с. 62—64.

Заметим, что наличие калькулятора позволяет быстро и легко осуществлять деление с остатком. Пусть, например, Производя деление на калькуляторе, получаем 13,69863; отсюда видно, что неполное частное Теперь - (учитывая, что ) производим действие и находим ответ Аналогично осуществляется деление с остатком и для больших чисел.

42. В школе вопрос о разложении на множители рассматривается без теоретического обоснования: целое число пытаются разложить на множители, затем множители снова разложить, пока возможно, а единственность разложения преподносится как нечто само собой разумеющееся. Между тем вопрос о единственности совсем не является тривиальным. Прежде всего заметим, что в кольце целых чисел имеются делители единицы, а именно

Разложение числа 6 на множители можно записать в виде Отсюда видно, что единственность разложения на простые множители понимают с точностью до порядка следования множителей и точностью до делителей единицы (впрочем, делители единицы можно в данном случае не принимать во внимание, если рассматривать только разложение на положительные простые множители).

Вопрос о разложении на простые множители можно рассматривать в произвольной области целостности G, т. е. в коммутативном кольце с единицей и без делителей нуля. Примерами областей целостности могуг служить кольцо целых чисел, кольцо чисел вида с целыми коэффициентами , кольцо целых комплексных чисел, кольцо всех многочленов с действительными коэффициентами и др.. Элемент области целостности О, не являющийся делителем единицы, называется простым, если произведение элементов а, только в том случае делится на , когда хотя бы один из элементов а, 6 делится на . Если элемент является простым, то он неприводим, т. е. во всяком разложении один из элементов к, I является делителем единицы. Чтобы подчеркнуть нетривиальность теоремы о единственности разложения на неприводимые множители, заметим, что кольцо всех чисел вида целые) является областью целостности, но единственности разложения на простые множители в нем нет, например, Более подробно эти вопросы рассматриваются в алгебраической теории чисел (см. Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982, а также литературу по теории чисел, указанную в примечании 40).

43. Изложение теории непрерывных (цепных) дробей можно найти в учебниках по теории чисел, а также в небольшой, прекрасно написанной книге: Xинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Наука, 1978.

44. Со времени написания книги Клейна геометрические методы в теории чисел приобрели весьма существенное значение. Сейчас раздел теории чисел, в котором для решения числовых проблем применяются геометрические методы, носит название геометрии чисел. Фундаментальный вклад в развитие этого направления внес Г. Минковский (монография которого, впрочем, вышла во времена Клейна — в 1896 г.). В качестве примера приведем неравенство Минковского. Пусть А — множество всех точек -мерного пространства с целыми координатами (целочисленная решетка), и пусть М — такое выпуклое тело в которое симметрично относительно одной точки этой решетки, но не содержит внутри себя других точек решетки; тогда объем (п-мер-ный) тела М не превосходит Тела, для которых в этой теореме достигается равенство, называются параллелоздрами. Трехмерные параллелоэдры играют важную роль в кристаллографии. Важным разделом геометрии чисел является геометрическая теория квадратичных форм, в развитие которой (и ее приложения к теории упаковок) важный вклад внесли русские и советские математики — Г. Ф. Вороной, А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, Б. Н. Делоне и др.

45. Теорема Эйлера — Лагранжа утверждает, что последовательность чисел по, (называемых неполными частными разложения числа о в непрерывную дробь) в том и только в том случае будет, начиная с некоторого места, периодически повторяющейся, когда о является иррациональным корнем некоторого квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

46. Еще одним интересным примером применения наилучших приближений, получаемых с помощью непрерывных дробей, служит математическое объснение того, почему со времен Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Наряду с основным тоном музыкального инструмента (вызываемого, например, колебанием струны) звуковое колебание содержит ряд обертонов, создающих тембровую окраску звука. Если, например, длина струны I такова, что (при заданном натяжении) она издает звук до первой октавы, соответствующий колебаниям в секунду, то струна длиной (на струнных инструментах эта длина получается нажатием пальца в соответствующем месте) издает звук, имеющий частоту (натуральная квинта), а струна длиной издает звук, имеющий частоту (октава). Эти обертоны, прежде всего, присутствуют в основном тоне. Наше ухо улавлизает при сравнении высоты двух звуков не отношение их частот, а логарифм этого отношения. Если принять интервал в одну октаву (переход от звука до первой октавы к звуку до второй октавы) за единицу, то основание логарифмов надо выбрать так, чтобы было Отсюда видно, что Натуральная же квинта воспринимается слухом как интервал, меньший октавы, — а именно, как ее часть, равная

В своем классическом произведении «Хорошо темперированный клавир» Иоганн Себастиан Бах написал 24 фуги для клавира, у которого произведена равномерная темперация, т. е. деление октавы на 12 равных (по слуху) интервалов (полутонов). Почему исторически возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Ответ дает теория непрерывных дробей. Наш слух естественно воспринимает именно натуральную квинту, и делить октаву надо на столько частей, чтобы число хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем (иначе слух будет отмечать диссонанс звуков). Разложив это число в непрерывную дробь, находим (это легко сделать с помощью калькулятора)

Подходящими дробями будут

Приближения 1 и 1/2 слишком грубые (первое из них означает, что мы «приравниваем» натуральную квинту к октаве!). Приближение 3/5 соответствует пентатонике, существовавшей у народов Востока, а приближение 7/12 самое удачное. Оно соответствует делению октавы на 12 частей (полутонов), и 7 таких полутонов соответствуют квинте. Сравнение числа с числом показывает качество приближения: разница высот натуральной квинты и темперированной квинты (7 полутонов) не улавливается даже профессиональными музыкантами. Заметим, что, кроме звука соль (7 полутонов от звука до), важную роль играют следующие звуки, входящие в основные трезвучья:

Отметим, что приближение для натурального звука интервала от основного тона) является не таким хорошим, как для натуральной квинты, и скрипачи различают звуки диез и

47. В самом деле, если прямая (4) проходит через рациональную точку отличную от S, то , т. е. имеет рациональное значение.

48, Задача о нахождении пифагоровых чисел, т. е. прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон, имеет различные обобщения. Приведем некоторые из них, имеющие отношение к школьному преподаванию (и дающие возможность получать геометрические задачи с целыми данными). Назовем прямоугольный параллелепипед «пифагоровым», если все его ребра, а также диагональ имеют целые длины. Подход Клейна позволяет доказать, что параллелепипед с измерениями и диагональю у а том и только в том случае является пифагоровым, когда

где рациональны (освобождение от знаменателя дает целые решения).

Вообще, рациональные решения уравнения имеют вид

(аналогично могут быть описаны все рациональные решения уравнения ).

Далее, назовем тетраэдр ОАВС с прямыми плоскими углами при вершине О «пифагоровым», если длины всех его ребер изображаются целыми числами. Такие тетраэдры существуют (хотя общие формулы для нахождения их всех неизвестны). Вот несколько таких тетраэдров с наименьшими длинами ребер, найденные с помощью компьютера (указаны длины ребер, исходящих из вершины прямых углов): 44, 117, 240; 240, 252, 275; 85, 132, 720; 187, 1020, 1584; 429, 880, 2430; 1008, 1100, 1155; 160, 231, 792; 140, 480, 693; 1008, 1100, 12 075; 528, 5796, 6325; 2925, 3536, 11 220. См. Болтянский В. Г. Пифагоровы тетраэдры//Квант. - 1986. — № 8. — С. 29—31.

49. Последнее утверждение неточно: если — нечетные взаимно простые числа, то все три числа а, b, с, полученные по указанным формулам, имеют общий множитель 2. Уточненная формулировка состоит в том, что пробегают пары взаимно простых чисел, одно из которых четно.

50. Обозначим через двумерное пространство Минковского, в котором расстояние между точками имеет вид

(см. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. —М.: Наука, 1981. —С. 52). Если бы при целом уравнение Ферма имело решение в натуральных числах, то это означало бы, что в рассматриваемом пространстве Минковского точка с рациональными и координатами отстоит от начала (0, 0) на расстояние 1. Таким образом, великая теорема Ферма означает, что при целом в этом пространстве Минковского «единичная окружность» (состоящая из точек, удаленных от начала на расстояние 1) не содержит других рациональных точек, кроме четырех точек ее пересечения с осями координат.

51. Можно также ставить вопрос о том (поскольку для уравнение Ферма не имеет натуральных решений), существуют ли натуральные решения уравнения Ответ утвердителен: например, Из этого решения можно получить бесконечно много других при помощи следующего приема. Рассмотрим еще одно решение, например . Линейная комбинация этих решений, т. е. также будет решением при надлежащем выборе k (в данном случае Это дает бесконечную серию решений:

Подобным же приемом можно получить еще ряд других бесконечных серий.

52. Здесь и далее термин «целое» число понимается -в значении натуральное число.

53. На рис. 9 штриховая (замкнутая) линия изображает единичную окружность в пространстве Минковского а сплошная — кривую Ферма (в первом квадранте они совпадают, но окружность Минковского имеет не одну, а четыре осн симметрии).

54. Для первое доказательство великой теоремы Ферма дал в 1770 г., Эйлер, для — Дирихле, для — Ламе.

55. Область целых чисел есть совокупность всех чисел вида

где — указанный выше корень степени из единицы.

56. Сводное изложение элементарных исследований, относящихся к теореме Ферма, можно найти в книгах: Xинчин А. Я. Великая теорема Ферма. — Л.: ГТТИ, 1934; Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел.-М.: Наука, 1979; Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982.

Заметим, что в самое последнее время получен крупный сдвиг в направлении решения проблемы Ферма: при каждом целом на кривой Ферма имеется лишь конечное число рациональных точек (это следует из работ Фалтингса, давшего доказательство так называемой гипотезы Морделла в алгебраической геометрии). Популярное изложение этих вопросов можно найти в статье: Вайнтроб А. Б., Сосинский А. Б. Доказательство гипотезы Морделла.//Квант.- 1984. — № 3.

57. Впрочем, многие математики думают, что доказательства (корректного) великой теоремы Ферма никогда не существовало.

58. Свою валютную ценность премия давно утратила и была аннулирована в конце первой мировой войны.

59. Современный преподаватель старших классов, разумеется, знаком с элементами теории комплексных чисел и не только из педвузовского курса математики, но и в связи с тем, что в течение ряда лет в прошлом комплексные числа были разделом школьной программы по математике. Однако сейчас комплексные числа в программу не входят. Это связано, во-первых, с тем, что в условиях всеобщего среднего образования был произведен очень тщательный отбор материала школьной программы (к тому же имеются более важные вопросы, чем такая изысканная тема, как комплексные числа, — например, первоначальные сведения о вероятностях), а во-вторых, с тем, что в связи с введением исключительно важного в современных условиях курса основ информатики и вычислительной техники программа по математике подверглась уплотнению. Тем не менее современный школьный курс математики очень удобен для увязки с комплексными числами и, возможно, в будущем эта тема вновь обретет свое место. Однако речь должна идти не о маленьком «довеске» к курсу алгебры, а о серьезной увязке с несколькими темами школьной программы, без чего введение этой темы бессмысленно. Прежде всего следует отметить, что введение векторов в восьмом классе делает очень удобным введение комплексных чисел в алгебраической форме.

Достаточно обозначить единичные векторы осей координат через 1 и i, и координатная запись сложения векторов сразу же даст определение сложения комплексных чисел. Умножение геометрически связывается с поворотом и гомотетией, т. е. с материалом, который в этом же классе как раз изучается. Далее, введение косинуса и синуса как координат единичного вектора, повернутого на соответствующий угол, сразу же дает тригонометрическую запись комплексных чисел (это — один из многих убедительных доводов в пользу того, что тригонометрические функции должны вводиться именно как координаты вектора, а не как отношения сторон прямоугольного треугольника с последующим нудным распространением их определения на более общие углы). Далее, формулы сложения аргументов под знаком тригонометрических функций непосредственно связываются с умножением комплексных чисел в тригонометрической форме и формулой Муавра, причем надо идти именно от умножения комплексных чисел к получению тригонометрических формул, а не наоборот. Наконец, очень существенно дать приложения комплексных чисел к различным вопросам — без этого они так и останутся в представлении школьников досужей выдумкой с мистической, нереальной окраской. Таких приложений можно отметить два. Во-первых, речь идет о курсе физики, где удобно дать комплексную амплитуду переменного тока или напряжения (что очень удобно для учета фазовых сдвигов), а также интерпретацию гармонических колебаний в виде действительной части равномерно вращающегося комплексного вектора. Во-вторых, важны приложения комплексных чисел к курсу алгебры. Здесь нужно показать удобство записи корней квадратного уравнения при любом знаке дискриминанта и разложение квадратного трехчлена на два линейных множителя (действительных или комплексных) и, далее, формулировку основной теоремы алгебры (без малейшего намека, однако, даже вскользь, на идею доказательства) и разложение многочленов на линейные множители. Все это, разумеется, требует отведения определенного времени в тематическом плане занятий, но только такое — увязанное с многими разделами курса — изложение является осмысленным.

60. Во избежание недоразумений уточним эту формулировку: если число вида (6) является простым, то деление окружности на равных частей возможно; если же имеет вид (6), но это число не является простым, то деление окружности на равных частей невозможно. В общем случае, как доказал Гаусс, деление окружности на k равных частей возможно в том и только в том случае, когда k имеет вид где — различные между собой простые числа, каждое из которых имеет вид (6).

61. Ферма предполагал, что все эти числа простые. Однако Эйлер изящным вычислением показал, что уже при получается число , не являющееся простым (оно делится на До сих пор неизвестно, бесконечно ли множество простых чисел вида

62. Если задан отрезок длины 1 (например, радиус окружности, в которую мы хотим вписать правильный многоугольник), то выполнение построений с помощью циркуля и линейки сводится к многократному выполнению следующих действий (начиная с двух точек, являющихся концами заданного отрезка): 1) проведение окружности с уже имеющимся центром через одну из имеющихся точек; 2) проведение прямой через две уже имеющиеся точки; 3) причисление к множеству уже имеющихся точек тех точек, в которых пересекаются проведенные линии. Несложные вычисления (с применением теоремы Пифагора) показывают, что расстояние между любыми двумя полученными таким образом точками получается из числа 1 многократным применением четырех арифметических действий и извлечений квадратного корня.

63. То есть не выражается через остальные радикалы порядка с коэффициентами низшего порядка.

64. Есть русский перевод, вышедший в издательстве «Физика» в 1913 г. Из более современной литературы следует указать (помимо четвертой книги «Энциклопедии элементарной математики») также книги: Адлер А. Теория геометрических построений, — М.: Учпедгиз, 1940 и Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение. — М.: Учпедгиз, 1950.

65. Сказанное означает, что комплексные числа образуют поле. Как отмечал выше Клейн, поле это не является упорядоченным (см. примечание 39).

66. Этот прием доказательства непротиворечивости весьма распространен в современной математике. Его можно пояснить так. Пусть имеются две теории А и В, первая из которых нам хорошо известна и которую мы принимаем непротиворечивой (свободной от противоречий, как говорит Клейн). Если удается из «материала» теории А построить модель теории В, то этим считается установленной и непротиворечивость теории В. Чаше всего теория В задается аксиоматически, и тогда для доказательства ее непротиворечивости нужно проверить лишь, что в построенной модели выполняются все аксиомы, положенные в основу теории В.

67. Это не очень точное описание Клейн применяет лишь в целях наглядности. Точнее, речь идет о сложении двух векторов, изображаемых направленными отрезками, идущими из нулевой точки к точкам а кг (если эти векторы коллинеарны, то «параллелограмм», о котором пишет Клейн, вырождается). Вообще Клейн позволяет себе ради выяснения и выпуклой подачи основной идеи иногда пренебрегать менее существенными деталями и «тривиальными» частными случаями.

68. Пусть а — комплексное число, — его модуль (т. е. длина изображающего отрезка) и — аргумент (угол, на который надо повернуть вектор 1, чтобы он превратился в вектор, сонаправленный с вектором а). Обозначим через параллельный перенос на вектор а, через — гомотетию («растяжение») с центром О и коэффициентом , а через — поворот вокруг точки О на угол Тогда композиция представляет собой то подобное преобразование (поворотное растяжение) о котором говорит Клейн. Теперь равенство а равносильно соотношению т. е. прибавление фиксированного числа а к произвольному z сводится к выполнению параллельного переноса . Аналогично, равенство равносильно соотношению т. е. умножение произвольного числа на фиксированное число а сводится к выполнению поворотного растяжения Р.

69. В современной математике вместо архаичного термина «высшая комплексная система» (или гиперкомплексная система)!, принят другой термин: «конечномерная алгебра над полем действительных чисел». Если уравнения разрешимы в рассматриваемой алгебре для любых в b, то она называется алгеброй с делением. Классическая теорема Г. Фробеняуса (доказанная им в 1877 г.) утверждает, что существуют только две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля, — это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Далее, вторая часть теоремы Фробениуса утверждает, что если отказаться от коммутативности, но все же предполагать умножение ассоциативным, то существует еще одна единственная конечномерная алгебра над полем действительных чисел — это кватернионы, к описанию которых переходит Клейн. Наконец, отказ от ассоциативности дает еще одну алгебру с восемью единицами (одна действительная и семь мнимых), которая была открыта английским математиком Кэли. Алгебра Кэли является альтернативной, т. е. подалгебра, порожденная любыми двумя ее элементами, является ассоциативной. В настоящее время известно, что, кроме указанных четырех алгебр, других альтернативных алгебр над полем действительных чисел не существует. Замечательно, что все они являются алгебрами с делением, т. е. отсутствие делителей нуля приводит (в предположении альтернативности) к однозначной выполнимости деления. Об этом вскользь и упоминает Клейн, говоря о том, что при приходится отказываться от одного из правил действий (коммутативности, ассоциативности).

70. То есть выражения, составленные из двух систем величин так, что в каждый член входит линейно один множитель из первой системы и один — из второй. Заметим еще, что написанную формулу произведения двух кватернионов можно осмыслить следующим образом. Обозначим векторные части кватернионов-сомножителей через и,

Тогда формулу произведения можно записать так:

Здесь — скалярное произведение векторов — их векторное произведение, т. е. вектор, компонентами которого являются подчеркнутые у Клейна слагаемые. Векторное произведение можно записать в виде определителя третьего порядка:

О скалярном и векторном произведениях Клейн подробно пишет ниже.

71. Кватернион q, удовлетворяющий условию (правый обратный для ), является также левым обратным, т. е. удовлетворяет условию

Именно поэтому его можно обозначить через не отмечая, о каком (левом или правом) обратном элементе идет речь. Для ею нахождения можно по аналогии с комплексными числами попытаться умножить кватернион на сопряженный кватернион Используя формулу умножения, указанную в предыдущем примечании, и замечая, что находим

где — положительное (при число, называемое модулем кватерниона . Из этого ясно, что кватернион удовлетворяет условиям т. е. является обратным к . Этот обратный кватернион определен однозначно; в самом деле, если удовлетворяет условию то в силу ассоциативности имеем совпадает с q. Это и дает ту формулу обратного элемента, которую Клейн выводит из других соображений,

72. У автора Т названо «тензором кватерниона р»; при переводе этот термин заменен более употребляемым сегодня термином модуль кватерниона.

73. Этим наглядным рассуждением Клейн хочет пояснить соображения, связанные с ориентацией. Строго говоря, векторное произведение полностью задано формулой

о которой шла речь на с. 96, причем для неколлинеаряых векторов

векторы образуют базис пространства, т. е. линейно независимы; кроме того, координаты векторного произведения непрерывно зависят от координат векторов-сомиожителей. Отсюда следует, что при непрерывном изменении векторов (остающихся в каждый момент неколлинеарными) базис непрерывно меняется, и потому его ориентация (правая, левая) сохраняется. Иначе говоря, тройка ориентирована так же, как тройка Наглядные пояснения, связанные с «правыми», «левыми» тройками и «одинаковостью» ориентации, уточняются с помощью определителей третьего порядка.

74. Подробнее об идеях, связанных с многомерными пространствами, и об их историческом развитии говорится во втором томе.

75. Чисто вычислительное доказательство Клейна можно заменить (как и во многих других рассуждениях этого раздела) более простыми соображениями. Используя соотношение справедливое для любых кватернионов и, v (об этом Клейн пишет на с. 99), мы имеем при обозначениях, принятых а приведенных выше формулах (1), (!),

а так как то т.е. кватернион имеет нулевую скалярную часть. Далее, при рассматриваемое преобразование является тождественным,

т. е. имеет определитель а потому из соображений непрерывности определитель положителен для любых d.

76. Эта центральная симметрия является композицией ( результатом последовательного выполнения) трех зеркальных симметрий

(относительно плоскостей соответственно). Но композиция двух первых из этих зеркальных симметрий представляет собой поворот на 90° вокруг оси . Таким образом, преобразование есть композиция поворота, подобного растяжения (гомотетии) и одной зеркальной симметрии. Более подробно геометрические преобразования рассматриваются во втором томе. Полную классификацию движений трехмерного пространства читатель также может найти в книге: Болтянский В. Г. Элементарная геометрия. — М.: Просвещение, 1985.

77. В этом также можно убедиться из общих соображений без вычислений на основе формул (2). В самом деле, если в формулах (1). (I7) положить то из (1) сразу получаем

откуда и следует, что при точка неподвижна, т. е. лежит на оси поворота (сопровождаемого пои еще подобным растяжением).

78. Здесь удобнее всего переставить в предыдущей формуле множитель на последнее место, воспользовавшись тем, что (согласно таблице умножения единиц)

Получаем сразу требуемый результат:

79. Сейчас эта точка зрения представляется наивной. Например, векторные пространства и алгебры над телом кватернионов рассматриваются в многих разделах алгебры, топологии, геометрии.

80. Выдающийся узбекский ученый ал-Хорезми (полное имя: ал-Хорезми Абу Абдулла Мухаммед ибн Муса ал-Маджуси) родился в конце IX века в г. Хиве, входившем в Хорезмское ханство; имя «ал-Хорезми» значит «из Хорезма», т. е. уроженец Хорезма. Он написал много книг по математике и астрономии. Латинизированное имя этого математика (Algorithmus) является истоком современного математического термина алгоритм. В одной из своих книг, озаглавленной «Хисаб ал-джебр ва ал-мука-бала» («исчисление восполнения и противопоставления»), он вводит фактически правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака и рассматривает (в словесной форме) линейные и квадратные уравнения.

Книга ал-Хорезми стала известной в латинском переводе, а сам термин ал-джебр был причиной появления слова алгебра — так стали называть иауку об уравнениях.

81. См. примечание 80. Заметим, кстати, что слово алгоритм в трактовке Клейна является несколько расплывчатым и скорее означает аппаратное средство или вычислительный формализм, чем то понимание алгоритма, которое принято сегодня в математической логике и информатике. Алгоритм — это точное пошаговое предписание о проведении вычислительного процесса, ведущего от исходных данных к окончательному результату. Существенна однозначная определенность следующего шага вычислений при получении каждого промежуточного результата. Понимание этого слова у Клейна менее определенно. Например, он говорит, что буквенное исчисление — это алгоритм. Однако, например, раскрыть скобки в выражении можно разными путями (в зависимости от того, в начале или в конце применять формулу квадрата двучлена), т. е. несмотря даже на однозначность результата (конечного), буквенное исчисление не дает пошаговой однозначности выполняемых действий, и потому правила буквенного исчисления не алгоритмичны. Это аппарат, исчисление, математический формализм, не доведенный однако до сформированного алгоритма. То же относится и к исчислению бесконечно малых: Клейн говорит, что алгоритм (в смысле: аппарат, математический формализм) побуждал к созданию новых понятий.

Мы так подробно остановились на отличии давнего (в том числе клейновского) понимания алгоритма от современного, поскольку это имеет прямое отношение к школе, где сегодня (несмотря на введение курса информатики с его четким истолкованием понятия алгоритма) встречаются вольные толкования, мешающие логическому воспитанию учащихся. Например, можно встретить выражения «алгоритм сложения дробей» (хотя даже общий знаменатель не определен однозначно: можно взять произведение знаменателей складываемых дробей, а можно взять наименьшее общее кратное), «алгоритм приведения подобных слагаемых» (хотя порядок выполнения промежуточных действий здесь совсем не однозначен) и т. п.

То, о чем говорит здесь и далее Клейн, это не алгоритмы в современном понимании.