4. Практика счета с целыми числами

После отвлеченных рассуждений, которыми я преимущественно занимался до сих пор, я обращусь к конкретным вещам, именно — исключительно к операциям, производимым над числами. Из литературы, дающей возможность ориентироваться в этом вопросе, я прежде всего отмечу опять-таки статью Р. Мемке по этому предмету в энциклопедии. Я лучше всего дам вам обзор относящихся сюда вопросов, если сначала изложу план этой статьи. Она распадается на две части, именно: А. Учение о точных вычислениях; В. Учение о приближенных вычислениях. К отделу А принадлежат все методы, облегчающие точные действия над большими числами, как, например, удобное расположение тех или иных схем в вычислении, таблицы произведений и квадратов, в особенности же счетные машины. В отделе В, напротив, вы найдете разработку всех тех приемов, которые имеют в виду определить только порядок величины результата, т. е. установить первые значащие его цифры. Сюда относятся таблицы логарифмов и аналогичные средства вычисления, как, например, счетная линейка.

Остановимся еще на минутку на общем значении того факта, что действительно существуют счетные машины, которые освобождают математика от чисто механических вычислений и которые выполняют их гораздо быстрее и более безошибочно, так как машина свободна от случайных ошибок, с которыми всегда может быть сопряжено беглое вычисление. Само существование такого рода машины может служить для нас подтверждением того, что для производства вычислений существенным является не значение целых чисел, а формальные правила, по которым они совершаются, ибо машина может следовать только этим правилам — так она устроена, — но наглядного представления о значении чисел она иметь не может.

Вряд ли можно считать случайным то, что такой человек, как Лейбниц, который был в такой же мере абстрактным мыслителем первого ранга, как и человеком выдающихся практических дарований, является одновременно как отцом чисто формальной математики, так и изобретателем первой счетной машины. Его машина еще по настоящее время представляет одно из наиболее центах достояний музея Кестнера в Ганновере. Хотя это исторически и не удостоверено, но я склонен допустить, что Лейбниц имел в виду изобретением счетной машины не только достигнуть практических целей, но и ярко осветить строго формальный характер математических вычислений.

Само собою разумеется, однако, что Лейбниц отнюдь не был склонен изобретением счетной машины умалить значение математической мысли, а между тем такого рода выводы иногда приходится слышать. «Если, — говорят, — научная деятельность может осуществляться также машиной, то на эту науку, конечно, немного можно поставить, и роль ее неизбежно должна быть совершенно второстепенной». Однако на такого рода аргументацию достаточно возразить, что математик, когда он сам оперирует с числами и формулами, отнюдь не представляет собой только жалкой копии непогрешимой машины, что он ни в коем случае не является «мыслителем без мысли» по выражению Томе. Напротив, он сам себе ставит задачи, имеющие определенную и полезную цель, и разрешает их всякий раз новыми, своеобразными приемами. Он изобрел счетную машину только для того, чтобы освободить себя от некоторых операций, постоянно повторяющихся в однообразной последовательности, и что нужно менее всего забывать, математик ее изобрел и математик постоянно ставит ей на разрешение задачи.

Позвольте мне закончить пожеланием, чтобы со счетной машиной ввиду большого значения, которое она приобретает, познакомились более широкие круги; в настоящее время ее, к сожалению, знают еще весьма немногие. Прежде всего же с нею должен, конечно, познакомиться учитель; я не могу не высказать пожелания, чтобы каждый ученик в старшем классе средней школы имел возможность хоть раз посмотреть эту машину.