3. Доказательство трансцендентности числа pi

Это доказательство хотя и сложнее предыдущего, но, в сущности, очень просто. Надо только — этом заключается искусство математического творчества — подойти к вопросу с надлежащей стороны.

Линдеман поставил вопрос следующим образом. До сих пор было установлено, что равенство ачеч не может иметь места, если и v — целые числа; спрашивается, нельзя ли доказать, что это равенство не может иметь места и при алгебраических значениях коэффициентов и показателей v. Линдеману действительно удалось это показать, а именно общая теорема Линдемана о показательной функции формулируется так: равенство не может иметь места, если коэффициенты — любые, а — различные между собой алгебраические числа. Трансцендентность числа я является тогда непосредственным следствием этой теоремы; действительно, как известно, имеет место тождество поэтому, если бы я было алгебраическим числом, то было бы таким же числом 156) и последнее тождество противоречило бы упомянутой теореме Линдемана.

Я хочу подробно изложить доказательство только одного частного случая теоремы Линдемана, который уже заключает в себе и доказательство трансцендентности числа .

При этом я буду следовать снова, по существу дела, доказательству Гильберта, которое существенно проще, чем доказательство Линдемана, и представляет собой точное обобщение предыдущих рассуждений о числе .

Исходным пунктом служит соотношение

Если удовлетворяет какому-нибудь алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, то тоже удовлетворяет подобному же уравнению; обозначим через все корни этого последнего уравнения, считая в том числе и корень Тождество (1) показывает, что должно иметь место соотношение

Выполняя умножение, получаем

Может случиться, что некоторые из входящих сюда показателей равны нулю, но во всяком случае, если даже это и имеет место, левая часть будет содержать положительное слагаемое 1, которое вместе со слагаемыми вида дает одно целое положительное число заведомо отличное от нуля. Остальные показатели, не равные нулю, обозначим через так что равенство (2) можно написать а таком виде:

С другой стороны, показатели служат корнями некоторого уравнения с целыми коэффициентами. В самом деле, из уравнения с целыми коэффициентами, которому удовлетворяют числа можно, как известно, вывести такое же уравнение, корнями которого являются все двучленные суммы точно так же можно вывести подобные уравнения для трехчленных сумма наконец, сумма а, равна рациональному числу и, следовательно, удовлетворяет линейному уравнению с целыми коэффициентами.

Перемножая все эти уравнения, мы получим снова уравнение с целыми коэффициентами, некоторые корни которого могут равняться нулю, а прочие равны Деля уравнение на неизвестное в степени, равной числу нулевых корней, получим для N величин уравнение с целыми коэффициентами как раз степени и с постоянным членом, отличным от нуля:

где

То, что мы имеем в виду доказать (и что, как мы говорили выше, заключает в себе, в частности, и трансцендентность числа ), составляет следующий частный случай теоремы Линдемана: равенство вида (3) с целым и отличным от нуля коэффициентом не может иметь места, если числа удовлетворяют уравнению степени (4) с целыми коэффициентами.

Доказательство этой теоремы можно расчленить на такие же части, как и предыдущее доказательство трансцендентности числа . Подобно тому как там нам удалось дать особенно хорошие приближения целых степеней при помощи рациональных чисел, так и здесь надо будет исследовать вопрос о возможно лучшем приближенном выражении степеней числа , входящих в равенство (3). Мы положим, сохраняя прежние обозначения,

здесь знаменатель М тоже равен некоторому целому числу, а ей — очень малые дроби, тогда как представляют собой теперь уже не целые рациональные, а целые алгебраические числа; в этом именно заключается усложнение по сравнению Q прежним доказательством. Но сумма всех чисел

Мы и в данном случае равна целому рациональному числу, а именно, можно распорядиться так, что первое слагаемое равенства

в которое в силу соотношений (5) переходит равенство (3) после умножения его на М, будет представлять собой целое рациональное число, отличное от нуля, тогда как абсолютная величина второго слагаемого будет во всяком случае меньше единицы. Но это и есть как раз то противоречие, которым мы воспользовались выше; таким образом будет обнаружена невозможность выполнения равенств (6) и (3), и наше доказательство будет осуществлено. При реализации этого замысла мы снова покажем, что сумма делится на некоторое простое число , а произведение на него не делится, из чего, аналогично прежнему, будет вытекать, что первое слагаемое в равенстве (6) отлично от нуля. При этом число можно брать сколь угодно большим, что позволит сделать второе слагаемое в равенстве (6) сколь угодно малым.

1. Прежде всего, задача заключается в том, чтобы выразить М посредством подходящего обобщения интеграла Эрмита. Это обобщение основано на том замечании, что корнями множителя в интеграле Эрмита являются как раз показатели степеней числа в предполагаемом алгебраическом уравнении. Поэтому мы теперь заменим его произведением, составленным с помощью показателей, участвующих в равенстве (3), т. е. с помощью корней уравнения (4):

Но здесь для нас существенно присоединить еще надлежащую степень числа в качестве множителя, что раньше было излишне, так как произведение и без того имело целые коэффициенты. Итак, в конце концов мы полагаем

2. Если, как и выше, развернуть в М подынтегральное выражение по возрастающим степеням , то наинизший член, содержащий даст

где интеграл выражен по формуле функции которую мы постоянно применяли выше. Все же дальнейшие слагаемые содержат под знаком интеграла или еще большие степени ; поэтому в них входит множителем , умноженное на те или иные целые числа; следовательно, все они делятся на . Поэтому само М представляет собою целое число, не делящееся на , если первое слагаемое не делится на , т. е. если простое число не является делителем ни ни Так как то в соответствии с этим условием можно определить проще всего, если принять, что

Так как то можно сразу же достигнуть и того, чтобы не делилось на ; для этого достаточно подчинить еще одному условию

Всем этим условиям можно, удовлетворить бесконечным числом способов, так как простых чисел бесконечно много.

3. Теперь мы должны перейти к вопросу о построении чисел Здесь дело обстоит несколько иначе, чем раньше, так как место целых чисел v занимают числа которые могут быть комплексными, одно из них должно даже непременно равняться Поэтому, если мы хотим осуществить разложение интеграла М, аналогичное прежнему, то надо сначала установить путь интегрирования в комплексной плоскости. К счастью, выражение, стоящее под знаком нашего интеграла, представляет собой всюду в конечной части плоскости однозначную правильную аналитическую функцию переменной интегрирования , для которой только является особой (и притом существенно особой) точкой.

Вместо того чтобы интегрировать от 0 до вдоль действительной положительной полуоси, мы можем воспользоваться каким-нибудь другим путем интегрирования, идущим от 0 до если только он в конце концов уходит в бесконечность, приближаясь по крайней мере асимптотически к какой-нибудь параллели к упомянутой полуоси; это необходимо для того, чтобы интеграл вообще имел смысл.

Рис. 119

Отметим мысленно N рассматривавшихся ранее точек в комплексной плоскости и заметим, что мы получим число М, если будем интегрировать сначала по прямой от нуля до одной из этих точек а затем от вдоль параллели к действительной оси до (рис 119). Соответственно этому пути Интегрирования можно разложить М на две характеристические части: прямолинейный путь от 0 до дает слагаемое становящееся бесконечно малым при возрастании , а параллель от до дает целое алгебраическое число

Эти выражения действительно удовлетворяют равенствам (5). То, что мы пользуемся при этом именно прямолинейными путями, объясняется исключительно соображениями удобства; любой криволинейный путь от 0 до дал бы, конечно, то же самое значение для но прямолинейный путь дает возможность проще сделать оценку этой величины.

Точно так же мы могли бы вместо горизонтали от до воспользоваться любой кривой, которая асимптотически приближается к какой-нибудь горизонтали, но это лишь создало бы ненужные трудности.

4. Я начну с оценки величины которая не представляет ничего нового по сравнению с предыдущим; нужно только воспользоваться тем, что модуль комплексного интеграла не превосходит произведения наибольшего значения модуля подынтегрального выражения на длину пути интегрирования, которая в данном случае равна Таким образом, мы получаем для верхней границы величин выражение (где G означает максимум выражения некоторой области, содержащей все точки ), умноженное на множители, не зависящие от . Из этого мы заключаем, подобно предыдущему, что, увеличивая , можно сделать абсолютную величину каждого а следовательно, и суммы сколь угодно малой, в частности меньше единицы.

5. Существенно новые соображения оказываются необходимыми лишь при исследовании величин впрочем, это будут прямые обобщения прежних рассуждений, причем придется лишь принять во внимание то, что место рациональных чисел займут теперь алгебраические числа. Рассмотрим всю сумму

Если мы здесь в каждом слагаемом в силу равенства заменим многочлен, содержащий , на произведение и введем новую переменную интегрирования которая в соответствии с принятым для путем интегрирования пробегает все действительные значения от 0 до то для суммы получится такое выражение:

где

Эта сумма как и каждое из ее слагаемых, представляет собою многочлен относительно , причем в каждом из слагаемых, очевидно, одна из N величин играет исключительную роль. Но во всей сумме а вместе с тем и во всех ее коэффициентах при g все эти N величин играют одинаковую роль; другими словами, каждый из этих коэффициентов представляет собой симметрическую функцию величин Выполняя возведение в степень в отдельных множителях по обобщенной теореме бинома, можно убедиться в том, что эти коэффициенты являются симметрическими многочленами от с целыми рациональными коэффициентами.

Но по известной теореме алгебры симметрические многочлены с рациональными коэффициентами от всех корней уравнения, имеющего рациональные коэффициенты, представляют собой рациональные числа; а так как — все корни уравнения (4), то коэффициенты нашего многочлена действительно рациональны. Но нам нужно иметь целые рациональные числа; их мы получим с помощью степени числа входящей множителем в подынтегральное выражение. Мы можем распределить ее по всем входящим в это выражение линейным множителям и написать сумму в таком виде:

Как и раньше, коэффициенты многочлена относительно изображаемого этой суммой, представляют собой симметрические многочлены с целыми рациональными коэффициентами от произведений блгрлг. Но эти N произведений являются корнями того уравнения, которое можно получить из равенства (4), если заменить в нем z на

умножая это равенство на получим

т. e. уравнение с целыми коэффициентами и коэффициентом 1 при высшем члене.

Алгебраические числа, которые удовлетворяют целочисленному уравнению с коэффициентом 1 при старшем члене, называют целыми алгебраическими числами; теперь мы можем следующим образом уточнить предыдущую теорему: симметрические многочлены с целыми коэффициентами от всех корней целочисленного уравнения со старшим коэффициентом I (другими словами, от целых алгебраических чисел) представляют собой целые рациональные числа. Эту теорему вы тоже найдете в учебниках алгебры; если она, может быть, не везде окажется выраженной точно в такой форме, то все же вы легко убедитесь в ее справедливости, если проследите за доказательством.

Коэффициенты многочлена (9), стоящего в подынтегральном выражении, удовлетворяют условиям этой теоремы; поэтому они являются целыми рациональными числами; мы обозначим их через

Теперь мы, в сущности, подошли к нашей цели. В самом деле, если выполнить интегрирование по нашей Г-формуле, то получатся множители так как каждый член содержит множитель в степени, большей чем ; вследствие этого после деления на во всех членах заведомо останется еще множитель , а другие множители представляют собой целыечисла (а именно, числа

Поэтому есть целое число, которое заведомо делится на . Но с другой стороны, мы показали, что не делится на ; поэтому сумма непременно представляет собой целое число, не делящееся на и, следовательно, во всяком случае не равное нулю. Ввиду этого равенство (6):

не может иметь места, ибо отличное от нуля целое число при сложении его с числом которое по абсолютной величине заведомо меньше единицы, не может дать нуль. Этим доказана теорема Линдемана в ее упомянутом выше частном случае, а вместе с ней и предложение о трансцендентности числа , которое в ней содержится.