2. Тригонометрические таблицы

На этом я закончу краткий обзор теории тригонометрических функций и перейду к рассмотрению того, что наиболее важно на практике, а именно, тригонометрических таблиц. Одновременно с этим я буду говорить о таблицах логарифмов, рассмотрение которых я до сих пор откладывал ввиду того, что составление этих последних с самого начала и до наших дней идет рука об руку с составлением тригонометрических таблиц.

Вопрос о том, каким образом таблицы логарифмов получили свой теперешний вид, представляется, конечно, весьма важным и интересным и для школьного преподавателя математики. Разумеется, я не могут здесь подробно изложить всю крайне продолжительную историю развития таблиц; я хочу только отметить некоторые наиболее замечательные моменты, чтобы дать вам приблизительное понятие об этом развитии.

А. Чисто тригонометрические таблицы. Под этим названием мы понимаем таблицы, которые были построены до изобретения логарифмов. Такие таблицы существовали уже в древности, а именно — первой дошедшей до нас является таблица Птолемея.

1. Это так называемая таблица хорд Птолемея, которую последний составил для астрономических целей около 150 г. нашей эры. Она помещена в его сочинении «Megale Syntaxis», в котором Птолемей развивает названною его именем систему мира.

Это сочинение дошло до нас окольным путем через руки арабов под часто употребляемым названием «Almagest», которое, быть может, получилось из соединения арабского артикля с извращенным греческим названием. Эта таблица Птолемея дает для углов с интервалами 30 не сам синус угла а, а соответствующую этому углу хорду (т. е.

Значения хорд даны здесь в виде трехзначных шестидесятеричных дробей, другими словами, в виде где целые числа от нуля до 59. Для нас самым трудным является то, что эти числа а, b, с написаны, разумеется, греческими числовыми знаками, т. е. посредством сочетания греческих букв. Далее мы находим здесь еще значения разностей, которые позволяют производить интерполяцию до минуты.

Что же касается вычисления этой таблицы, то Птолемей, во всяком случае, пользовался произведенной выше формулой для sin у (следовательно, он применял извлечение корня) и интерполяцией.

2. Перенесемся теперь на тысячу лет далее — к тому времени, когда тригонометрические таблицы были вычислены впервые на Западе.

Здесь прежде всего следует назвать Региомонтана (1436—1476), настоящее имя которого было Иоганн Мюллер. Он вычислил различные тригонометрические таблицы, в которых ясно виден переход от остатков шестидесятеричной системы к чистой десятичной системе. В то время тригонометрических линий не изображали, как теперь, в виде дробей, принимая радиус за 1, но вычисляли их для окружностей очень большого радиуса, так что можно было — с не меньшей точностью — ограничиться выражением их в виде целых чисел. Эти большие числа уже тогда писали в десятичной системе, но в выборе радиуса еще долгое время слышались отзвуки шестидесятеричной системы. Так, в одной таблице Региомонтана радиус считается равным 6 000 000, но в другой таблице впервые радиус равен чистому десятичному числу 10 000 000, благодаря чему все вычисление оказалось возможным провести полностью в десятичной системе. Достаточно вставить запятую, чтобы число этой таблицы превратилось в нашу десятичную дробь. Эти таблицы Региомонтана были напечатаны лишь много лет спустя после его смерти в сочинении его учителя Пейрбаха «Трактат о предложениях Птолемея относительно синусов и хорд». Обратите внимание на то, что и. это сочинение, как и многие другие капитальные математические издания — из них нам уже известны произведения Кардано и Штифеля, а дальше мы познакомимся и с другими, — были отпечатаны в 40-х годах XVI в. в Нюрнберге. Сам Региомонтан провел большую часть жизни в Нюрнберге.

3. Теперь я предложу вашему вниманию книгу, имевшую огромное значение вообще, а именно, сочинение Николая Коперника «De revolutionibus orbium coelestium», в котором развита «коперникова система мира». Коперник жил с 1473 до 1543 г. в Торуне, но упомянутое сочинение появляется снова в Нюрнберге Бсего лишь через два года после появления таблиц Региомонтана, с которыми Коперник тогда еще не был знаком; поэтому для осуществления своей теории он должен был сам вычислить небольшую таблицу синусов.

4. Но эти таблицы ни в коем случае не могли удовлетворить потребности астрономов, и вот мы видим, что один ученик и друг Коперника вскоре приступает к осуществлению гораздо шире задуманного дела. Это—Ретикус; его имя представляет искусно латинизированное указание его родной страны (Vorarlberg). Он жил с 1514 по 1596 г. и был профессором в Виттенберге. Во всем этом обзоре вы всегда должны принимать во внимание историческую обстановку; этот период относится к эпохе реформации, во время которой, как известно, Виттенберг, а также свободный имперский город Нюрнберг стали главными центрами интеллектуальной жизни. Но постепенно в ходе религиозных войн центр тяжести политической и духовной жизни передвигается от городов к княжеским дворам, и вот, в то время как ранее все печаталось в Нюрнберге, обширные таблицы Ретикуса появляются на свет в Гейдельберге при денежной поддержке пфальцского курфюрста (1596). Они появились лишь после смерти Ретикуса. Эти таблицы гораздо полнее предыдущих; в них содержатся значения тригонометрических функций для каждых в десятизначных дробях; правда, в них встречается еще довольно много ошибок.

5. В весьма усовершенствованном виде переиздал эти таблицы Питискус в Силезии (1561—1613), капеллан пфальцского курфюрста. Снова отпечатанные на средства курфюрста (1613), эти таблицы содержат значения тригонометрических функций для интервалов в 10" с 15 десятичными знаками. Они в гораздо большей степени свободны от ошибок и изданы лучше, чем таблицы Ретикуса.

Мы должны иметь в виду, что все эти таблицы вычислены с помощью одной только формулы для половины дуги и интерполяции, так как тогда еще не были известны бесконечные ряды для синуса и косинуса. Только принимая это во внимание, мы сможем в надлежащей мере оценить то невероятное усердие и ту работу, которые вложены в эти почтенные произведения.

К этим таблицам уже непосредственно примыкают новые таблицы, соединяющие тригонометрические данные с логарифмическими.