Дискриминантная кривая приведенного уравнения четвертой степени.

Для иллюстрации второго метода у нас имеется модель, построенная Гартенштейном в качестве работы для государственного экзамена.

Она построена для так называемого приведенного уравнения четвертой степени

в этом виде, как известно, можно представить всякое уравнение четвертой степени. Но сначала я изложу второй метод в несколько измененном виде, как я это уже проделал выше для уравнения с двумя параметрами (с. 133).

Рассмотрим однократно бесконечную систему плоскостей, плоскостные координаты которых выражены уравнениями (За), тогда как их уравнения в точечных координатах в данном случае напишутся так:

Огибающей этих плоскостей является совокупность прямых, по которым каждая из плоскостей пересекается с близкой к ней плоскостью иначе говоря, это есть развертывающаяся поверхность, уравнение которой получается исключением t из уравнений получить определяющую кривую, надо рассмотреть кривую соприкасания семейства плоскостей, т. е. геометрическое место точек, в которых пересекаются три бесконечно близкие плоскости; это есть, как известно, ребро возврата развертывающейся поверхности, координаты которого в функции t получаются из трех уравнений . В данном случае эти три уравнения напишутся так:

из них находим

Это — уравнение в точечных координатах определяющей кривой уравнения (4); в плоскостных координатах эта же кривая выражается уравнением (см. (3а))

Оба уравнения четвертой степени относительно t; следовательно, определяющая кривая принадлежит как к четвертому классу, так и к четвертому порядку.

Чтобы ближе познакомиться с этой кривой, рассмотрим несколько простых поверхностей, которые содержат ее. Прежде всего выражения (5) тождественно (относительно t) удовлетворяют уравнению

т. е. наша кривая лежит на изображаемом этим уравнением параболическом цилиндре второго порядка, образующие которого параллельны оси у. Но, с другой стороны, имеет место также соотношение

так что и этот обыкновенный кубический цилиндр с образующими, параллельными оси , проходит через нашу кривую; она представляет собой пересечение обоих цилиндров. На основании этого можно легко составить себе приблизительное представление о ходе определяющей кривой: она представляет собой кривую двоякой кривизны, расположенную симметрично по отношению к плоскости и имеющую острие в начале координат (Рис. 31).

Рис. 31

Далее, через нашу определяющую кривую проходит еще и следующая поверхность второго порядка:

так как и это соотношение удовлетворяется выражениями (5) тождественно относительно t. Из уравнений этой поверхности и кубического цилиндра составим еще следующую линейную комбинацию, которая представляет новую поверхность третьего порядка, проходящую через определяющую кривую:

Рассмотрим теперь развертывающуюся поверхность, для которой определяющая кривая представляет ребро возврата и которую мы можем определить поэтому как совокупность всех касательных к определяющей кривой.

Если некоторая кривая в пространстве задана уравнениями вида

то касательная к ней в точке t выразится уравнениями

где — параметр; действительно, направляющие косинусы касательной, как известно, пропорциональны производным координат кривой по t. Если рассматривать и t как переменную, то последние уравнения с двумя параметрами изображают развертывающуюся поверхность, состоящую из касательных; все это хорошо известные соображения из геометрии в пространстве. Для нашей кривой (5) это изображение развертывающейся поверхности имеет следующий вид, если ее координаты, в отличие от координат кривой, обозначить через

Это и есть та поверхность, которая воспроизведена на упомянутой модели Гартенштейна, — а именно, ее прямые изображены здесь натянутыми нитями. Это изображение поверхности в параметрах дает само по себе наилучший способ для исследования и действительного построения ее; мы следуем, собственно говоря, только старой привычке, когда все же спрашиваем, каково уравнение поверхности. Это уравнение получится, если Исключить t и из системы (7). Я покажу вам самый простой прием для достижения этой цели, хотя я и не могу здесь входить в подробное объяснение того, что приводит к такому приему. Из формул (7) составляют такие комбинации:

которые на самой кривой обращаются в нуль, а будучи приравнены нулю, изображают две из рассмотренных уже выше специальных поверхностей, проходящих через кривую.

Из этих двух уравнений легко можно исключить произведение что дает уравнение развертывающейся поверхности

следовательно, это поверхность шестого порядка

Относительно значения этой формулы я сделаю для тех, кто ближе знаком с предметом, следующие замечания: выражения, стоящие в скобках, представляют собой не что иное, как инварианты уравнения четвертой степени в приведенном виде:

они играют большую роль в теории эллиптических функций, где их обыкновенно обозначают через Левая часть уравнения нашей поверхности является, как известно, дискриминантом уравнения четвертой степени, которое имеет двойной корень, когда дискриминант обращается в нуль. Таким образом, наша развертывающаяся поверхность представляет собой не что иное, как дискриминантную поверхность уравнения четвертой степени, т. е. совокупность всех точек, в которых последнее имеет двойной корень.

После этих теоретических разъяснений построение нитяной модели нашей поверхности не представляет никаких принципиальных затруднений: нужно только на основании параметрического изображения определить те точки, в которых касательные, подлежащие построению, пересекают известные неподвижные плоскости, и затем натянуть нити между этими плоскостями, реализованными посредством деревянной или картонной коробки. Но чтобы такая модель действительно была красива и пригодна, чтобы она давала ясное представление об интересующем нас расположении поверхности и ее ребра возврата, необходимы продолжительные опыты и очень большое искусство. Рис. 32 изображает поверхность с ее прямыми; АОВ есть ребро возврата (ср. рис. 31).

Вы замечаете на этой модели двойную кривую (СО), вдоль которой встречаются обе полы поверхности; это следующая парабола в плоскости у:

Но только одна половина (СО) этой параболы, а именно та, для которой представляет собой пересечение действительных частей поверхности, тогда как другая (отмеченная на чертеже пунктиром) расположена в пространстве изолированно. Это явление не покажется удивительным тому, кто привык теорию алгебраических поверхностей сопровождать геометрическими представлениями; там нередко случается, что действительные ветви двойных линий то являются пересечением действительных частей поверхности, то оказываются изолированными в пространстве, и тогда их можно рассматривать как действительные пересечения мнимых частей поверхности. Соответствующее явление на плоскости заключается в том, что наряду с обыкновенными двойными точками алгебраических кривых, представляющими собой пересечения действительных ветвей кривой, встречаются двойные точки, лежащие изолированно и представляющие собой пересечения мнимых частей кривой; это явление известно всякому.

Рис. 32

Рассмотрим подробнее, что может дать нам полученная таким образом поверхность с ее ребром возврата, т. е. определяющей кривой. Представим себе, что на определяющей кривой нанесена ее шкала, или, еще лучше, отнесем каждой построенной касательной соответствующее ей значение параметра t, которое принадлежит и ее точке касания.

Если задано уравнение четвертой степени (8) с коэффициентами , то стоит лишь через соответствующую точку пространства провести соприкасающиеся плоскости к определяющей кривой или — что то же самое касательные плоскости к дискриминантной поверхности, и мы получим действительные корни в виде параметров точек касания с кривой или самих касательных в этих точках. Так как соприкасающаяся плоскость, касаясь кривой, пересекает ее, то при рассматривании из точки (х, у, z) каждая точка касания соприкасающейся плоскости проектируется в виде кажущейся точки перегиба кривой, и наоборот. Таким образом, действительные корни уравнения четвертой степени являются параметрами кажущихся точек перегиба определяющей кривой, когда мы смотрим на нее из точки

Правда для тех, кто не имеет достаточного навыка, довольно трудно уверенно распознать на модели соприкасающиеся плоскости или кажущиеся точки перегиба. Но с непосредственной очевидностью модель разъясняет следующий, наиболее важный пункт: разделение всех уравнений четвертой степени по числу их действительных корней. Посмотрим, какие случаи представляются возможными на основании теоретического исследования уравнения. Если — четыре корня действительного уравнения четвертой степени (4), то ввиду отсутствия члена, содержащего необходимо Что же касается корней, то возможны, очевидно, следующие три главных случая:

I. Четыре действительных корня.

II. Два действительных, два мнимых сопряженных корня.

III. Ни одного действительного корня, две пары мнимых сопряженных корней.

Если даны два уравнения типа I с корнями и то всегда можно обратить в переходя непрерывно через различные системы из четырех действительных чисел, сумма которых остаетсявсе время равной нулю; при этом первое уравнение обратится во второе, переходя непрерывным образом через уравнения того же типа, т. е. все уравнения I типа образуют сплошной континуум; то же справедливо и для двух других типов.

На нашей модели это обстоятельство должно выразиться тем, что пространство распадается на три сплошные части такого рода, что точки одной и той же части соответствуют уравнениям одного и того же типа. Рассмотрим теперь переходные случаи между этими тремя типами: I тип переходит во II тип через уравнения, которые имеют два различных действительных корня и один двойной, но отличный от двух других, действительный корень. Это мы обозначим символически через точно так же между II и III типами имеем переходный случай одного действительного двойного корня и двух мнимых корней; это будем обозначать через (2). Обоим переходным типам должны отвечать в нашем пространственном образе части самой дискриминантной поверхности, так как она вообще изображает все уравнения с кратными корнями; при этом, рассуждая аналогично предыдущему, найдем, что каждому типу должна отвечать сплошная часть поверхности). Обе эти группы уравнений: и (2) в свою очередь переходят одна в другую через уравнения с двумя действительными двойными корнями, символически таким образом, точки, соответствующие уравнениям типа , должны принадлежать обоим полам дискриминантной поверхности; следовательно, они лежат на неизолированной ветви ее двойной линии. Таким образом, дискриминантная поверхность распадается на две части, разделяемые одной ветвью двойной линии; из них одна отделяет I область пространства от II области, а другая (2) разделяет II и III области. Чтобы усмотреть, как расположена определяющая кривая, заметим, что она представляет собой ребро возврата, и потому в ее точках совпадают по три касательные плоскости, образуя соприкасающуюся плоскость; поэтому мы имеем здесь случай одного тройного и одного простого действительного корня: этот случай может получиться только из случая а именно, таким образом, что один из простых корней становится равным двойному корню; следовательно, ребро возврата должно целиком лежать на первой части поверхности.

Только в острие ребра возврата мы имеем четырехкратный корень, который может получиться и от совпадения обоих двойных корней . Действительно, острие О ребра возврата лежит одновременно и на двойной линии. Что же касается изолированной ветви двойной [линии, то она целиком проходит в области III и характеризуется тем, что для ее точек четыре мнимых корня по два совпадают между собой, образуя два двойных сопряженных мнимых корня.

Все перечисленные возможные случаи в точности реализованы на нашей модели. На чертеже (рис. 32) часть пространства, заключенная внутри поверхности справа от двойной линии, образует область I, а слева от той же линии лежит область III; пространство же, лежащее вне поверхности, образует область II. Поэтому, имея в руках следующую схему, вы легко сможете вполне ориентироваться относительно числа действительных корней;