Непер и Бюрги: уравнение в конечных разностях.

Представляется весьма поучительным присмотреться ближе к ходу идей у Непера и Бюрги. Оба исходят из значений для целых у и хотят устроить так, чтобы числа лежали по возможности гуще, чтобы подойти, таким образом, возможно ближе к конечной цели — найти для каждого числа его логарифм.

Теперь в школе достигают этого с помощью перехода к дробному показателю у, о котором шла речь выше. Но Непер и Бюрги избегают всех тех затруднений, которые встречаются на этом пути, благодаря тому, что с помощью гениальной интуиции подходят к вопросу сразу же с верной стороны, а именно, им приходит в голову простая, но счастливая мысль взять за основание b число, очень близкое к единице, ибо при этом, действительно, последовательные целые степени числа b лежат очень близко друг к другу. Бюрги принимает

между тем как Непер пользуется числом, меньшим единицы:

подходя, таким образом, еще ближе к единице. Причина этого отклонения Непера от теперешнего обычая заключается в том, что он наперед имел в виду применение к тригонометрическим вычислениям; действительно, там ведь прежде всего имеют дело с логарифмами правильных дробей (синуса и косинуса), которые при отрицательны, а при положительны. Но для обоих исследователей является общим тот главный факт, что они пользуются только целыми степенями этого числа b и благодаря этому совершенно избавляются от многозначности, которая стесняла нас выше. Вычислим по системе Бюрги значения степеней для двух соседних показателей у и

Вычитание дает

или, если вместо показателей, имеющих разность 1, рассмотреть вообще показатели с разностью

Получается, таким образом, уравнение в конечных разностях для логарифмов Бюрги, которое сам Бюрги непосредственно применяет при вычислении своих таблиц; определив, какое значение соответствует некоторому у, Бюрги находит следующее значение, соответствующее посредством прибавления . Точно так же оказывается, что логарифм Непера удовлетворяет разностному уравнению

Чтобы убедиться в близком родстве обеих систем, нужно только рассматривать вместо у то числа то числа другими словами, переставить десятичную запятую в логарифмах; обозначая опять новые числа просто через у, получаем каждый раз числовой ряд, удовлетворяющий одному и тому же разностному уравнению

в котором у изменяется скачками, в одном случае равными 0,0001, а в другом случае равными —0,0000001.

Рис. 56

Если мы позволим себе ради удобства воспользоваться изображением непрерывной показательной кривой, — собственно говоря, к этой кривой мы должны были бы прийти в результате наших рассуждений, — то мы сможем дать в нескольких словах наглядное описание расположения точек , соответствующих числовому ряду Непера или Бюрги: это — вершины лестницы с постоянной высотой ступени и соответственно вписанной в показательную кривую

и соответственно

(3)

как схематически изображено на рис. 56.

Другое геометрическое истолкование, которое не предполагает знания показательной кривой и тем не менее лучше покажет нам естественный путь к ее построению, получается, если заменить разностное уравнение (2) следующим суммированием (как бы «проинтегрировать» его):

суммирование здесь надо понимать в том смысле, что 1 изменяется от 1 до скачками такой величины, что соответствующее постоянно равно или соответственно , что дает или соответственно Этот процесс нетрудно описать геометрически: надо начертить в плоскости гиперболу и отметить на оси начиная от точки все те точки, которые получаются, если последовательно прибавлять (для логарифмов Бюрги). Над каждым таким отрезком (между двумя соседними точками) построим прямоугольник с высотой одной из вершин которого служит точка гиперболы, имеющая абсциссу все такие прямоугольники имеют одну и ту же площадь (рис. 57).

Рис. 57

В таком случае равенство (4) показывает, что логарифм Бюрги равен как раз сумме всех этих вписанных в гиперболу прямоугольников, лежащих между 1 их. То же имеет место и для логарифмов Непера.