II. УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Мы теперь откажемся от того, чтобы ограничиваться только действительными величинами, и будем оперировать с комплексными числами.

Здесь мы снова поставим себе целью выделить такие вещи, которые допускают геометрическую иллюстрацию в большей степени, чем это обыкновенно делают. Я начну с наиболее важной теоремы алгебры,

А. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ

Основная теорема алгебры, как известно, заключается в том, что всякое алгебраическое уравнение степени имеет, вообще говоря, корней, или, точнее, всякий полином степени может быть разложен на линейных множителей.

В сущности, все доказательства этой теоремы пользуются геометрической интерпретацией комплексных величин на плоскости . Я познакомлю вас с ходом мыслей в первом доказательстве Гаусса (1799), которое можно представить в наглядной форме; изложение его у самого Гаусса имеет, конечно, совершенно другой вид.

Если дан многочлен

то можно написать

где — некоторые действительные многочлены от обеих действительных переменных х, у. Основная мысль гауссова доказательства заключается в следующем. если исследовать кривые , лежащие в плоскости и показать, что они должны иметь общую точку, то для этой точки будет этим и будет доказано существование по крайней мере одного корня уравнения Оказывается, что для этой цели достаточно исследовать ход обеих кривых в бесконечности, т. е. в сколь угодно большом удалении от начала координат.

Если абсолютная величина переменной z становится весьма большой, то можно в функции пренебречь низшими степенями z по сравнению с это означает, что функция асимптотически приближается к

где с помощью формулы Муавра введены полярные координаты на плоскости Из этого результата можно заключить, что асимптотически приближаются к функциям поэтому ход кривых в бесконечности в первом приближении изобразится так:

Но кривая состоит из прямых, которые проходят через начало и образуют с осью углы а кривая соэлф состоит из биссектрис углов между первыми прямыми (см. рис. 33, соответствующий случаю ). В конечной части плоскости кривые могут, конечно, существенно отклоняться от этих прямых, но чем дальше от начала, тем больше должны первые приближаться к последним; поэтому ход настоящих кривых можно схематически изобразить тем, что за пределами некоторой достаточно большой окружности (с центром в начале) мы сохраним наши прямые, а внутри нее соединим их между собой произвольным образом (рис. 34).

Рис. 33

Рис. 34

Но каков бы ни был ход кривых внутри круга, уходящие в бесконечность ветви и, v должны непременно переходить одна в другую, отсюда наглядно видно, что эти кривые внутри круга должны хоть раз пересечься. Действительно, этот результат можно — и в этом заключается содержание гауссова доказательства — точно вывести из непрерывности кривых. Но по существу ход идей изложен выше.

Когда получен таким образом один корень, тогда можно отщепить от функции один линейный сомножитель повторить доказательство для оставшегося многочлена степени. Продолжая поступать таким образом, мы в конце концов действительно получим разложение на линейных сомножителей, чем доказывается существование корней.

Идея доказательства станет вам яснее, если вы проделаете несколько примеров со всеми построениями. Одним из простейших примеров является следующий:

Здесь, очевидно,

так что кривая состоит просто из трех прямых, тогда как кривая имеет три гиперболовидных ветви. На чертеже (рис. 35) вы, в самом деле, видите три точки пересечения обеих кривых; эти точки дают три корня нашего уравнения. Я весьма рекомендую разобрать более сложные примеры.

Рис. 35

Этими краткими указаниями по поводу основной теоремы я могу здесь ограничиться, так как я не читаю сейчас курса алгебры. Замечу еще только, что значение введения комплексных чисел в алгебру в том и заключается, что они дают возможность установить основную теорему алгебры в общей форме, не допускающей никаких исключений; ограничиваясь же действительными величинами, можно утверждать только то, что уравнение степени имеет либо корней, либо меньше, либо ни одного.

Время, которое остается у нас для алгебры, мы употребим на то, чтобы исследовать в наглядной форме полные системы решений комплексных уравнений подобно тому, как мы это уже сделали выше для действительных решений действительных уравнений. Но при этом мы ограничимся только уравнениями с одним комплексным параметром, входящим в уравнение линейно.