Оценка погрешности.

Собрав таким образом опытный материал, мы должны теперь перейти к рассмотрению вопроса с математической точки зрения.

Рис. 109

Здесь прежде всего возникает крайне важный в практическом отношении вопрос о той точности, с какой вообще соприкасающаяся парабола порядка изображает оригинальную кривую, — так называемая оценка погрешности или остатка; сюда же примыкает, конечно, вопрос о переходе к бесконечно большому : нельзя ли при помощи бесконечного степенного ряда точно изобразить данную кривую?

Я могу здесь ограничиться тем, что приведу наиболее известную теорему о величине остатка

вывод ее вы найдете во всяком учебнике; кроме того, я вернусь еще позже к этому, исходя из более общей точки зрения. Теорема гласит; между а и существует такое промежуточное значение , что можно представить в таком виде:

Вопрос о переходе к бесконечному ряду сводится теперь непосредственно к вопросу о том, стремится ли этот остаток при беспредельном возрастании к пределу нуль или нет.

В применении к нашим примерам отсюда выводят — и это вы тоже найдете во всяком учебнике, — что прежде всего в примерах 5 и 6 бесконечный ряд сходится для всех значений Что же касается первых четырех примеров, то оказывается, что бесконечный ряд сходится для всех значений заключенных между причем сумма его равна первоначально заданной функции, но вне этого промежутка ряд расходится. При во втором примере ряд сходится, имея суммой величину функции в этой точке, а в примерах 1, 3 и 4 сумма ряда стремится к бесконечности так же, как и значение самой функции, так что и в этом случае можно было бы, собственно, говорить о сходимости, но по традиции этого термина не употребляют в случае рядов с явно бесконечным пределом. Наконец, при мы имеем дело со сходимостью в обоих примерах 1 и 2. Все это прекрасно согласуется с результатами изучения наших чертежей. Но можно задать себе, как и в случае тригонометрических рядов, такой вопрос: к каким предельным положениям стремятся соприкасающиеся параболы, когда мы смотрим на них чисто геометрически как на кривые? Ведь они не могут внезапно оборваться при Для эти предельные кривые изображены приближенно на рис. 110, а именно, оказывается, что четные и нечетные параболы стремятся к двум различным предельным положениям, состоящим из части логарифмической кривой, заключенной между —1 и +1, и из примыкающей к ней в точке нижней и соответственно верхней половины вертикали . Аналогично обстоит дело и в остальных трех случаях.

Теоретическое исследование ряда Тейлора находит свое завершение лишь при переходе к комплексным переменным, ибо только тогда становится понятным внезапное прекращение сходимости степенных рядов в совершенно определенных точках функции. Конечно, в наших четырех примерах можно считать, что это явление в точке объясняется в достаточной степени тем, что ряд не может сходиться справа дальше, чем он сходится слева; слева же сходимость должна прекращаться в точке ибо это — особая точка для рассматриваемых функций.

Но уже в нижеследующем примере это рассуждение оказывается неприменимым. Ряд Тейлора для ветви функции , которая остается правильной при всех действительных значениях х,

сходится только в интервале (-1, +1), а соприкасающиеся параболы поочередно стремятся к предельным кривым, изображенным штриховой и пунктирной линиями (рис. 111).

Рис. 110

Рис. 111

Внезапное прекращение сходимости во вполне определенных точках совершенно не поддается пониманию, если оставаться в области действительных переменных.

Объяснение заключается в замечательной теореме о круге сходимости, которая представляет собой самсе прекрасное открытие, сделанное Коши в теории функций; эта теорема гласит: если отметить в комплексной плоскости все особые точки аналитической функции то ряд Тейлора для этой функции, относящийся к точке сходится внутри той окружности с центром в точке а, которая проходит через ближайшую особую точку, этот ряд не сходится ни для одной точки, лежащей вне этой окружности (рис. 112).

Для функции , как известно, значения представляют собой особые точки; поэтому кругом сходимости для разложения по степеням является круг радиуса 1 с центром в точке

Вследствие этого сходимость должна прекращаться в точках в которых действительная ось выходит за пределы круга сходимости (рис. 113).

Рис. 112

Рис. 113

Что же касается сходимости ряда на самой окружности радиуса 1, то по этому вопросу я должен ограничиться следующим указанием, примыкающим к подчеркнутой выше связи между степенными и тригонометрическими рядами: упомянутая сходимость зависит от того, можно ли действительную и мнимую части функции на окружности круга сходимости вместе с теми особенностями, какими они там необходимо обладают, разложить в сходящиеся тригонометрические ряды.

Рис. 114